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复合泊松过程

2017-04-12 15:21阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/3666869772

普通泊松过程以 1为单位跳动。要模拟金融市场，这样的模型还不够。我们希望允许随机的跳动距离。这样的模型也就是复合泊松过程。

构造
复合泊松过程由随机个数的同分布独立随机变量加和形成。个数是普通泊松过程在某时间点的值。这样形成的随机过程的跳跃时间点和泊松过程完全一致。但跳跃不是 1，而是随机变量 Y_i。事实上，若 Y_i恒等于 1，则 Q(t)就是一个泊松过程。图 11.3.1给出了一个样本路径。
可以根据条件概率的均值计算出 Q(t)的期望。事实上，复合泊松过程在时间t的期望就是跳动距离的均值与计数的泊松过程的均值的乘积，结论符合直觉。

定理 11.3.1告诉我们复合泊松过程去均值之后的过程是一个鞅。证明按照定义推导。定理 11.3.2说了 Q(t)的平稳独立增量的性质。两条定理和简单泊松过程相似。

11.3.2给出复合泊松过程的动量生成函数。等式 11.3.2的推导用到了随机变量 Y的独立性，利用独立性把积的期望写成期望的积。从而用随机
变量 Y的动量生成函数 \phi表示 Q(t)的动量生成函数。

定理 11.3.3说
1) 泊松过程的加权平均是一个复合泊松过程，记为 Q\bar(t)。
2) 泊松过程的和还是一个泊松过程。
3) 在 1)中的复合泊松过程还可以写成在构造泊松过程时那样随机计数的形式。

在 2)中的泊松过程的强度有一定的配比。这个配比在 3)中构造随机变量 Y\bar_i时起了关键的作用。在 3)中，构造 Q\bar时给 N\bar的权重被随机变量 Y\bar吸收，泊松变量强度的配比权重变成了离散型随机变量 Y\bar_i的概率密度。

定理 11.3.3说明了看待同一个复合泊松过程的两种方法。可以看成将简单泊松过程的跳跃变成随机变量的结果，也可以看成一组把跳跃变成某个常数的简单泊松过程的加和。推论 11.3.4说的也就是这一点。
令 y_i为一系列非零常数，p(y_i)为赋予它们的权重。将 p(y_i)看做在 y_i上的概率密度，设其为一系列独立随机变量Y_i的概率分布。按照复合泊松过程的构造方法构造 Q(t)。推论告诉我们，不仅单个简单泊松过程可以写出一系列泊松过程的和，Q(t)也可以写成这些泊松过程的加权和。

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