讲解Verdier对偶定理的历程回顾
2024-12-14 13:13阅读：22
2024年底，Strongart教授终于讲完了Verdier对偶定理的证明，算是把前几年的坑都填上了（没有太监），就是不知道有多少人能一直跟下来，下面就来简单回顾一下这段历程。
2021年5月，我开了一门层论课程，不是从属于代数几何的应用层论，而是在拓扑空间上的【通用层论】。这样的课程大概半个月出一讲，一直讲到计划中的一部分：主要是f_!的右伴随需要在导出范畴中考虑，便另开了一门面向导出范畴的【超同调代数】。
2022年3月，【超同调代数】开播，主要讲Abel范畴上的同调代数，尝试处理Grothendieck范畴与Freyd-Mitchell嵌入定理，后面再引入三角范畴与导出范畴。但在介绍完一下基本概念后，便遇到了范畴的局部化，它的模版是非交换环的局部化，于是便出现了计划外的变化。
2022年10月，【非交换代数】死灰复燃，这个系列比较冷门，原本只做了12讲。现在重新开始讲环的局部化，加快进度到年底完成了Goidle定理的证明。
2023年1月，重新回到【超同调代数】，沿着局部化这条线索，从一般范畴到Abel范畴，再从三角范畴到导出范畴，然后还有函子的局部化，再处理导出范畴中的基本函子，最后让Grothendieck六算子粉墨登场，Verdier对偶定理就是最后的一组伴随算子。
2023年11月，从f_!开始重新回到【通用层论】，开始蚂蚁啃大象，处理Verdier对偶定理的特例与推论，证明了很多层论公式，最后推出代数拓扑里的Poincare对偶定理。后来发现直接啃Veridier对偶定理有点困难，但借用三角范畴中的Brown可表示性定理，可以充分简化Verdier对偶定理的证明。
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2024年3月，继续回到【超同调代数】，开始从凝聚函子出发，证明Brown可表示性定理。其中讨论了三角范畴的Abel化，遇到了Frobenius范畴，便执着的让【非交换代数】再次死灰复燃。
2024年5月，用两个月的时间补了五讲【非交换代数】，主要就是介绍Frobenius代数与拟Frobenius环。
2024年7月，重新回到【超同调代数】，终于在9月份证完Brown可表示性定理，它是伴随函子定理在三角范畴中的体现。
2024年10月，回到【通用层论】中Verdier对偶定理的证明，直接修正Brown可表示性定理需要另外的工具，还是用来自层论方法的标准证明，其中借用了Brown可表示性定理的证明思路，有了前期准备之后自然就是瓜熟蒂落水到渠成了。
同学们，以后再有土博士质疑Strongart教授的数学水平，可以让他的老师来证个Verdier对偶试试。实际上，章璞老师有一本《三角范畴与导出范畴》，在中文的代数参考书中算是一枝独秀，但似乎也没讲到Brown可表示性定理，但后来有论文讨论了其证明细节，估计会在未来的第二版中把它给加进去吧。
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