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关于股市中百分比收益率和对数收益率的比较

2013-12-04 18:44阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/241060293

股市中常用的收益率是百分比收益率，而对数收益率在金融理论中用的较多。
百分比收益率的定义是：Rb=( s2- s1)/ s1= s2/ s1-1
对数收益率的定义是：Rd=ln(s2/ s1)
其中，s1,s2,s3是连续各期的股价，Rb表示百分比收益率，Rd表示对数收益率。
由定义可推知：Rd =ln(s2/ s1)= ln(（s2-s1）/ s1+1)=ln(Rb +1)
Rb简单易懂，使用最为普遍，但其有一些特点要注意。
1、 不对称性：
比如股价s从50升到100再跌回50，股价的变化是0，但R%将如下变化：
50 upto 100，Rb 1=100/50-1=100%
100 downto 50, Rb 2=50/100-1=-50%
2项之和为100%+（-50%）=-50%，并不为0。也即股价s对称地上升和下降同样的数字，其百分比收益率是不同的，也即是不对称的。
再看看对数收益率。
50 upto 100，Rd 1=ln100/50
=69%
100 downto 50, Rd 2= ln 50/100=-69%
因此对数收益率是对称的。
2、 虽然n期的百分比收益率之和为0，但通常最后的股价都小于最初的股价,即sn；
以n=3作一说明。
2
 百分比收益率之和为0
　
 s1
 Rb
 s2
 Rd
s1
 100
 10%
 110
 9.5%
s2
 110
 -10%
 99
 -10.5%
sum
 　
 0%
 　
 -1%
　
 　
 　
 　
 　
s1
 100
 50%
 150
 40.5%
s2
 150
 -50%
 75
 -69.3%
sum
 　
 0%
 　
 -29%
　
 　
 　
 　
 　
s1
 100
 90%
 190
 64.2%
s2
 190
 -90%
 19
 -230.3%
sum
 　
 0%
 　
 -166%

表中列有3种情况，每种情况下的百分比收益率之和Rb1+ Rb2都为0，但s3都小于s1。百分比收益率越大,跌幅越大。从对数收益率角度来看就很好理解，因为对数收益率之和都是负数，百分比收益率越大, 对数收益率之和的负数绝对值越大，跌幅越大。
若n期的对数收益率之和为0，则sn=s1。证明如下：
Rd 1+ Rd 2=ln(s2/s1)+ ln(s3/s2)= ln((s2/s1)* (s3/s2))= ln(s3/s1)=0
s3/s1=e**0=1
s3=s1
3、 第2条反过来, 若n期的最后的股价等于最初的股价,即sn=s1, 则百分比收益率之和大于0,且负的百分比收益率越大, 正的百分比收益率要超过负的百分比收益率的绝对值要更多。如下表示。
3
 sn=s1, 则百分比收益率之和大于0
　
 　
 　
 　
 　
　
 s1
 Rb
 s2
 Rd
s1
 100
 -10%
 90
 -10.5%
s2
 90
 11%
 100
 10.5%
sum
 　
 1%
 　
 0%
　
 　
 　
 　
 　
　
 s1
 Rb
 s2
 Rd
s1
 100
 -50%
 50
 -69.3%
s2
 50
 100%
 100
 69.3%
sum
 　
 50%
 　
 0%

4、收益率的标准差定义为收益率的波动率。如果n期的百分比收益率的平均值相同，但是波动率不同，则波动率大的，其复合收益率小，说明如下。
序号
 1
 2
 3
 4
Rb1
 10%
 5%
 20%
 0%
Rb2
 10%
 10%
 10%
 0%
Rb3
 10%
 15%
 0%
 30%
　
 　
 　
 　
 　
mean
 10.0%
 10.0%
 10.0%
 10.0%
波动率
 0.0%
 4.1%
 8.2%
 14.1%
复合收益率
 10.0%
 9.9%
 9.7%
 9.1%

复合收益率的计算过程：
序号
 s1
 Rb1
 s2
 Rb2
 s3
 Rb3
 s4
 复合收益率
1
 100
 10.0%
 110
 10.0%
 121
 10.0%
 133.1
 10.0%
2
 100
 5.0%
 105
 10.0%
 115.5
 15.0%
 132.8
 9.9%
3
 100
 20.0%
 120
 10.0%
 132
 0.0%
 132.0
 9.7%
3
 100
 0.0%
 100
 0.0%
 100
 30.0%
 130.0
 9.1%
可以看出，波动率越小，即收益越稳定，其复合收益率就越大。

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