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【转载】IEEE754浮点数的表示方法

2017-02-10 12:53阅读：

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1.浮点数的存储格式

浮点数在C/C++中对应float和double类型，我们有必要知道浮点数在计算机中实际存储的内容。
IEEE754标准中规定float单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号，用 8 位来表示指数，用23 位来表示尾数，即小数部分。对于double双精度浮点数，用 1 位表示符号，用 11 位表示指数，52 位表示尾数，其中指数域称为阶码。IEEE 浮点值的格式如下图所示。
【转载】IEEE754浮点数的表示方法

注意，IEE754规定浮点数的阶码E采用指数”ｅ的移码-1”来表示，请记住这一点。为什么指数移码要减去1，这是IEEE754对阶码的特殊要求，以满足特殊情况，比如对正无穷的表示。

2.浮点数的规格化

若不对浮点数的表示作出明确的规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如(1.75)10可以表示成1.11×21，0.111×21，0.0111×22等多种形式。当尾数不为0时，尾数域的最高有效位为1，这称为浮点数的规格化。否则，以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法，使其标称规格化数的形式。

2.1单精度浮点数真值

IEEE754标准中，一个规格化32位的浮点数x的真值表示为：

x=(−1)S×(1.M)×2e


e=E−127
其中尾数域表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位总是1，故这一位不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。
在计算指数e时，对阶码E的计算采用源码的计算方式，因此32位浮点数的8bits的阶码E的取值范围是0到255。其中当E为全0或者全1时，是IEEE754规定的特殊情况，下文会另外说明。

2.1双精度浮点数真值

64位的浮点数中符号为1位，阶码域为11位，尾数域为52位，指数偏移值是1023。因此规格化的64位浮点数x的真值是：

x=(−1)S×(1.M)×2e


e=E−1023

3.移码

移码（又叫增码）是对真值的补码的符号位取反，就可得到移码，一般用做浮点数的阶码，引入的目的是为了便于浮点数运算时的对阶操作。
对于定点整数，计算机一般采用补码的来存储。正整数的符号位为0，反码和补码等同于源码。
负整数符号位都固定为1，源码，反码和补码的表示都不相同，由原码表示法变成反码和补码有如下规则：
（1）源码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得反码；
（2）反码符号位为1不变，反码数值位最低位加
1得补码。
比如，以一个字节8bits来表示-3，那么[−3]原=10000011，[−3]反=11111100，[−3]补=11111101，那么-3的移码就是[−3]移=01111101。
如何将移码转换为真值-3呢？先将移码转换为补码，再求值。

4.浮点数的具体表示

4.1十进制到机器码

（1）0.5
0.5=(0.1)2，符号位S为0，指数为e=−1，规格化后尾数为1.0。
单精度浮点数尾数域共23位，右侧以0补全，尾数域：

M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]2
阶码E:

E=[−1]移−1=[0111 1111]2−1=[0111 1110]2
对照单精度浮点数的存储格式，将符号位S，阶码E和尾数域M存放到指定位置，得0.5的机器码：

0.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]2
。
十六进制表示为0.5=0x3f000000。
（2）1.5
1.5=[1.1]2，符号位为0，指数e=0，规格化后尾数为1.1。
尾数域Ｍ右侧以0补全，得尾数域:

M=[1
00 0000 0000 0000 0000 0000]2
阶码E：

E=[０]移−1=[10000000]2−1=[01111111]2
得1.5的机器码：

1.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000

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