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“圆来如此简单”之“四点共圆”

2025-11-07 14:54阅读:
一、教学目标
理解四点共圆的概念,掌握四点共圆的判定定理和性质定理,并能运用这些定理解决相关的几何问题 ,通过对四点共圆相关知识的探究,体会从特殊到一般、类比、转化等数学思想方法,提高逻辑思维能力和推理论证能力。引导学生积极参与数学活动,培养学生独立思考、合作交流的学习习惯,激发学生学习数学的兴趣,体会数学的美学价值。
二、教学重难点
重点掌握四点共圆的判定定理和性质定理,能够熟练运用判定定理判断四点共圆,利用性质定理解决角度、线段等几何问题。
难点是判定定理和性质定理的证明及灵活应用,在复杂的几何图形中发现四点共圆的条件,并运用相关定理进行推理和计算。
三、教学方法
讲授法、讨论法、探究法相结合。通过讲授,向学生传授四点共圆的基本概念、定理等知识;组织学生讨论,激发学生思维,促进学生之间的思想交流与碰撞;引导学生自主探究,让学生在探究过程中深入理解知识,提高解决问题的能力。利用多媒体辅助教学,展示几何图形的动态变化过程,帮助学生直观地理解抽象的数学概念和定理,提高教学效果。
四、教学过程
(一)导入新课(5 分钟)
在中考数学中有一类高频率考题,几乎每年各地都会出现,明明图形中没有出现 ,但是解题中必须用到“圆”的知识点,像这样的题我们称之为“隐圆模型。正所谓:有“圆 千里来相会,无“圆 对面不相逢。隐圆模型的题的关键突破口就在于能否看出这个隐藏的圆。一旦形毕露,则答案手到擒来!本节课重点学习“隐圆模型”之“四点共圆”
(二)讲授新课(
SPAN> 分钟)
给出四点共圆的定义:如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆。通过简单的动画演示,展示四个点在圆上的不同位置,让学生对四点共圆有一个直观的认识。
  1. 性质定理探究:让学生在练习本上画出一个圆,然后在圆上任取四个点ABCD,连接四边形 ABCD。引导学生观察四边形 ABCD 的内角之间的关系,测量角的度数,猜想圆内接四边形的性质。给出圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。结合图形,利用圆周角定理进行严格的证明。
  2. 判定定理探究:提出问题:如何判断四个点在同一个圆上呢?引导学生从性质定理的逆命题出发进行思考。
探究 1:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。引导学生用反证法进行证明。假设四边形 ABCD 的对角互补,但四个顶点不共圆,然后推出矛盾,从而证明该判定定理成立。
探究 2:若两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质,结合圆的定义进行证明 。
总结四点共圆的判定方法:(1)若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆;(2)对角互补的四边形的四个顶点共圆;(3)有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆 。
(三)例题讲解(15 分钟)
1 如图,在ABC中,过点AADBC与点D,过点D分别作ABAC的垂线,垂足分别为EF.求证:BEFC四点共圆.
A
B
C
D
E
F

A
B
C
D
E
F



证明 因为DEABDFAC
所以AEDAFD180°,即AEDF四点共圆.
连结EF,则AEFADF
因为ADBCDFAC
所以FCDADFAEF
所以BEFC四点共圆.
2 在锐角ABC中,ABACAD为 边上的高,EAC的中点.若M为线段BD上的动点(点M与点D不重合),过点CCNAM与点N,射线ENAB相交于点P,证明:APE2∠MAD
A
B
C
D
E
P
N
M
A
B
C
D
E
P
N
M




证明 如图,连结DE
EAC的中点,所以DEAECENE
从而ANDC在以点E为圆心、AC为直径的圆上,所以DEN2∠DAN
由题意可得DBC的中点,所以EDAB
所以APEDEP2∠MAD
(四)课堂练习(10 分钟)
1、在四边形 ABCD 中,∠B = 60°∠D = 120°,判断 ABCD 四点是否共圆,并说明理由。
2
、已知:如图,四边形 ABCD 内接于圆,∠B = 50°∠ACD = 25°,求∠BAD 的度数 。

学生独立完成练习,教师巡视指导,及时发现学生存在的问题并进行讲解。
(五)课堂小结(5 分钟)
与学生一起回顾四点共圆的定义、判定定理和性质定理。总结四点共圆在解决几何问题中的常见思路和方法,如通过证明四点共圆来证明角相等、线段相等或平行、垂直等关系。
(六)布置作业(5 分钟)
基础作业:
已知四边形 ABCD 中,∠A = 100°∠C = 80°,证明 ABCD 四点共圆,并求∠B∠D 的度数和。
能力提升作业:
ABC 中,AB = ACDBC 上一点,过 ABD 三点作圆 O,求证:点 C 在圆 O 上。
拓展探究作业:寻找生活中更多可以用四点共圆知识解释的现象或实际应用,并记录下来。




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