2013年11
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2013年11
月26日下午，笔者组织了两位骨干教师在本校小学部微格教室针对《百分数的认识》一课进行了一场微专题研究。两位老师虽然在区里早已小有名气，一位是杭州市教坛新秀、文海实验学校小学部数学教研组长陈瑾老师，一位是区教坛新秀、杭州市下沙第二小学教务主任钱志祥老师，但他们丝毫没有怠慢，都认真查阅了很多资料，参考了许多名师的教学设计，做了非常充足的准备。两位老师性别不同，风格迥异。陈老师充分展现了女老师的细腻和温柔，钱老师则充分体现了男老师的大气和稳重。两节课虽还不能和名师大家相比，但其扎实的追求、平实的技巧、朴实的作风，都取得了比较理想的教学效果。这可以明显从笔者特意组织的课堂前、后测统计数据中看出。
为了较为显性地观测课堂教学效果，笔者已养成一种习惯，只要有可能，总是喜欢安排学生完成课堂前、后测卷，从对比分析中，我们可以很清楚地观测到教学的成功和缺失所在。即便前、后测卷本身存在片面性（前、后测卷的设计是门学问，不在这里赘述），也比笼统地说课如何如何要好得多，毕竟，我们是用数据在说话。
当天下午，两位老师上课各用了40分钟，而笔者则在课前和课后各用了10分钟，让学生独立完成前、后测卷。统计分析如下：
表一：
《百分数的认识》前、后测统计分析（一）
执教人：陈瑾
表二：
《百分数的认识》前、后测统计分析（二）
执教人：钱志祥
从以上数据统计中，我们可以读出很多信息。
比如，从前3题的统计中，我们可以得出这样的结论：对六年级的学生而言，关于百分数，他们都有一定的知识基础和相关经验。最明显的是第2题，全部的同学都可以自主地写出3个不同的百分数；对于第一题，只有六（2）班一位名叫唐亿哲的同学选择了从没听说，可他后面的举例和说含义却都能完成，说明他并非从没听说。第3题说含义，两个班虽有差异，但也都有80%左右同学意思表达基本清楚，只是语言表达过于简单和口语化，不够规范而已，比如300%，有学生就简单写3倍。说明学生基本上理解百分数的含义，教学中需要的是引导学生学会完整规范地表达。当然，观测后测数据，我们可以看到两个班都取得了明显的进步。
对于《百分数认识》的教学，许多老师都会花费很大的力气组织资源，创设情境，引导学生感悟使用百分数的好处——便于比较，尤其是在调查统计、分析比较时。我们这两位老师也不例外。就本节课而言，让学生明白和体悟到百分数的好处，当然是教学的核心关注点之一，要不然，我们无法解答学生自然而然的困惑：学了分数，为什么还要学习百分数？但通过数据分析（第5题），这里面可能有两个问题值得探讨。一是对于便于比较的感悟，是老师讲过后，学生才有感受，还是在老师没组织活动之前，大部分学生都已经知晓；或者说，对于分母都一样时（比如100）便于比较这样的基本数学事实，是否老师不用讲一个字，孩子们也早已知道。当然，有的老师可能也会提出质疑，创设情境何止仅让学生仅仅感悟百分数便于比较，还有它的附加价值——自然引出百分数的概念啊！是的，对此，笔者完全认同。我们要问的是，如果大部分学生都已知晓分母一样便于比较的基本数学事实，那么，此处花费多大力气、多长时间才为合适？或者说，为了引出百分数，是否还有别的方式？基于学生的基础和经验，不创设情境，开门见山是否可行？二是，关于便于比较，分母只要一样即可，人们为何独爱百分数？十分数、千分数不也可以吗？为何人们不常用？许多老师是否仅仅关注了要引出百分数，而忽视了拓展和延伸。正如两位老师演绎的一样，不管是比较班级跳绳的优秀率还是姚明不同赛季的投球命中率，用百分数自然是方便，但为何不用十分数、千分数，学生是否还是茫然？而这种茫然，是否可以说是学生对百分数的好处认识还不够深刻和全面呢？众所周知，在人类历史上，百分数并非哪一个人发明的，而是在实际应用中逐渐完成和完善的一种特殊形式的数。日常生活中常用的分数有三种：1.十分数，一般说几成，用于比较粗略的估计；2.千分数，一般说千分之几，用于比较精确的计算，如保险费率千分之三等，实际使用不广；3.百分数，精确度比较适中，应用很广。一个百分数相当于两位小数，实际应用中，取两位小数也最为常见，比如圆周率用得最多的就是3.14 。所以，有专家就认为百分数的优点就在于它的精确度适中这个特点，兼顾了简便和有效两个方面。若果真如此，我们的教学仅仅关注了便于比较，是否就会存在着缺失呢？对此，笔者不敢妄言，但疑问却一直继续着。
行文至此，笔者突然想起在一次全国性的教学观摩课上，一位年轻的男老师美轮美奂地精彩演绎完百分数的认识后，一位机灵的男孩子突然发问：老师，百分数会不会有什么缺点呢？该男老师显然根本没思考过这样的问题，随口回答道：迄今为止，我好像还没发现百分数有什么缺点啊！他自以为很机智，但如此回答立刻引来了全场几千名老师的哄堂大笑。为何笑他？此话一出，暴露了教师关于该问题思考的浅薄不说，还违背了人们认知客观世界的普遍规律。老师不知道，并不代表没有。哲人言，任何事物，从诞生之日起，就不可避免地会带着天生的不足。我们一味地说某件事物多好多好的同时，可否能引导学生换个角度，学会辩证思维呢！当然，该男老师诚恳的态度还是值得点赞的。对百分数而言，如果能给学生提供精确度的视角，相信聪明的学生自己就可以悟出百分数何时会有不便或不足。
谈到不足，让我们再次关注统计数据。对本课而言，两位老师最大的不足或者说问题出在哪呢？
相信大家都知道，本节课的难点所在是百分数和分数的区别与联系。如果这个问题不能有效突破，对学生而言，此课上与不上，可能效果都是一样的。从两位老师的设计中，我们不难看出，两位老师都用了大量时间，多种手段，或列表、或对比，力求让每个学生都能充分感知百分数与分数的不同。但从数据对比中，我们可以明显地看出，学生对此问题的认识进步幅度是最小的（第4题），其中一个班有10.5%的学生课后依然不能清晰表达，而另一个班有高达63.2%的同学还是停留在表层的理解上，表述依然是百分数的分母只能是100，而分数的分母可以多变；对百分数只表示分率，而分数既可以表示分率，也可以表示具体量的属性并没有阐述。虽然该班能清晰表达的学生数从1进步到了14，提高了30多个百分点，但不得不承认，教学的硬伤很严重。两个班共性的问题都出在这里，何故？
排除班级差异因素，我们来仔细回顾两位老师的教学，或者说，我们来认真梳理许多曾经的教学，我们是否要追问，对学生而言，究竟是老师教会的？还是自己早已知道的？许多貌似精彩的课堂，究竟是部分已知的优秀学生在有意配合老师创造辉煌，还是老师真正做到了在学生的难点、易错点和盲点处点拨？
为什么对于百分数和分数的异同，上完课后还会有许多学生不明白。是老师讲得不好，亦或是老师根本就不该讲？应该由学生自己悟道？若由学生自己悟道，慧根弱的学生又如何能悟到？老师是否还要引导与点拨？若要点拨，应如何点拨才不至于越俎代庖？
理想的课堂应该是教与学的完美结合。过分强调教或者过分强调学恐怕都是不可取的。教学之妙，妙就妙在教与学的关系上。当下，许多老师都在努力课堂转型，教学变革更多地从依靠教到依靠学，学为中心的观点受到了越来越多的提倡。无疑，这种教育常识的回归，会给学生带来无限的学习幸福。因为，学习是学生自己的事，只有自己经历才会有感觉；况且，老师缺少针对性的无聊讲授少了，至少，在听觉上也少了一份无奈和痛苦。但若所有问题都让学生自学，老师一点不教，培养不出优秀人才不说，试想，还要老师这份职业作何。所以，学为中心后，老师的作用不是弱化了，反而是要求更高了。真正好的老师不仅要读懂教材，读懂学生，更重要的是，能在教与学的节点处建立合理的平衡。对课堂而言，教什么（学什么）和怎么教（怎么学）同样重要。
回顾两节课，钱老师从百分数的意义入手，反复说明百分数是一种形式，只表示分率，并列表加以强调；陈老师则结合实际运用，让学生体悟百分数与分数的不同。两位老师不可谓不用心，也不能说没考虑到学生的学情，但都缺失了知识的生长之根，没能从本源上解释为什么百分数不可以带单位名称。对陈老师而言，一节课40分钟，课上到一半，时间已经过去了50%，还剩下50%分钟。在这样的具体问题情境中，学生可以理解50%分钟的错误，但不见得他们能明白所有的百分数都不可以带单位名称，或许，就有4个学生会想，这只是个特例，也许，别的时候百分数就可以带单位了，甚至，有的孩子会天真地期待这种“奇迹”出现呢。对钱老师而言，即便是强调一万遍，而不从根本上给学生说明为什么，效果也会和现实一样，总有部分学生的认知只停留在表面。
如何才能让学生清晰地认知百分数与分数的区别与联系，方法当然有很多种，笔者以为，传统教学常用的，从旧知引出新知，在学生最近发展区做文章依然不失为一种有效的策略。试想，两位老师假如能有更宽的视野，更结构化的思维，深刻了解并尊重学生的基础，从学生已知的分数的意义上和属性上导入本节课，动态地给学生呈现如下知识生长关系图，学生是否就会从根本上杜绝百分数带单位的模糊认知呢？
此图可以这样理解，对任何一个分数而言，都有两种属性，既可以表示分率，也可以表示具体量，我们姑且把集合圈一分为二（黄色表示分率，绿色表示具体量）；作为分数大家庭的一部分，分母是100的分数而自然也不例外，当然可以即表示分率，也可以表示具体量。用分母是100的分数表示分率时，不仅可以非常方便地比较出分率的大小，而且精确度合适，人们就经常使用它的这一属性。慢慢地，人们喜欢上了它，为了突出这一属性，人们给它设计了专有的符号（%），以区分别的分母是100的分数，并专门取名为百分数，或者叫百分比及百分率。直观地看，百分数仅是图上红色的区块，并非分母是100的分数都是百分数。换句话说，分母是100的分数只有表示分率时才叫百分数。百分数自然不表示具体量，但它和可以带单位的分母是100的分数属于近亲和近邻。此图是否符合逻辑还有待商榷（如果用立体的图层表达可能更好），但若如此，基于学生的已有认知，用历史的观点，还原了知识的生长过程，加之直观地演示，学生是否就可以轻松地感知百分数的产生及与分数的不同呢？笔者依然不敢妄言，但愿有机会，一定亲自尝试。
哲人言，树梢有多高，则树根就有多深。笔者说，只有生根，才可以发芽！无论从教的角度，还是从学的视野，我们都不能违背知识本身的生长规律，更不可违背人类认知的基本规律。只有遵循了学习的基本规律，尊重了教育的基本原理，教学才可能取得良好的效果。
以上仅仅是笔者的一点点浅见，可能有失偏颇。关于《百分数的认识》，还有许多问题值得深究，欢迎广大老师对笔者及两位老师尚欠成熟的想法和做法多多提出宝贵意见。笔者先行谢过！
为了较为显性地观测课堂教学效果，笔者已养成一种习惯，只要有可能，总是喜欢安排学生完成课堂前、后测卷，从对比分析中，我们可以很清楚地观测到教学的成功和缺失所在。即便前、后测卷本身存在片面性（前、后测卷的设计是门学问，不在这里赘述），也比笼统地说课如何如何要好得多，毕竟，我们是用数据在说话。
当天下午，两位老师上课各用了40分钟，而笔者则在课前和课后各用了10分钟，让学生独立完成前、后测卷。统计分析如下：
表一：
《百分数的认识》前、后测统计分析（一）
执教人：陈瑾
|
《百分数的认识》前、后测卷 |
前测 |
后测 |
|||
| 人数 |
百分率 |
人数 |
百分率 |
||
|
1．你知道什么是百分数吗？ |
A. 非常清楚 |
9 |
23.7% |
38 |
100% |
| B. 知道一点 |
29 |
76.3% |
0 |
0 |
|
| C. 从没听说 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
2.如果你知道，请试着写出三个不同的百分数。 |
全对38 |
100% |
38 |
100% |
|
|
3.请说出下列各个百分数的含义。 99%，0.6%，100%，121.7%，300% |
基本正确29 |
76.3% |
正确35 |
92.1% |
|
| 有错9 |
23.7% |
不完整3 |
7.9% |
||
|
4.说一说百分数和分数在意义上有什么不同？ |
基本正确26 |
68.4% |
清晰表达34 |
89.5% |
|
| 空着12 |
31.6% |
基本正确4 |
10.5% |
||
|
5.为什么要有百分数？ |
方便26 |
68.4% |
方便37 |
97.4% |
|
| 其它3 |
7.9% |
其它1 |
2.6% |
||
| 空着9 |
23.7% |
||||
表二：
《百分数的认识》前、后测统计分析（二）
执教人：钱志祥
|
《百分数的认识》前、后测卷 |
前测 |
后测 |
|||
| 人数 |
百分率 |
人数 |
百分率 |
||
|
1．你知道什么是百分数吗？ |
A. 非常清楚 |
8 |
21.1% |
37 |
97.4% |
| B. 知道一点 |
29 |
76.3% |
1 |
2.6% |
|
| C. 从没听说 |
1 |
2.6% |
0 |
0 |
|
|
2.如果你知道，请试着写出三个不同的百分数。 |
全对38 |
100% |
38 |
100% |
|
|
3.请说出下列各个百分数的含义。 99%，0.6%，100%，121.7%，300% |
基本正确35 |
92.1% |
正确37 |
97.4% |
|
| 有错3 |
7.9% |
有错1 |
2.6% |
||
|
4.说一说百分数和分数在意义上有什么不同？ |
全对1 |
2.6% |
清晰表达14 |
36.8% |
|
| 基本正确26 |
68.4% |
||||
| 其它9 |
23.7% |
基本正确24 |
63.2% |
||
| 空着2 |
5.3% |
||||
|
5.为什么要有百分数？ |
方便27 |
71% |
方便36 |
94.8% |
|
| 其它3 |
7.9% |
其它1 |
2.6% |
||
| 空着8 |
21.1% |
空着1 |
2.6% |
||
从以上数据统计中，我们可以读出很多信息。
比如，从前3题的统计中，我们可以得出这样的结论：对六年级的学生而言，关于百分数，他们都有一定的知识基础和相关经验。最明显的是第2题，全部的同学都可以自主地写出3个不同的百分数；对于第一题，只有六（2）班一位名叫唐亿哲的同学选择了从没听说，可他后面的举例和说含义却都能完成，说明他并非从没听说。第3题说含义，两个班虽有差异，但也都有80%左右同学意思表达基本清楚，只是语言表达过于简单和口语化，不够规范而已，比如300%，有学生就简单写3倍。说明学生基本上理解百分数的含义，教学中需要的是引导学生学会完整规范地表达。当然，观测后测数据，我们可以看到两个班都取得了明显的进步。
对于《百分数认识》的教学，许多老师都会花费很大的力气组织资源，创设情境，引导学生感悟使用百分数的好处——便于比较，尤其是在调查统计、分析比较时。我们这两位老师也不例外。就本节课而言，让学生明白和体悟到百分数的好处，当然是教学的核心关注点之一，要不然，我们无法解答学生自然而然的困惑：学了分数，为什么还要学习百分数？但通过数据分析（第5题），这里面可能有两个问题值得探讨。一是对于便于比较的感悟，是老师讲过后，学生才有感受，还是在老师没组织活动之前，大部分学生都已经知晓；或者说，对于分母都一样时（比如100）便于比较这样的基本数学事实，是否老师不用讲一个字，孩子们也早已知道。当然，有的老师可能也会提出质疑，创设情境何止仅让学生仅仅感悟百分数便于比较，还有它的附加价值——自然引出百分数的概念啊！是的，对此，笔者完全认同。我们要问的是，如果大部分学生都已知晓分母一样便于比较的基本数学事实，那么，此处花费多大力气、多长时间才为合适？或者说，为了引出百分数，是否还有别的方式？基于学生的基础和经验，不创设情境，开门见山是否可行？二是，关于便于比较，分母只要一样即可，人们为何独爱百分数？十分数、千分数不也可以吗？为何人们不常用？许多老师是否仅仅关注了要引出百分数，而忽视了拓展和延伸。正如两位老师演绎的一样，不管是比较班级跳绳的优秀率还是姚明不同赛季的投球命中率，用百分数自然是方便，但为何不用十分数、千分数，学生是否还是茫然？而这种茫然，是否可以说是学生对百分数的好处认识还不够深刻和全面呢？众所周知，在人类历史上，百分数并非哪一个人发明的，而是在实际应用中逐渐完成和完善的一种特殊形式的数。日常生活中常用的分数有三种：1.十分数，一般说几成，用于比较粗略的估计；2.千分数，一般说千分之几，用于比较精确的计算，如保险费率千分之三等，实际使用不广；3.百分数，精确度比较适中，应用很广。一个百分数相当于两位小数，实际应用中，取两位小数也最为常见，比如圆周率用得最多的就是3.14 。所以，有专家就认为百分数的优点就在于它的精确度适中这个特点，兼顾了简便和有效两个方面。若果真如此，我们的教学仅仅关注了便于比较，是否就会存在着缺失呢？对此，笔者不敢妄言，但疑问却一直继续着。
行文至此，笔者突然想起在一次全国性的教学观摩课上，一位年轻的男老师美轮美奂地精彩演绎完百分数的认识后，一位机灵的男孩子突然发问：老师，百分数会不会有什么缺点呢？该男老师显然根本没思考过这样的问题，随口回答道：迄今为止，我好像还没发现百分数有什么缺点啊！他自以为很机智，但如此回答立刻引来了全场几千名老师的哄堂大笑。为何笑他？此话一出，暴露了教师关于该问题思考的浅薄不说，还违背了人们认知客观世界的普遍规律。老师不知道，并不代表没有。哲人言，任何事物，从诞生之日起，就不可避免地会带着天生的不足。我们一味地说某件事物多好多好的同时，可否能引导学生换个角度，学会辩证思维呢！当然，该男老师诚恳的态度还是值得点赞的。对百分数而言，如果能给学生提供精确度的视角，相信聪明的学生自己就可以悟出百分数何时会有不便或不足。
谈到不足，让我们再次关注统计数据。对本课而言，两位老师最大的不足或者说问题出在哪呢？
相信大家都知道，本节课的难点所在是百分数和分数的区别与联系。如果这个问题不能有效突破，对学生而言，此课上与不上，可能效果都是一样的。从两位老师的设计中，我们不难看出，两位老师都用了大量时间，多种手段，或列表、或对比，力求让每个学生都能充分感知百分数与分数的不同。但从数据对比中，我们可以明显地看出，学生对此问题的认识进步幅度是最小的（第4题），其中一个班有10.5%的学生课后依然不能清晰表达，而另一个班有高达63.2%的同学还是停留在表层的理解上，表述依然是百分数的分母只能是100，而分数的分母可以多变；对百分数只表示分率，而分数既可以表示分率，也可以表示具体量的属性并没有阐述。虽然该班能清晰表达的学生数从1进步到了14，提高了30多个百分点，但不得不承认，教学的硬伤很严重。两个班共性的问题都出在这里，何故？
排除班级差异因素，我们来仔细回顾两位老师的教学，或者说，我们来认真梳理许多曾经的教学，我们是否要追问，对学生而言，究竟是老师教会的？还是自己早已知道的？许多貌似精彩的课堂，究竟是部分已知的优秀学生在有意配合老师创造辉煌，还是老师真正做到了在学生的难点、易错点和盲点处点拨？
为什么对于百分数和分数的异同，上完课后还会有许多学生不明白。是老师讲得不好，亦或是老师根本就不该讲？应该由学生自己悟道？若由学生自己悟道，慧根弱的学生又如何能悟到？老师是否还要引导与点拨？若要点拨，应如何点拨才不至于越俎代庖？
理想的课堂应该是教与学的完美结合。过分强调教或者过分强调学恐怕都是不可取的。教学之妙，妙就妙在教与学的关系上。当下，许多老师都在努力课堂转型，教学变革更多地从依靠教到依靠学，学为中心的观点受到了越来越多的提倡。无疑，这种教育常识的回归，会给学生带来无限的学习幸福。因为，学习是学生自己的事，只有自己经历才会有感觉；况且，老师缺少针对性的无聊讲授少了，至少，在听觉上也少了一份无奈和痛苦。但若所有问题都让学生自学，老师一点不教，培养不出优秀人才不说，试想，还要老师这份职业作何。所以，学为中心后，老师的作用不是弱化了，反而是要求更高了。真正好的老师不仅要读懂教材，读懂学生，更重要的是，能在教与学的节点处建立合理的平衡。对课堂而言，教什么（学什么）和怎么教（怎么学）同样重要。
回顾两节课，钱老师从百分数的意义入手，反复说明百分数是一种形式，只表示分率，并列表加以强调；陈老师则结合实际运用，让学生体悟百分数与分数的不同。两位老师不可谓不用心，也不能说没考虑到学生的学情，但都缺失了知识的生长之根，没能从本源上解释为什么百分数不可以带单位名称。对陈老师而言，一节课40分钟，课上到一半，时间已经过去了50%，还剩下50%分钟。在这样的具体问题情境中，学生可以理解50%分钟的错误，但不见得他们能明白所有的百分数都不可以带单位名称，或许，就有4个学生会想，这只是个特例，也许，别的时候百分数就可以带单位了，甚至，有的孩子会天真地期待这种“奇迹”出现呢。对钱老师而言，即便是强调一万遍，而不从根本上给学生说明为什么，效果也会和现实一样，总有部分学生的认知只停留在表面。
如何才能让学生清晰地认知百分数与分数的区别与联系，方法当然有很多种，笔者以为，传统教学常用的，从旧知引出新知，在学生最近发展区做文章依然不失为一种有效的策略。试想，两位老师假如能有更宽的视野，更结构化的思维，深刻了解并尊重学生的基础，从学生已知的分数的意义上和属性上导入本节课，动态地给学生呈现如下知识生长关系图，学生是否就会从根本上杜绝百分数带单位的模糊认知呢？
此图可以这样理解，对任何一个分数而言，都有两种属性，既可以表示分率，也可以表示具体量，我们姑且把集合圈一分为二（黄色表示分率，绿色表示具体量）；作为分数大家庭的一部分，分母是100的分数而自然也不例外，当然可以即表示分率，也可以表示具体量。用分母是100的分数表示分率时，不仅可以非常方便地比较出分率的大小，而且精确度合适，人们就经常使用它的这一属性。慢慢地，人们喜欢上了它，为了突出这一属性，人们给它设计了专有的符号（%），以区分别的分母是100的分数，并专门取名为百分数，或者叫百分比及百分率。直观地看，百分数仅是图上红色的区块，并非分母是100的分数都是百分数。换句话说，分母是100的分数只有表示分率时才叫百分数。百分数自然不表示具体量，但它和可以带单位的分母是100的分数属于近亲和近邻。此图是否符合逻辑还有待商榷（如果用立体的图层表达可能更好），但若如此，基于学生的已有认知，用历史的观点，还原了知识的生长过程，加之直观地演示，学生是否就可以轻松地感知百分数的产生及与分数的不同呢？笔者依然不敢妄言，但愿有机会，一定亲自尝试。
哲人言，树梢有多高，则树根就有多深。笔者说，只有生根，才可以发芽！无论从教的角度，还是从学的视野，我们都不能违背知识本身的生长规律，更不可违背人类认知的基本规律。只有遵循了学习的基本规律，尊重了教育的基本原理，教学才可能取得良好的效果。
以上仅仅是笔者的一点点浅见，可能有失偏颇。关于《百分数的认识》，还有许多问题值得深究，欢迎广大老师对笔者及两位老师尚欠成熟的想法和做法多多提出宝贵意见。笔者先行谢过！