新浪博客

拓扑范畴不是拓扑斯

2025-02-12 13:04阅读：16

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1215048895

初等拓扑斯（topos）简称拓扑斯，指有有限积、子对象分类子与幂对象的范畴。值得注意的是，拓扑空间的范畴Top不是拓扑斯，因为它不是Cartesian闭的。 设范畴C有有限积，C称为Cartesian闭的，若对任何A∈C，A×- 有右伴随。这样的右伴随一般记作（-）^A，称为幂对象。有自然双射：
Hom（A×B，C）= Hom（B，C^A）
伴随函子定理：设F：C→D与G：D→C是函子，若有函子伴随（F，G），则F保持C内的上极限且G保持D内的极限。
由此可得，若范畴Top是Cartesian闭的，则A×-保持Top内的上极限，因此保持其上等值子，进而保持其商拓扑，但这是不成立的！
 Whitehead引理：设f：X→Y是商映射，若C是局部紧空间，则f×1：X×C→Y×C是商映射。
反例：取C=Q为有理数，f：R→S是实数集上粘合所有Z+的点得到的映射，则f×1：R×Q→S×Q不是商映射。取A_n = （n，n/√2），以各A_n为交叉点画一个小×，从上面两个端点起向上做平行于Y轴的直线，再从下面两个端点起向下做平行于Y轴的直线，其围成的内部区域记作U_n（直观的看，就两条上下对称的竖直放置的领带其尖端交于点A_n）. 这样，U=∪U_n是R的开子集，它包含所有(Z+)×Q的点，因此是一个饱和集，即U=(f×1)^(-1)(f×1)（U）. 然而，对于点（Z+，0）的像
P，它应该是(f×1)（U）的内点，但任取P在S内的领域V，对充分大的N，(f×1)^(-1)（V）必定包含点A_N，因此V并不包含在U内，矛盾！
幸运的是，紧生成拓扑空间的范畴构成拓扑斯。


扩展阅读：
【1】Riehl E. Category theory in context[M]. Courier Dover Publications, 2017. （内容丰富的范畴论参考书）
【2】Munkres J .Topology[M].机械工业出版社,2004. （内容丰富点集拓扑参考书）

留言板

下载客户端体验更佳，还能发布图片和表情~

亿万博主正在被热评！
999+

给此博文留言吧！ 有机会上热评榜！ 攒金币兑换礼品！

好的评论会让人崇拜发布评论

关注

我的更多文章

下载客户端阅读体验更佳

APP专享
打开APP