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以数学文化为背景设计的《复数》教学课例

2018-06-10 12:57阅读：

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以数学文化为背景设计的《复数》教学课例
复数教学一直是中学数学教学的难点。美国电气工程师、研究复数发展史的专家保罗×J×纳欣在其著作《虚数的故事》一书中这样写道：“当把虚数 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例第一次讲给高中生们听时，通常是让他们读到诸如下面的文字：‘从根本上说，是实系数方程x2+1=0导致人们发明了i（还有-i），…’…，但正如现在你已经知道的，这同时也是不符合事实的。当早期的数学家们遇上x2+1=0以及诸如此类的二
次方程时，他们只是闭上眼睛，称它们是‘不可能的’便了事。他们肯定没有为这类方程发明过一种解。关于 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例的突破性进展不是来自二次方程，而是来自一种三次方程，……”试想一下，对于当初那么多具有数学天才的、伟大的数学家们（包括欧拉、莱布尼兹等）都难以理解、不能接受的“虚数”（尽管著名数学家高斯对虚数已经有了较为本质的认识，但他也曾坦诚地说：“ 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例的真正的超现实性是难以捉摸的”）、对于无法引起这些超一流数学家们的问题意识的方程x2+1=0，怎么能指望我们的学生们“心悦诚服”地接受虚数、认为方程x2+1=0就一定要有解呢？而真正引起认知冲突的，正是意大利工程师邦贝利(Rafael Bombelli)称为“不可约三次方程”的复数形式的实数解，才应该是作为数学教学中引入复数概念的思维起点。
课例
一、人类对数的认识过程的回顾
先回顾数的发展史（到实数为止），即教材中的“为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，不了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线的长的问题产生了无理数，等等。（上述介绍是按照人们的对数的概念的认识过程（顺序）进行的）。
在回顾数的发展史时可以对负数、无理数认知的曲折过程进行简要介绍：当人类对数的认识还处于“计数”与“度量”的阶段时，对负数难以理解是很正常的现象，如“-2条狗”究竟是什么意义呢？当数学家们还存在着“分子大于分母的数一定大于分子小于分母的数”这一在正分数范围内的性质时，就更无法理解怎么会出现“1(-1)”的等式呢？甚至伟大的数学家莱布尼兹也认为这是不可能的。同样，在当人们的思维方式还处于“有限”的时空之中时，当数学家的哲学观念局限于“世间万物皆为数，所有数都是分数”时，对如之类的无理数拒绝接受也是可以理解的了。类似的情况在公元1545年又一次发生了：意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》一书中给出了这样一个著名的问题：把10分成两个部分，使这两部分之积为40。他称这个问题“显然是不可能的”，因为它马上可导出二次方程x2-10x+40=0，如果用一元二次方程求根公式，则其解可以写成5±的形式，这里的是没有意义的，因为“负数没有平方根”。也就是说，方程x2-10x+40=0没有解。提出问题
问题1.方程x2-10x+40=0真的没有解吗？“方程没有解”的意义是什么呢？
以上过程是为了让学生体验到人类的认识过程是一个从简单到复杂、从低级到高级的过程，其间还存在一些为大多数人的认识所难以承受的时段（如无理数、负数等的发现）。由此让学生感受到：首先，数的概念是为了满足人们的生活和生产的需要，随着社会的发展而不断发展的；其次，人们对数的了解也是随着人们的认识水平的不断提高而逐步深入的；最后，数的扩展过程并不完全由社会生产、生活的需求而趋动，复数其实就是人类理性精神的一次胜利。
二、对方程有解的实质的分析
我们不妨回顾一下关于方程解的问题：
方程2x=3，对于一个只知道整数的小学生来说一定是没有解的，它真的没有解吗？
方程x+1=0，对于一个只知道非负数的小学生来说一定是没有解的，它真的没有解吗？
方程x2=2，对于一个只知道有理数的初中一年级的学生而言一定是没有解的，它真的没有解吗？
这说明：方程是否有解取决于数的范围，在原来数集范围内无解的方程可以在扩充后的数集中有解。于是自然就提出了：
问题2.对实数集进行扩充，使得象x(10-x)=40之类的方程在新的数集中有解，有这个必要吗？
通过上述问题的研究，让学生感受到，对一个方程是否有解，关键是看相对于怎样的数集；可以通过对数集的扩充使得在原来集合中没有解的方程，在扩充后的集合中可以有解。从而对“方程是否有解”这一问题的本质得到深刻认识，在此基础上产生可以对实数集进行扩充从而使形如x(10-x)=40方程有解的初步意识。
三、虚数产生的历史的简要回顾
再回到数学文化背景之下：1572年出版的意大利工程师邦贝利(Rafael Bombelli)的著作《代数学》一书中，邦贝利运用运用卡尔达诺（Girolamo Cardano）的三次方程的求根公式（史称卡尔达诺公式）求方程x3=15x+4的解时，求得了它的两个根-2± 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例，而另外一个根写成了这样的形式：
以数学文化为背景设计的《复数》教学课例，
也即
以数学文化为背景设计的《复数》教学课例。
邦贝利发现，这个三次方程显然有一个解x=4，这说明应该有
以数学文化为背景设计的《复数》教学课例=4，
而且他试着将 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例也看成一个数，它的平方为-1，再通过非常巧妙的方法探索后发现：
以数学文化为背景设计的《复数》教学课例=2+ 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例,
以数学文化为背景设计的《复数》教学课例=2- 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例。
以数学文化为背景设计的《复数》教学课例是一个数吗？如果不是数，怎么看待 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例=4这个“非接受不可”的“事实”呢？这说明：实数集还可以，也很有必要进行扩充！于是提出：
问题3.怎样对数集进行扩充呢？
四、数学学习中对数的扩展过程的回顾
回顾数学学科中数的扩充过程：
在0和正数组成的集合中增加数-1，并使新增加的负数及原来的数进行加法和乘法运算，这样就使得减法运算不总能施行（小数不能减大数）的问题得到解决。
在有理数集中增加无理数，并使新增加的数及原来的数进行加法和乘法运算，这样就解决了在正有理数集中开平方运算不总能施行的问题。
以从有理数集扩充到无理数集为例作祥细回顾：
首先，因为正方形对角线的度量问题，先添加了数，请问：增加了后，这个数集中会增加哪些新的数？
由学生想出增加了2、-、1+2等数。进而明确扩充数集的基本方法与原则：
（1）每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来的数集的基础上“添加”了一种新的数得来的；
（2）在新的数集中，原有的加法与乘法运算律仍然成立。
上述过程的目的是让学生感受到每一次对数集进行扩充，都解决了在原有数集中难以解决的矛盾和问题，并对数集扩充的方式、应遵循的基本原则有所了解。最后提出
问题4.怎样对实数集进行扩充，能够使得卡尔达诺方程有解呢（也即负数可以开平方）呢？
五、实数集的扩充
学生容易想到引进、等数，教师引导学生根据数系扩充的原则发现，只要添加一个就可以了。于是可以作出规定1：在新的数集中，至少增加了一个不是实数的数，这个数我们记为i，这的数平方就是-1。
问题5：那么，根据数集扩充的规范，在新数集中还应该有怎样的数呢？请写出几个这样的数。
¾¾引进2i、1+2i等形式的数，…
问题6：这些数具有怎样的共同特征？
得到复数的一般形式，并给出准确概念：
引进一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
（1）i2=-1；
（2）实数可以和i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。
根据（1）、（2）两个法则，我们可以得到形如a+bi（a，b为实数）的数，我们将这样的数称做复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数虚部。
练习1：试写出下列复数的实部和虚部：
-3+i，2-4i，-6i，-4，3+2i，0，-8+5i，6。
在对实数集进行扩充后，还有一个值得考虑的问题：
问题7：新数集中包含所有的实数吗？
学生思考，并得到两个
RÌ C；
当b=0时，复数a+bi为实数。
问题8：复数集中除了实数外，还增加了哪些数？
学生思考：虚部b≠0的数。
对复数进行分类，并让学生对复数集、实数集、虚数集及纯虚数集的包含关系进行研究。
练习2：练习1中哪些数是实数？哪些数是虚数？哪些数是纯虚数？
练习3：当实数m为何值时，复数m(m-1)+(m-1)i是
（1）实数； （2）虚数？ （3）纯虚数？
解决后再问：当m为何值时，这个复数是0？是6+2i，由此作出两个复数相等的条件这一规定。
练习4 当实数x、y取何值时，(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i。
六、回顾反思
1．数集扩充的过程；
2．复数的有关概念；
3．复数相等的条件。
七、承前启后
我们已经建立了新的数系：复数系。事实上，当年邦别利在承认负数可以开平方的前提下，得到了2+=2+11i=(2+i)3和2-=2-11i=(2-i)3，，从而证实了 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例=2+i+2-i=4的事实。邦别利在说明这一事实的过程中运用了复数的一些运算法则，这就是我们下节课将要研究的课题：复数的四则运算法则。
八、布置作业
阅读下面的材料帮助学生理解虚数i的意义及价值：
如果将数的乘法运算作为一种变换（从几何的角度看，这是合理的），那么，1的意义即为将向量 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例按逆时针方向旋转360o，其平方根有1和-1，其中平方根1的意义是12=1，也即进行两次“将向量 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例按逆时针方向旋转360o”的变换，仍然还原为向量 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例；-1的意义是（-1）2=1，而-1表示的变换为将向量 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例按逆时针方向旋转180o，而（-1）2=（-1）´（-1）即表示将向量 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例按逆时针方向旋转180o，再旋转180o，于是向量 以数学文化为背景设计的《复数》教学课例也回到原来的位置。
至此，我们就了解了1的平方根的几何意义：能经过两次相同的变换后，使向量回到原来位置。
于是，-1的平方根的几何意义就应该是：经过两次相同的变换后，使向量变成其相反向量，故而可以发现：i的几何意义为：将向量旋转90o！
虚数的这种具有旋转意义的几何意义将在数学与应用中发挥巨大的作用！
思考
我们应该看到，在中学数学中有一类教学内容（以复数、导数、圆锥曲线为其典型），以其文化背景的教育价值而占有较为重要的地位。但长期以来，对其教学存在较多偏差。偏差之一，认为通过数学史的回顾、数学趣闻的介绍就可以实现文化渗透；偏差之二，直接介绍相关知识，认为学生经过长期的训练自然可以获得理解；偏差之三，认为可以通过学生参与建构，获得相关的数学理论。
第一类偏差在于错误地认识数学史与数学趣闻的教育价值。如果没有揭示学科历史中引发观念革命的最根本的动因，如果不能揭示孕育新知识的过程中数学家们的理性精神与审美观念的摧生力量，那么这种文化教育的价值是非常有限的，至多可以激发对学科的兴趣，而对学习内容的认同，对数学本质的感悟都基本没有作用。第二类偏差则将数学教学定位为数学知识的教学，因此其特征就是将数学结果直接给出，这种教学定位的弊端虽已为大多数数学教师所认识，但在教学实践中却是广泛存在的。第三类偏差在于无视学生认识能力的现实，无视教学内容的抽象度、学生思维定势的负面效应的强度。这种所谓让学生由发现而建构只可能是假发现、假建构。
一般地说，这类内容对“硬数学”的要求不能高，重在体验、感受，不是重在操作。它们基本上是不可能为学生所发现的。因此，也不应注重探究与发现，而是对数学文化遗产的接受，接受文化遗产中最核心、最有价值的部分。有些教师在回顾数的自然发展史与数学学科内数的扩充过程后，就由要使方程x2+1=0有解，提出问题：应该引进什么样的数呢？这样的问题对学生而言有意义吗？更有甚者，有学生提出引入新数后，又提出：用什么符号表示呢？这是学生能够解决的吗？什么符号都可以！数学史上就出现过很多种记法。有人认为数集的扩充的教学应该让学生充分地活动，我们不禁要问：可以通过怎样的活动让学生发现复数？复数相等的条件是发现的吗？
事实上，人们对负数、虚数等难以接受和理解，最主要的原因还在于“思维定势”，也就是帕斯卡所说的：比0还小的数有吗？1-4不就是没有吗？与0有什么差别呢？
同样，由于“同号两数相乘，积为正数”的思维定势过强，且虚数概念缺少现实世界的具体模型或实体的支撑，要学生独立建立复数的概念是不可能的，就是让其充分认同也较困难，这从虚数的发展史不难看出。
不过，学生已经经历过了从正整数集向自然数集、从自然数集向非负有理数集、从非负有理数集向有理数集、从有理数集向实数集扩充的过程，这一过程有利于学生感受数集扩充动力与基本原则，由此也了解了人们对数的认识过程与对客观世界的认识水平存在密切的联系。同时，学生也已经有了解一元一次方程和一元二次方程的解的相关知识，对方程的解的情况已经能够作出判断。借助于学生的已有经验和感性认识，并通过促使其从理性高度认识已有的经验，弄清其实质，是可以将虚数的学习基于“逻辑”的探究性的思维过程而进行的，是可以实现学生的认同心理下的有意义学习的。不过，这样的逻辑探究只能在教师的引领下进行，不可能由学生实现建构！


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