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→16→8→4→2→1.(步骤中最高的数是16,共有7个步骤)
例如,n = 11,根据上述数式,得出,11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.(步骤中最高的数是40,共有13个步骤)
例如,n = 27,根据上述数式,得出,27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→161→484→242→121→364→182→91→274→137→412→206→103→310→155→466→233→700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→1336→668→334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232→4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5→16→8→4→2→1.(步骤中最高的数是9232,共有111个步骤)
考拉兹猜想称,任何正整数,经过上述计算步骤后,最终都会得到1.
目前已经有分布式计算在进行验证,到2005年8月2日,已验证正整数到6^258=1729382256910270464,也仍未有找到例外的情况,但是,这并不能够证明对于任何大小的数,这猜想都能成立.
但验证和证明完全是两码事。就是这样一个连小学生都能听懂的猜想，它的证明难倒了这个时代的所有数学家！大数学家厄特希（P.Erdos）曾说过：“数学还没有成熟到足以解决这样的问题。”
既然难于证明，我们为什么不改变思路，研究一下其蕴含有什么深刻物理意义呢
如果从1出发，运用逆向的变换法则，我们就会得到著名的考拉茨图（Collatz graph），下面是19步逆向变换内得到的考拉茨图
观察上图，你也会有与哈里斯一样地发现：所有偶数向右旋转，所有奇数向左旋转。为了明显起见，可以将图形内容向右旋转45度，那么本图的主干，侧枝立马清晰显现。如下图：
观察上图可知深红色曲线为考拉兹图的主干，其余侧枝最后皆跌落其上，为简单起见仅研究主干，其余侧枝不予考虑。该主干之上数字皆为偶数，每步运算都是除以2，用数学语言来说就是，任何以 n = 2^m 的形式的数字 n，其中 m 是正整数时，那么 2^(m-1) 是偶数，所以下面每一步运算也是除以2，也就是2^(m-1)的降幂运算。如何用方程表示这一运算呢？还真有难度。
那么，如果回头自中心1向上看去，这条红色主干不正是指数方程y=2^x所形成的曲线吗？指数函数图像不是如此吗？
怎么没有向右旋转？注意，这是笛卡尔坐标系，不能真实反映函数的自然情况，我们再把它转换成极坐标方程看看：psinθ=2^pcosθ.
可是我无能将其化简，又实在做不出它的图像，怎么办呢？天无绝人之路：指数函数与对数不是互为反函数吗？y=2^x的反函数不正是p=e^θ吗？有了自然对数的图像还愁y=2^x的图像吗？自然对数极坐标图象如下：
上面是对数螺线，鼎鼎有名的等角螺线，雅各布．伯努利的一生挚爱，充满宇宙神秘感的螺线，因为鹦鹉螺的贝壳像等角螺线，植物枝叶的分布像等角螺线，旋涡星系的旋臂像等角螺线，飞蛾扑火的飞行路线还是像等角螺线······
这就是偶数数列y=2^x在自然条件下的轨迹，是不是也充满了神秘？
回到考拉兹图，你会发现偶数数列确实向右旋转，而奇数数列却全都向左转？是不是很奇妙?难道隐藏着什么宇宙奥秘？如图：
明眼人说了：是奇妙，是旋转了，可旋转是有限的，根本达不到等角螺线的程度，看下面电脑高手制作的效果图：
前面说过，对数螺线充满了宇宙奥秘：鹦鹉螺的贝壳像等角螺线，植物枝叶的分布像等角螺线，旋涡星系的旋臂像等角螺线，飞蛾扑火的飞行路线还是像等角螺线······但它们只是像等角螺线，还不是等角螺线！为什么呢？
因为等角螺线是二维的，而自然界的事物都是三维的，考拉兹图同样存在这一问题。
怎样把二维的等角螺线变成三维的呢？再加入一个方程P=bθ.阿基米德螺线方程？对！宇宙的智慧是最高的！等角螺线是最俭省、最低耗能的运动方式，而等速螺线又是最稳定、最平滑的曲线变直线运动方式，两者结合而生成了宇宙最高级的运动方式：
先谈对数螺线，其合成方程式为：P=0.5+ae^θ,
该螺线其起始于中心之外，关于中心0.5处的垂直线对称，当P=Z时，也就是P=0.5+ae^θ=bθ时，P点的值为质数，此时受中心吸引经过P点物体的运行轨迹是圆，其圆心落在0.5垂直线上，而P值为非质数时其轨迹则为椭圆。就比如地球围绕太阳运行其轨迹基本是圆，而其他行星都是椭圆。这一现象是否与黎曼猜想的Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2有异曲同工之妙？并且比黎曼猜想的描述更加直观、清楚、简单？可不可以理解为是黎曼猜想的实证呢？
质数螺线的意义重大，它清楚的向我们展示了质数的分布规律，以及质数在自然界存在的重要意义，它将数学与物理以及自然完美结合起来，从宇宙的无限运行方面形象的向我们展示出质数范围是无限的。质数螺线方程的意义也远高于黎曼猜想，本方程不仅可以简单求出某质数在空间所处的位置，应该也可以用于判定某一数字是否为质数，当然这需要数学家来判定。
下面再转回头看看指数方程psinθ=2^pcosθ（y=2^x）.与等速螺线Z=bθ组成的三维图像。
指数螺线的形态自然界很少，我知晓的仅有南半球的漩涡。
自然对数与指数的三维图像我们都有了，那么考拉兹猜想三维图会是什么样子呢？我没有制图软件，画不出它的三维图，但我想象中它应该是这样：
对！一棵枝丫满天的生命之树。奇偶归一吗，宇宙的神秘之处就在于运行孕育生命。
看到这里，你有没有被数学之美震撼到：简简单单的数字，质数、偶数按照自然规律排列，就形成如此优美的螺线，向我们展示出深邃的宇宙奥秘。
继续深究我更是震惊了！
把这旋转方向相反的两组螺线放在一起，你有没有一丝似曾相识的感觉？
对了，就是它：
这张两千多年前的图早就告诉我们：宇宙是运动的；阴阳相反却又相合；天下万物生于有，有生于无；道生一，一生二，二生三，三生万物；多么高深的宇宙理论，直到今天我们都没有搞明白，观察了两条螺线我才有所顿悟。我彻底被古人的智慧惊呆了：两千多年前地球上好多民族还在饮毛茹血，大多数民族还没有文字，没有任何仪器，仅靠观察与思考，我们的先人就知晓了宇宙的奥秘，这是什么样的智慧？我真怀疑我们的祖先接触了上一个文明的遗留或者外星文明的指引！
中华文明源远流长数千年不断的根基在这里！
你还对中华文明持怀疑态度吗？你还对中华民族的未来信心不足吗？
例如,n = 11,根据上述数式,得出,11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.(步骤中最高的数是40,共有13个步骤)
例如,n = 27,根据上述数式,得出,27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→161→484→242→121→364→182→91→274→137→412→206→103→310→155→466→233→700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→1336→668→334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232→4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5→16→8→4→2→1.(步骤中最高的数是9232,共有111个步骤)
考拉兹猜想称,任何正整数,经过上述计算步骤后,最终都会得到1.
目前已经有分布式计算在进行验证,到2005年8月2日,已验证正整数到6^258=1729382256910270464,也仍未有找到例外的情况,但是,这并不能够证明对于任何大小的数,这猜想都能成立.
但验证和证明完全是两码事。就是这样一个连小学生都能听懂的猜想，它的证明难倒了这个时代的所有数学家！大数学家厄特希（P.Erdos）曾说过：“数学还没有成熟到足以解决这样的问题。”
既然难于证明，我们为什么不改变思路，研究一下其蕴含有什么深刻物理意义呢
如果从1出发，运用逆向的变换法则，我们就会得到著名的考拉茨图（Collatz graph），下面是19步逆向变换内得到的考拉茨图
观察上图，你也会有与哈里斯一样地发现：所有偶数向右旋转，所有奇数向左旋转。为了明显起见，可以将图形内容向右旋转45度，那么本图的主干，侧枝立马清晰显现。如下图：
观察上图可知深红色曲线为考拉兹图的主干，其余侧枝最后皆跌落其上，为简单起见仅研究主干，其余侧枝不予考虑。该主干之上数字皆为偶数，每步运算都是除以2，用数学语言来说就是，任何以 n = 2^m 的形式的数字 n，其中 m 是正整数时，那么 2^(m-1) 是偶数，所以下面每一步运算也是除以2，也就是2^(m-1)的降幂运算。如何用方程表示这一运算呢？还真有难度。
那么，如果回头自中心1向上看去，这条红色主干不正是指数方程y=2^x所形成的曲线吗？指数函数图像不是如此吗？
怎么没有向右旋转？注意，这是笛卡尔坐标系，不能真实反映函数的自然情况，我们再把它转换成极坐标方程看看：psinθ=2^pcosθ.
可是我无能将其化简，又实在做不出它的图像，怎么办呢？天无绝人之路：指数函数与对数不是互为反函数吗？y=2^x的反函数不正是p=e^θ吗？有了自然对数的图像还愁y=2^x的图像吗？自然对数极坐标图象如下：
上面是对数螺线，鼎鼎有名的等角螺线，雅各布．伯努利的一生挚爱，充满宇宙神秘感的螺线，因为鹦鹉螺的贝壳像等角螺线，植物枝叶的分布像等角螺线，旋涡星系的旋臂像等角螺线，飞蛾扑火的飞行路线还是像等角螺线······
这就是偶数数列y=2^x在自然条件下的轨迹，是不是也充满了神秘？
回到考拉兹图，你会发现偶数数列确实向右旋转，而奇数数列却全都向左转？是不是很奇妙?难道隐藏着什么宇宙奥秘？如图：
明眼人说了：是奇妙，是旋转了，可旋转是有限的，根本达不到等角螺线的程度，看下面电脑高手制作的效果图：
前面说过，对数螺线充满了宇宙奥秘：鹦鹉螺的贝壳像等角螺线，植物枝叶的分布像等角螺线，旋涡星系的旋臂像等角螺线，飞蛾扑火的飞行路线还是像等角螺线······但它们只是像等角螺线，还不是等角螺线！为什么呢？
因为等角螺线是二维的，而自然界的事物都是三维的，考拉兹图同样存在这一问题。
怎样把二维的等角螺线变成三维的呢？再加入一个方程P=bθ.阿基米德螺线方程？对！宇宙的智慧是最高的！等角螺线是最俭省、最低耗能的运动方式，而等速螺线又是最稳定、最平滑的曲线变直线运动方式，两者结合而生成了宇宙最高级的运动方式：
先谈对数螺线，其合成方程式为：P=0.5+ae^θ,
该螺线其起始于中心之外，关于中心0.5处的垂直线对称，当P=Z时，也就是P=0.5+ae^θ=bθ时，P点的值为质数，此时受中心吸引经过P点物体的运行轨迹是圆，其圆心落在0.5垂直线上，而P值为非质数时其轨迹则为椭圆。就比如地球围绕太阳运行其轨迹基本是圆，而其他行星都是椭圆。这一现象是否与黎曼猜想的Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2有异曲同工之妙？并且比黎曼猜想的描述更加直观、清楚、简单？可不可以理解为是黎曼猜想的实证呢？
质数螺线的意义重大，它清楚的向我们展示了质数的分布规律，以及质数在自然界存在的重要意义，它将数学与物理以及自然完美结合起来，从宇宙的无限运行方面形象的向我们展示出质数范围是无限的。质数螺线方程的意义也远高于黎曼猜想，本方程不仅可以简单求出某质数在空间所处的位置，应该也可以用于判定某一数字是否为质数，当然这需要数学家来判定。
下面再转回头看看指数方程psinθ=2^pcosθ（y=2^x）.与等速螺线Z=bθ组成的三维图像。
指数螺线的形态自然界很少，我知晓的仅有南半球的漩涡。
自然对数与指数的三维图像我们都有了，那么考拉兹猜想三维图会是什么样子呢？我没有制图软件，画不出它的三维图，但我想象中它应该是这样：
对！一棵枝丫满天的生命之树。奇偶归一吗，宇宙的神秘之处就在于运行孕育生命。
看到这里，你有没有被数学之美震撼到：简简单单的数字，质数、偶数按照自然规律排列，就形成如此优美的螺线，向我们展示出深邃的宇宙奥秘。
继续深究我更是震惊了！
把这旋转方向相反的两组螺线放在一起，你有没有一丝似曾相识的感觉？
对了，就是它：
这张两千多年前的图早就告诉我们：宇宙是运动的；阴阳相反却又相合；天下万物生于有，有生于无；道生一，一生二，二生三，三生万物；多么高深的宇宙理论，直到今天我们都没有搞明白，观察了两条螺线我才有所顿悟。我彻底被古人的智慧惊呆了：两千多年前地球上好多民族还在饮毛茹血，大多数民族还没有文字，没有任何仪器，仅靠观察与思考，我们的先人就知晓了宇宙的奥秘，这是什么样的智慧？我真怀疑我们的祖先接触了上一个文明的遗留或者外星文明的指引！
中华文明源远流长数千年不断的根基在这里！
你还对中华文明持怀疑态度吗？你还对中华民族的未来信心不足吗？