76@365学习乘法公式，困难与攻难
2026-03-17 19:17阅读：
学习乘法公式，困难与攻难
整式运算内容，北师大版数学分成4个单元：七年级上册第三章，加法与减法，包含了去括号与合并同类项，符号选取以及系数加减法是关键；七年级下册第一章，乘法与除法，幂、单项式、多项式、乘法公式、四则综合穿插进行，指数变化、符号选择、公式辨析应用、综合推理避之不及；八年级下册第四章，因式分解，乘法的逆运算，侧重了逆向思考；八年级下册第五章，分式，作为七年级下册内容的补充，即两个单项式相除“分母的指数比分子大的情形”、多项式除以多项式，与分式类比进行是诀窍。每一个阶段都有自己的侧重、难度，开端自然随和，然而学着学着就晕了。
比如平方差公式，（a+b）（a-b）=a2-b2.
两个数的和乘以两个数的差，等于两个数的平方差。容易理解得很，大可以对号入座。（m+5）（m-5），m代替了a，5代替了b，得到m2-25在谈笑之间。然而，谈笑只是暂时的——二项式的符号会发生变化、各式的位置有可能改变、参与乘法式子可能会增长到三四个，“是否符合公式结构、怎样转化成公式所需的结构”，任何一个忽略都能让你惨淡收兵；差的平方公式，与平方差公式不一样，却常常混为一谈，结果该三项的常常写成两项；三个公式都学完以后，竟然惊悚，多项式之间的乘法，早已经糊里又糊涂了。
不妨回到单元的教学目标：“经历平方差公式和完全平方公式的探索过程，发展推理能力；理解平方差公式和完全平方公式，能利用公式进行简单的计算和推理；了解平方差公式和完全平方公式的几何背景，发展几何直观”。目标是教的依据，也是学的依据，“饮水要思源”，暴露出的问题，当然要从目标落实层面寻找原因。
曾参善于三省吾身，学习乘法公式也该如此——我们是否“从大量多项式乘以多项式的案例中，导出了具有特殊结构的例子”，经历了一般到特殊以及辨别了特殊乘法例子的特殊性；我们是否经过了不同公式的辨析过程，式子有哪些相同点与不同点，不断尝试、不断分析、不断纠正、不断强化；公式与图形背景是否融合了，理解运用是否成功开辟了新的途径；公式是否纳入了有意关注，学习的过程成为了挑战自己、享受成功、感受乐趣的过程。哪一个回答存在偏差，就意味着哪一点存在着困难，就代表着哪一项要付出调整与改进。
注重整体感知，善于变式学习，勇于问题分享，为乘法公式建立学习链条，将每一个失误作为资源，为每一个环节注入亮点，螺旋式的认知上升才能具备可能。困难诚然存在，但是，只要我们敏于不断为纾困赋能，只要我们学习的渐进性落到实处，只要我们把解压纳入课堂关注，攻坚克难进而提高学生的获得感就会化作课堂的真实场景。
1.立足大单元理念，以整体感知为突破，促成学习一般到特殊。学习就像认识城市地图，抓住主干道路和主要建筑先行，小胡同小街道不过主干的延伸，如此这般才不会陷入“东一榔头西一杠子”似的盲目。学习乘法公式也是这样。今天学平方差，明天搞个数形结合，后天学习差的平方公式，大后天再来个数形结合，然后综合应用。不注重整体把握，各个点注定是分裂着的，简单一点还好对付，倘若公式多了、形式多了、综合程度高了，不手忙脚乱才是怪事呢。
无论平方差公式还是完全公式，“给出特例——研究公式特点——应用公式”成了不变的模式。线索诚然清晰，然而单调，同时开端过程略显得单薄。不妨改写，给出一组算式，如（x+2）（x-2）、（x-2）（x-2）、（3x-2y）（3x+2y）、（3x+y）（3x-2y）、（3x-2）（x-2），有的形式特殊有的则一般，大可以任由学生算下去。学生也可以模仿着举例子，举例子并且演算。举着举着算着算着，就发现问题了，因为有的算式结果非常特殊，比如可以写成平方差的形式或者含平方和的三项式。由此，乘法算式可以分类：结果是四项式的一组、结果是平方差的一组、结果是含平方和的三项一组……分门别类，去观察，观察算式中各项的特点，就会发现诸如“两个数的和乘以两个数的差等于这两个数的平方差”的规律，当然更可以符号化（x+y）（x-y）=x2-y2.这样引入，公式就不会单打独斗而是会呈现出一张立体的网。三个公式都属于特殊的多项式乘以多项式，算式结构特殊导致了结果结构特殊，只需要注意特点、抓住特点、对号入座就够了。学习公式的必要性以及公式的全方位感知，显然比分而治之既有力又丰富。
数形结合，将公式用图形表示出来，也是整体感知公式面目的好途径。比如两个普通的二项式相乘，(a+b)（c+d），可以看成一个长方形的长乘宽，长可以分成两部分a与b，宽也可以分成两部分c与d.于是长方形就可以看成被分割成的四部分之和：ac、ad、bc和bd.而和的平方公式，（a+b）2，长方形就变成了正方形，边长都是a+b，于是四部分就变成了a2、b2以及2个ab.
平方差公式(a+b）(a-b），则可以逆向进行，将一个边长为a的大正方形挖去一个边长为b的小正方形，剩下的部分可以拼割成一个长方形：长a+b、宽a-b.数形结合百般好，形有了数的表达所以严谨、数有了形的刻画所以生动直观。完全可以说，用结合的角度整体把握，公式的感知又多了一条可行途径。
盲人摸大象，有的说像蒲扇，有的说像柱子，都不准确，因为片面所致。如果观察触摸同时进行，大象的印记该不会如此偏颇。乘法公式同样如此。多一个途径，多一种认知方式，就多一个加深理解的可能。整体感知，代表味着跃升一个高度，跳出公式看公式，俯瞰而得全貌。尽管失误仍然不可避免，但是，只要稍加回顾就能自我醒悟——毕竟无论哪个角度，公式各有各的特色。
2.立足公式变化，以兴趣为突破，赋予学习的趣味性。文似看山，学习该亦如看山，突兀不平而横生妙趣，课堂才会有意思。教材的例题、练习、复习，都显得太平。比如平方差公式的第1课时，例题一就是公式的直接运用、第二，不过将某一项变成了系数是分数或者某一项变成了两个字母而已，随堂练习简直可以看成例题的翻版。尝试思考环节，确是提出了（a—b）（—a—b）的情形，然而蜻蜓点水、昙花一现，有看点并未加墨、有突兀并未强化，勾起了食欲却只是干吊胃口。说是开端务实也好，说注重基础也好，说为了全体也好，有一点倒是可以肯定：平淡如白开水，引不起味蕾的冲动，让人昏昏欲睡反倒极有可能。
但凡公式的应用，无非五个维度：一是直接用，和公式形式完全相同，直接套用就够了；二是间接用，和公式形式有所区别，本质却是相同的，变化成符合公式的形式就够了；三是综合性，既有平方差公式还有完全平方公式，或者也存在加减运算，区分、正确选择就可以了；四是逆向应用，原本公式由乘积到多项式，来个180度大转弯，先给出结果多项式，然后分析是哪两个式子的乘积，
要谙熟公式的结构才行；五是设置新的情景，可以利用公式及问题或者创造新的公式。结合核心素养，由一般的式子抽象成公式，代表着数学的眼光；应用，是用数学的角度来推理；新的情景，新的信息，是在用模型的方式进行表达。几个角度交错进行，变化就产生了，学数学的趣味性也就来了。
举个例子，平方差公式的有层次应用：直接计算（2-3x）（2+3x），相同的项（2）在前相反的项（-3x与3x）在后，可以直接套用；计算（-3x-2y）（2y-3x），虽是乘法却并非“和与差相乘”，需要认定出相同的项“-3x”，将算式先行变形为（-3x-2y）（-3x+2y）；计算（2x-1）（x-1）-（2x-1）（2x+1），既有一般多项式间的乘法也有乘法公式，并且出现了减法，需要正确使用法则和运算顺序；已知a2-b2=40，a+b=5，求a-b的值，需要逆向应用乘法公式，即a2-b2=（a+b）（a-b），然后才能代入求值；设置情景，将一块正方形纸片（边长为a）中裁去一个边长为b的正方形，余下部分继续拼接成了等腰梯形(如图所示)，操作能够验证出的乘法公式是哪一个？直接利用此公式计算（-3x-5y）（5y-3x）（9x
