52@365凸显素养，深挖思想，重视规范，助力三角形的学习
2026-02-21 12:08阅读：
凸显素养，深挖思想，重视规范，助力三角形的学习
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明及其应用》，让几乎所有数学老师焦虑的部分。三角形的内外角原本在八年级上册，迁移而来，并且加上了多边形的内容，课时增加了四个；大部头的证明，复杂的图形，复杂的方法，通通展开，再会解脱的都会头疼；教学时间仅有18周，比上个学期少了整整4个星期，可谓“屋漏偏逢连阴雨”。
办法总比困难多。再大的纠结，也于事无补。发现问题，分析问题，解决问题，同样适合复杂教学内容的分析。从标题不难看出，证明与应用，是这一章的两大主线。深化证明的认识、体会证明的价值、理解“理”在证明的作用、发展推理能力，作为几何与图形学习的敲门砖，“神不散”是学习三角形的不二要求。
共性，保证了学习的螺旋上升，成就了学习的稳健；核心素养，在知识体系中逐渐达成，是终生受用的能力；数学有殊于其他学科的特点，图形学习犹是，规范的思考方式、表达方式才是三角形学习的本和根。虽然知识点多、内容头绪多、问题变化多，如果抓稳了素养、共性和规范，三角形的学习无疑会举重若轻。
一.抓素养，成就学习的底蕴
2022版课程标准，提出了“三会”，即通过数学的眼光、数学的思维、数学的语言等三个角度，实现对现实世界的把握。三角形单元，是七年级下册“三角形”和“图形的轴对称”基础上的继续，是借助理性对感性的再次确认。核心素养的渗透，要做好“一盘棋”思想，也就是在细节上做好文章——越是具体越是能够促进落实。
1.将三种语言融会贯通。数学有自己的专属语言，那就是图形、符号和文字。停留在孤立层面，会造成盲人摸象得片面。把涉及的图形画出来、把涉及的内容用符号表达出来、把涉及的想法用自然语言说出来，一个命题才能留下立体的印记。比如“直角三角形的两个锐角互余”，是自然语言层面。画一个直角三角形ABC（如图1），∠C为直角，AB为斜边，这是图形语言层面；翻译成符号：在RTABC中，BC2+AC2=AB2.三种语言，一个命题的三种不同表现形式。描述现实世界的数量关系以及空间形式，数学靠的就是语言。作为构成数学的细胞，形成法则、公式、定理的前提条件，掌握不好的话语言将功亏一篑。学习三角形，要创造机会将语言的转换作为常态，要提供平台，让学生不断地说、画和描绘。“熟能生巧”，语言的学习有着渐进的过程，只要坚持用心，使用“一体化”渐渐就能化作学生的习惯。
2.将命题解剖。或真或假，命题无不表达了对现实世界的思考。进入八年级下册以后，命题的复杂程度开始加大了。一如解剖麻雀，找到命题的条件和结论，确定出条件和问题，善于把条件和结论调换位置重新思考，学习方能由由单薄跃升为丰富。比如线段的垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”。想找出提设和结论，先要找到两个核心词“垂直平分线、相等”；将两个核心词进行扩充，谁的垂直平分线、哪些元素相等；用“如果”引导第一个关键词，用“那么”引导第二个关键词，两个关键词都成为陈述句，“如果一个点在线段的垂直平分线上，那么它到这条线段的两个端点的距离相等”；“如果”引导的部分，叫做条件或者说是已知部分，“那么”引导的部分，叫做论或者说问题部分；将命题的条件结论调换，“如果一个点到线段的两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”，即观察逆命题。看到30°角，马上想到对边是最长边的一半，归根到底“命题成立的条件”出了问题。找横看成岭侧成峰，善于解剖，命题运用才能既准确又迅速，驾轻而就熟。
3.拓宽思考视野。坐井观天，不是对井底之蛙的讽刺，而是善意的提醒，打破局限，思考层次才能跃上新台阶。与“相交线平行线”单元相比，三角形的综合性更强、分析难度更大、推理要求更高，打开视野成了必然的选择。发散思维，比如出现了两条线段相等的情形，应该马上意识到，可能会有三角形全等、垂直平分线、角平分线、等腰三角形等若干可能；出现了60°角，兴许会出现等边三角形、含有30度角的直角三角形、线段长度可能相等；推理手法的多样，可以逆向思考——要求证明“一个三角形不能同时有两个直角”偏偏反其道行之“假设存在两个钝角”，找出矛盾就可以了。可以用同一法，让证明满足条件的三角形是直角三角形，将问题暂且置于一边，只需再要做一个直角三角形，并且已知图形全等就够了。还可以补形，出现了60o角，干脆补上一部分成为等边三角形。拓宽思路，七年级下册学习全等三角形的时候已有渗透，比如有线段中点存在，延长加倍三角形的中线，构成全等三角形。然而，彼时推理要求还属于初步接触层面，伴随着经验的增多，此时的推理已经“更上一层楼”了。
作业改革，分层的呼声很高。笔者不敢苟同。降低要求，甚至让薄弱者不必跳起来，同时优秀的可以求深、求尖，学生间的差距只会越来越大。人人都有探究的愿望。以推理为契机，为不同层次的学生赋能，弱者可以只有一个解决渠道，强者能够有多种方案，再优秀的可以变换条件继续研究，这才是课堂上的百花齐放、百家争鸣。核心素养，人人都应该达到，如果层次不同而已。激活不同学生的兴趣，为不同的学生赋能，核心素养方能走下神坛，在每一节常态课上落地生根。
二.抓共性，成就学习的规律
“不同主题的一致性、不同内容的关联性、不同主题内容研究方法的一致性”，这是核心素养导向下对学数学的新要求。站在主题的高度，基于单元和整体，理解具体要点的数学本质、降低学习负担提高学习效率，才能成为教学的最强音。
教学无非是个例子，叶圣陶先生说。学习内容无限，课堂教学的时间却是有限的，用有限的时间和内容促成学生形成好习惯和好能力，这才是课堂教学的终极目标。具体说，呈现规律，而不是让刷题训练成为主流，宽松的氛围、有序的节奏才会让学生爱上数学。
1.学习内容的共性。三角形内容属于几何与图形领域。这个领域的学习，都是三个主题的统一，“图形的性质，图形的变化和图形与坐标”。回顾平行线，先是对比相交线给出平行线的形象，“三条线，八个角”；由相交到平行，同位角、内错角、同旁内角的数量发生了怎样的变化，得到平行线的性质；
逆向思考平行线的性质，得到平行线的判别方法；修建道路、潜望镜原理、相交线与平行线相综合，落在了应用的层面。三角形证明的学习也是如此，而且每一个小单元也都是如是进行的。比如三角形内角和定理单元。先是回顾平行线事实和三角形三个角的剪拼过程，得到内角和等于180度的事实；构造平行线，构造平角，证明三角形内角和性质；引入三角形的外角、多边形的内角与外角，并用三角形内角和定理解决新问题。认识——证明——应用，构成了学习的主旋律，是三角形的，也是其他图形的，学习内容的一致性在此体现得淋漓尽致。
2.学习方法的共性。等腰三角形、中垂线、角平分线单元，无论哪一方面的性质，都是全等三角形下的必然结果。所谓三角形全等，先是由对应的边或者角相等得到全等，再是由全等得到对应边和角的相等，即在全等与边等角等之间形成了闭环。比如线段的垂直平分线。如图2，直线BC是线段AM的垂直平分线，在BC上任取一点B，连接AB
、MB，不难发现：两个小三角形，存在着一条公共边BC、两条相等的边CM和AM、都存有直角，于是RTMCB
