43@365学习《整式的乘除》的建议
2025-02-12 14:29阅读：
学习《整式的乘除》的建议
客观地说，无论北师版、人教版、还是冀教版，七年级上册数学内容重点无非落在了衔接层面。有理数运算，不过在小学非负数四则运算之上增加了负数而已；一元一次方程，简易方程的延续而已；直线、线段、射线和角的内容，和过往一样，停留在了直观；整式化简内容，意在将小学阶段的代数思想推向深入。如果说所谓新，也就是新的节奏、新的方法、新的思想再加上好习惯罢了。
《整式的乘除》可以看成《整式的加减》的继续。虽是继续，价值和意义却大有不同。乘除内容涵盖了整式加减，即化简只能算作乘除运算的一个小环节；整式乘除，是因式分解伏笔，是解决多元高次方程的储备；乘法公式，是数形结合的必备，比如面积法证明勾股定理就需要完全平方公式来辅助；整式的乘除，多角度的观察分析代表了思维的拓宽和深化，是初中阶段锤炼思维品质地启幕。一句话，不管从哪个角度讲，整式乘除的学习都能称得上功在当代、利在千秋。
意义有多大，挑战就有多大。学习整式乘除，也是问题暴露很多很多的时刻。公式少的时候还好对付，数量多了学生也就张冠李戴了；正面运用还好说，换了角度就没了主张；今天没问题，这里没问题，同一个内容换个形式、换个时间兴许就能出现问题……
经过多年的思考和实践，我认为：阐释公式的必要性以及合理性，多维度运用公式解决问题，慢节奏、多重复、共分析，整式乘除才能被我们玩转。
1.要做好公式必要性与合理性的大文章。发自内心的需要和认为游戏规则可行，数学才能玩转。激活学习需要，一是靠原有经验的传承和发展，二是靠情境的魅力。情形的作用在于感染，质疑原有经验的作用在于激活想象。
以“同底数幂的乘法”为例。某校教研案例显示的步骤：开门见山解释概念，教师的事情，三下五除二；从不同角度应用公式，有直接应用的、有稍加变形的、有变换角度
的；课堂检测，及时暴露问题、发现问题、解决问题。诚然高速度、高效率具备了，给人的感觉却是“被牵着走”，因为设计中压根见不着一丝学生主动的成分。快就是慢，快的是速度，丧失的是主动性。北师大版数学七年级的引例将新知识产生的必要性烘托到了高潮。“光在真空的传播速度为3×10
8米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22光年。一年以3×107米/秒计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？”学生的胃口瞬间就会被吊起来，不难得到3×108×3×107×4.22米，因为当真不知其为何物。简洁是数学的追求，化简是不可回避的主题。问题在于如何化简。联系原有的认知，主动和同学交流，自然而然。乘方为何，108即10×10×.......×10（共8个10）、107即10×10×.......×10（共7个10），两者相乘也就是15个10在做乘法，也就是说108×107=1015才是。至此，同底数幂乘法的原理已经具备了雏形。不妨模仿下去，24×27怎样计算，35×27呢.......观察算式特征，这样的乘法算式能写无数个的，追问学生“怎样才能具有一般性”。于是，公式am×an=am+n才能够被学生认可接纳。
公式模型是整式乘除的重头戏。数学讲究推理，从已知到未知，即从已有经验出发到生成新经验，这个过程才是学习的过程。短平快，意味着生拉硬套。拉长学习过程，润物细无声，新经验才能做到“润”。指数为正整数，“相同的若干个数相乘”，好理解。而，指数一旦成为了零或者负整数，认知矛盾就出现了：什么叫零个数相乘，若非还有负的多少多少个数相乘吗……冲突激发的也是学生的学习兴趣，破解冲突，靠的是想原有认知的转化。零指数、负指数的前面，是正整指数的概念和同底数幂的除法。比如20，可以构造的，23÷23正是，28÷28也行，250÷250还行，因为同底数幂性质使然，结合“相同的两个数商为1”的经验，不难得到统一的认识：20=1.继续下去，2-3如何得到，20÷23......于是，是乘除的学习就形成了一个闭环，可以由此及彼，也可以由彼及此。
学习数学如同做游戏一样，接纳游戏规则和团队是前提。倘若“牛不喝水抢按头”一般，所谓得急只是教师的，绝对勾不起学生的心理触动。时下的卷，让个个红了眼睛，“精简多练”为理由，“题海”成为“练习、调研”卷土重来。唯有让心沉下来，在知识的必要性和合理性下力气，学习方能成为师生合力下的作品。
2.要做好“以公式为核心”的问题解决的大文章。认可公式了，不意味着公式成为了认知的一部分，仅仅接受了、领会了、接纳了。想要公式内化，需要认识到其价值才行。培根说，“知识就是力量”。但实际上，能发挥作用的、有价值的知识才有力量。因此，想方设法地用好公式模型，整式乘除才能在学生心底处扎根。
用好公式，也分为三个层次。一是做好“内循环”，即在小圈子里活动。还是以同底数幂的乘法为例。计算87×813，底数都是8，可以直接运用公式；稍加变形（-8）7×（-8）13，需要在（-8）20处稍作停顿，“一个负数的偶次方结果为正”可以继续进行，结果写作820，或者个数增加bm×bm+1×b，字母个数增多，但实质是不变的；逆向应用公式，“2m=3，2n=5，2m+n的值是多少？”无须纠结m、n的具体值，从右向左看公式就可以了。认识一个人，音、容、笑、貌，并行才能印象深刻。同样，“横看成岭侧成峰”不同角度进行观察，公式才能从平面走向立体化。
第二个层次是畅通“大循环”，即视线放远一些。比如，幂的乘除公式可以综合使用，（3yx2）3×y÷x5，既有积的乘方，也有同底数幂的乘法，还有同底数幂的除法，指数需要或加或减或乘就需要区分对待；整式乘除也可以和加减法综合起来，比如计算（3x-2）2-（3x-2）（3x+2），既有差的平方公式、还有平方差公式，要合理运用公式、还得明确运算的先后，既有乘除法还有加减法；也可以为简便计算服务，比如125×123-1242，三个数字中，124处于核心位置，于是算式的前半部分就成了平方差公式。整式加减乘除同上阵，大循环就有了大单元的味道。跳出一时一域的局限，学习才能上升到一个新台阶，于是整式乘除的学习才能把人领到新境界。
第三个层次是打通“任督二脉”，即上升到核心素养的高度。可以把习题1.2的第7题进行改造。（1）观察算式，4×6=24,14×16=224，24×26=624，34×36=1224……你能发现其中的规律吗？请写出之后的两个算式。（2）利用前一分钟的规律计算124×126。（3）你能用代数式表示其中的规律并且说明它的正确吗？（4）你能利用图形说明规律吗？第一问，观察所给的四个算式“结构、结果以及3个数字的关系”，利用发现续写。第二问，利用所得规律解决新问题；第三问，完成抽象推理，建立出两个二项式乘法模型达成对猜想的确认；第四问，由数到形，用“形”的高度揭示“数”的合理，可以看成一个边长为x的正方形挖去边长为1的正方形后的重新组合（如下图所示）。如此一来二去，知识是死的、方法是活的，在观察、猜想、发现、验证中，认知不断“死去活来”，于是达成了以整式乘除锤炼思维、促进成长的最终目的。
学习的愿景，学会学习。学会学习，就是在用中“学会思考”。中考试题中介入情境因素、课标中提倡问题意识、教学主张应用和创新，三件事实际上是一件事。在情境中发现数学，在浓缩中发现问题，在解决中明晰线索，整式乘除不过其中一个工具而已。工具，是通过不同角度达成感知全面的。拒绝盲人摸象的“窘”，在用中让知识变得鲜活灵动起来，成全的是思维的圆满、格局的高远。
3.要做好“慢下来”的大文章。2012年版的课标，“螺旋式上升”让人费解、难于把握，却又是契合人性的点睛之笔。人人都盼望一蹴而就、花好月圆，但事实上，哪里有那么多的一蹴而就、花好月圆呢。今天感觉有困难的内容，明天或许就能猛地醒悟了。这里的大问题，学着学着可能渐渐就解决了。《整式的乘除》就是如此，公式模型多，涉及知识点多，问题解决复杂，思考问题深度再增加，面对着刚从小学到初中的学生，思维、心智还不那么成熟，所以“慢下来”是科学规律下的别无选择。
一旦出现计算问题了，不要一味抱怨粗心，不要立刻吹胡子瞪眼。往往，有可能粗心真的不是粗心。比如差的平方公式与平方差公式，单个的时候、初学的时候还好，稍微复杂一些的时候就犯头晕了。“想当然”是常有的事情，比如把平方差公式错写成完全平方公式。没关系，你就和学生坐下来，分析一下两个公式如何得到的。（a+b）（a-b）=a2-b2,（a-b）2=a2-2ab+b2,左边截然不同，一个是“和与差的乘法”，另个是两个相同的差的乘积；展开计算，前个+b与-b相遇得-b2，后面只有-b与-b相乘等于b2；结果，前个是两项（平方差即平方的差），后面是三项。说着说课，看着看着，区别就大了。时间是融合剂，用时间浸润，再大的问题都不是问题。
作业要精下来、简下来。所谓精，涵盖全面，“全体学生、全部内容、所有重点”；所谓“简”，简洁，多一个就太多、少一个就不足。从整式乘除开始，题难度、复杂程度都开始加大。学生的差异也会逐渐暴露。以平方差公式为例，特别突出的可以侧重以综合情境的问题解决为主，中等学生要侧重公式的变化，比较差的就可以直接用最一般的形式。具体说，优秀的可以布置章节总复习的第11题“不同方法计算阴影的面积”，要的是灵活应用；中档学生可以完成习题1.3的点第二个大题，要的是在不同情境中正确识别公式、应用公式；差的学生就可以只完成第一大题的前三问，要的是最简单形式下的公式基础应用。不要怕学生分化，因为他们早就分化了。“不同的学生实现不同的数学成长”，意味着在各自程度上的提高，学之后比学之前强一点，今天比昨天强一点。为不同的学生找到最精华的、最简洁的任务，才能人人各得其所。
人脑不是电脑，遵循艾宾浩斯的规律，学习才能有效。多重复，成绩差的需要，成绩平平的也需要，成绩好的同样需要。就如同学，再要好的同学，多年不见也会淡忘的。想要熟悉的话，很简单，通过各种途径反反复复的建立联系就够了。不过，重复的路径应该有所不同。有的侧重链接，比如多项式除以单项式内容，要看成“第一分配律”，和乘法分配律完全相同；有的侧重呈现，比如多项式除以单项式“到底是如何进行的”；有的侧重具体，能“说出结果是怎样得到的”就够了。兵教兵，学生之间相互讲解，就是知识再线的绝佳方法。多重复，也是“等”的需要。不等到绝大多数同学过关，不能进行下一内容的，所谓“千里之堤”必须“始于足下”才行。
时代进步的标志，快。但是，太快了，人容易浮躁和发飘，搞不清所处的位置和状态，“不知道自己吃几碗干饭”了。唯有静下来、慢下来、简单下来，才能反观自己、思考问题、做出规划和突破自己。《整式的乘除》，是大运算的开始，是大思维的开始，更需要我们摒弃任何干扰，“慢下来，再慢下来”。“那人就在灯火阑珊处”的惊喜，就是无数“慢下来”的累积效应，“那人”才是我们努力的方向。
