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跳跃扩散过程  - 引入

2017-04-11 17:33阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/3666869772

扩散的意思是这样的过程可以包含布朗运动的成份，甚至写成布朗运动的积分形式。同时，这样的过程可以包含跳跃。本章仅考虑在时间区间上跳跃由有限多次的过程。
最基础的跳过程是泊松过程，在 11.2节里会讨论。复合泊松过程也是一个泊松过程，但跳跃大小是随机的。在 11.3里会讨论。
引入纯跳跃过程的概念。也就是一个初始为零，并且在时间区间上跳跃由有限多次，并且没有跳跃时保持常数的随机过程。11.4讲由一下几个部分的和组成的跳过程：非随机初始条件，关于布朗运动的伊藤积分，关于时间的黎曼积分，以及纯跳跃过程。11.5节讲关于跳过程的随机微积分。可被看成是伊藤公式的拓展。11.6节将泊松过程的测度转化为符合泊松过程的测度。我们可以同时做布朗运动和复合泊松过程的测度变换。通过这样的变换，同时变换布朗运动的表一项和复合泊松过程跳跃距离的概率分布。

11.2 泊松过程
布朗运动是基础的连续性随机过程，而泊松过程是基础的跳跃性，即非连续型随机过程。这里的连续和非连续指的是样本路径是否连续。
要了解泊松过程，可以先从指数分布的性质入手。我们知道，指数分布可以用来模拟比如排队时客户到来的时间间隔等随机变量。指数分布可以用一个参数如 \lambda来刻画，记为 exp(\lamba)，其均值是 1/\lamba。参数越大，分布越靠近t比较小的时候。指数分布是无记忆的。假设随机变量是某一时间第一次发生的时刻，无记忆性质表
示在任意一个时间点，如果这件事还未发生，还需要等待的时间的概率分布不会因现在所在的时间点发生改变。证明见 11.2.3.

泊松过程的构造
假设一系列随机变量 \tao_i遵循相同的指数分布 exp(\lambda)，并有无穷多个。\tao_i类似于时间长度。令 S_n为这一系列随机变量的累加和。在某个时间点，考虑这个时间处于哪两个 S_k之间。也就是考虑在 t之前能容下几个时间长度 \tao_i，记个数为 N(t)。N(t)为泊松过程，是右连续的。因为之前时间的容纳比较宽裕，如果时间 t之前恰好能容下一个等待时间，那么还是将它纳入计数。因此取时间维度上的右极限时刚好等于 N(t)。泊松过程的强度由指数分布的强度决定。

泊松过程增值的分布
引理 11.2.1告诉我们累加和随机变量 S_n遵循 \gamma密度 11.2.5.
证明利用了 n的递推。密度函数对 n = 1成立。已知 S_n的分布，计算 S_n+1的分布，根据 S_n+1的定义，用卷积方法可得出结论。
引理 11.2.2通过 S的性质和累加过程和泊松过程意义之间的联系，计算得出泊松过程N(t)的概率分布。
定理 11.2.3给出了一个类似于布朗运动的泊松过程的性质，也就是平稳增量且增量独立的性质。
书中接着计算了泊松增量的期望和方差。令 s = 0，可以得知泊松过程在任意时刻的随机变量的均值和方差。定理 11.2.4讲的是泊松过程在某一时刻的随机变量减去其均值形成的新的随机过程是一个鞅。11.2.2画了一个非常好的图来帮助直观理解这个鞅性。

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