关于模型范畴的两个定义
2025-02-20 13:04阅读：2,110
模型范畴（model
category）是无穷范畴（范畴同伦、同伦代数等）中的重要概念，一般有公理化定义与弱因子系定义两种方式，其中需要提升（lifting）与收缩（retract）的基本概念，请同学们自己参考文献（不想画图）。这里只说明一点，下面的提升都是弱提升，仅考虑存在性而不需要唯一性。
先定义弱因子系（WFS）的概念：范畴M内弱因子系指态射类的对（L，R），满足条件：
1）任何态射f都有分解：f=gh，h∈L且g∈R.
2）L=⊥R且R=L⊥
可以证明等价条件：（L，R）是WFS iff
L⊥R且L与R都是收缩封闭的。
接下来，定义范畴M的弱等价子范畴W为对收缩封闭的子范畴，这里的子范畴要求对恒同与复合是封闭的。弱等价子范畴W称为满足2/3-性质，若f：X→Y与g：Y→Z是可复合的态射，f，g与gf中有两个是弱等价，则第三个也是弱等价。
设M是完备且上完备的范畴（MC0），定义M上的模型结构为对恒同与复合封闭的态射集（Cof，Fib，W），分别称为上纤维。纤维与弱等价，满足下列条件：
M1）弱等价W满足2/3-性质。
M2）（Cof，Fib∩W）是WFS.
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M3）（W∩Cof，Fib）是WFS.
下面是模型范畴的公理化定义；范畴M上的模型结构指对恒同与复合封闭的态射集组成的三元组（Cof，Fib，W），分别称为上纤维。纤维与弱等价，满足下面公理条件：
MC0）范畴M有任何（小）极限与（小）上极限。
MC1）弱等价W满足2/3-性质。
MC2）Cof，Fib与W都是对收缩封闭的。
MC3）W∩Cof相对于Fib是可提升的且Cof相对于W∩Fib是可提升的。
MC4）对任何态射f，有f=pi=qj，其中i∈Cof，p∈W∩Fib且j∈W∩Cof，q∈Fib.
这里W∩Cof称为平凡上纤维且W∩Fib称为平凡纤维。带有模型结构的范畴就称为模型范畴。
在这个公理化定义中，MC0）就是范畴的完备与上完备性。MC1）就是M1）.
MC2）可以拆成两部分：Cof与Fib对收缩封闭+W对收缩封闭，分别记作：MC2a）与MC2b），其中MC2b）被包含在弱等价子范畴的定义中。最后，由弱因子系的等价定义，可以得到：MC2a）+MC3）+MC4）iff
M2）+M3），因此这两个定义是等价的。
扩展阅读：
【1】Hovey M. Model
categories[M]. American Mathematical Soc., 2007.
（模型范畴基础参考书，包括模型范畴的公理化定义）
【2】May J P, Ponto K. More
concise algebraic topology: localization, completion, and model
categories[M]. University of Chicago Press, 2011.
（代数拓扑的高阶参考书，包括模型范畴的弱因子系定义）
【3】Riehl E. Factorization
systems[J]. Preprint available at www. math. jhu.
edu/eriehl/factorization. pdf, 2008.
（讨论各类因子系的讲义，后面会涉及模型范畴）
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