新浪博客

实数真的是与直线上的点一一对应的吗？

2022-10-10 21:03阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1267940857

“实数是与直线上的点一一对应的”，也就是“数轴”的概念，似乎已经是我们的一个常识，我没有查到这个说法是什么时候由谁首先提出来的。
最近看了一些“0.999……=1”的讨论，推敲之下，对这个“常识”产生了质疑。
我们知道，数，是劳动人民因为生产、生活的需要发明的，然后才逐渐地建立起来的理论。
先有自然数，再有了整数，又产生了分数，到此的全部被称为有理数。有理数是后来才有的名字，当时并没有这个名字，而是统称为“数”，因为人们认为这就是全部的“数”。
对“数”进行总结而上升为理论定义，应该是基于几何的。我们知道，柏拉图学院的大门上写着“不懂几何者不得入内”，而没说“不懂算术者不得入内”，可见在当时学者严眼中几何是多么高大上，而算术则是下里巴，是商贩、税务官才会摆弄的东西。所以，用几何来定义数就理所当然了，这个传统一直延续到近代。
最开始用几何来定义数是“比例”。即两根线段长度的比的关系。人们凭直觉想当然地认为“给定任意长度的两根线段，一定能找到一个共同的尺度，可以同时将这两根线段均匀等分”，这被成为“可公约或可公度”公设，是几何学的基础之一，即我们现在所说的公理。
后来，我们都知道，毕达哥拉斯学派的希波索斯发现了√2，从而发现了无理数，而无理数引发了第一次数学危机。无理数为什么能引发数学危机呢？不就是一个数吗？加进来就是了。那是因为无理数打破了“可公度性”这条公设，违背了“常识”，动摇了数学的基础。当时的人们都懵了：这是怎么回事？为什么会这样？怎么解释？怎么解决？
也正是因为违背了“可公度性”这个“理所当然”的“常识”，所以，无理数才被称为无理数的，也才给之前的“数”命名为“有理数”。
后来，同样来自毕达哥拉斯学派的欧多克斯给“比例”做了新的定义，
使得“比例”不再必须是有理数，亦即不再要求“等分线段”了，才把无理数纳入进数的范畴，将数的概念扩展到了实数。实数还是用“比例”定义的，只是此比例已经不再是彼比例的定义了。
到欧多克斯之后的2200多年后，戴德金又用集合论的方法重新定义了“实数”。戴德金还是用几何定义的实数，只不过不再是“比例”，而是对有理数集合的分割。戴德金就是明确地假设“数与直线上的点一一对应”的。在柯西、戴德金等人的共同努力下，建立了现代的“实数理论”，据说以此解决了第二次数学危机。
“0.999……=1”到底成不成立？基本上有3种答案。
第一个答案，是基于小数的最初始定义的，即“小数是十进制分数的一种特殊表现形式”，这也是小学所接受的小数概念。从这个定义出发，0.111……、0.333……、0.999……等都是从除法法则计算得来得，要么应看作是有限小数而不是无限循环小数，要么是看作是除法过程得到的商而不包含余数，因此，“0.999……=1”是不成立的。
第二个答案，在实数理论的范畴内，“0.999……=1”是成立的。其中有几种证明方法，如，欧拉的等比数列求和加上极限的证明方法，再有就是从实数定义出发的反证法，即，两个不同的点（实数）之间必然存在其他的点（实数），若找不到这样的点（实数）就说这两个点（两个实数）“相等”，这是实数理论给“相等”所作的定义。用反证法证明在0.999……与1之间找不到其他的实数，所以“0.999……=1”成立。
第三个答案，在超实数范畴内，“0.999……=1”不成立，因为无穷小也是数了，而0.999……与1之间恰恰就是差了一个无穷小。所以，在超实数系种，0.999……与1是两个不同的数。
难道这就是答案了吗？
通过观察“0.999……=1”的讨论过程，我们发现一个特点，之所以大多数人都没法接受“0.999……=1”，是因为人们直观地认为小数，即“XXX.XXXXX”这样的形式就是“数”本身，而从“XXX.XXXXX”这种形式的结构来看，0.999……就是不是1，就像0.000……1不是0一样，它们怎么可能相等呢？
其实，我们会发现，这种“想当然”地认为是一直存在的。在发明小数之后，在发现无理数存在之前，人们都认为“小数都是分数”呢，根本就没意识到无限不循环小数不是分数。现在也一样，人们“想当然”地认为“所有小数都是实数”，我不由得怀疑：“所有小数真的都是实数吗？”
然后，我找到了“0.000……1”这个数。它是实数吗？显然，它应该就是无穷小嘛。不仅“0.000……1”是无穷小，“0.000……2”也是，“0.000……3”也是，有无穷多个无穷小。
但是，转念一想，可以用证明“0.999……=1”的方法同样证明“0.000……1=0”啊。于是，我觉得我可能错了，在实数的定义之下，“0.000……1”是实数，就是0，而不是无穷小。
再但是，我进一步想，那么，用同样的方法不是也可以证明“无穷小=0”吗？问题出在了哪里？
再次回顾定义的过程，我们可以发现，柯西在证明无穷小“不是数，而是变量”，从而将无穷小排除在数之外的过程种，用到了“确定取值”这个概念。
数必须有“确定取值”，这不是理所当然的吗？（又是一个“理所当然”），但是，无限数是“确定取值”吗？位数都不确定，哪来的“确定取值”呢？那么，问题就归为“什么是‘确定取值’上了”。
我们再回头看“数”的定义过程，就发现本文开头的这个“常识”了：“实数是与直线上的点一一对应的”。正因为“点”是“固定”的，因此“数”才是“确定取值”的。
那么，就剩下2个方向了，要么直线上的“点”的位置不是固定的，要么，就要怀疑数与点一一对应这个假设是有问题的。对于前者，虽然现实世界中已经证明不存在绝对静止的点，但是，数学不是物理，它们可以狡辩说“数学就是这么规定的”，我们就一点办法都没有了，那么也就只能从后者下手了。
仔细研究，我们发现，这里确实存在漏洞。
从小数这种形式的结构来看，无限数怎么会是“确定”的呢？学一下爱因斯坦的那种思想实验的方式，我们彷佛能看到一条不断抖动的线抖动着延申到无穷远去，哪怕追到宇宙的尽头，它也没有尽头，就那么在抖动着，一直抖动着，延申着，它停不下来，因为它是无穷的。忽然，我意识到，这样的数，同样也是无法在一条直线上对应到固定的点的，它一直在抖动，要么是从不同的点抖动到另一个点，要么是那个点也随着它一起抖动着的。
这或许就是问题的答案！
戴德金错了！错就错在，他未经证明，就假设无理数是直线上固定的点了，从而先验地就事先假定了无理数是“数”，而忽略了“无限数”本身就具有像无穷小一样“没有确定取值”的性质。然后，接下来就不自觉地陷入了“循环论证”的陷阱里了——先假定无理数是直线上固定的点，在通过分割证明它在直线上。
证明0.999……=1不也是同样的问题？首先，还没搞清楚0.999……是不是实数呢，就先假定它是实数了，然后用实数的“相等”的定义来证明0.999……=1，证明了0.999……=1反过来也就证明了0.999……是个实数，这也是循环论证。如果这样的话，我们同样也能把这个思路用到无穷小上了，证明“无穷小=0”，就像证明“0.000……1=0”一样。可是，问题是你能事先证明无穷小不是数，从而将它排除，而你也没证明“0.000……1”、“0.999……”是数啊，怎么就能用这个方法来证明了呢？
直观上0.999……就应该小于1，就像0.000……1大于0一样。你说直观错了，要通过严谨的证明，那你又怎么证明“0.999……”、“0.000……1”是实数呢？证明给我看看吧。
你证明不了！除了通过实数相等的定义，你是没法直接在数轴上找到它们对应的点的。你所能找到的点，一定都是有限数。无限数你怎么定点？还是用“夹逼法”？那你只能夹逼出“无理数等于某个有理数”的结果来，因为无理数与相应的某个有理数之间也只是差了一个无穷小。——这就是我的证明！证明“实数与直线上的点一一对应”的假设不成立，证明“无限数没有确定取值”。
因此，看似严密的实数理论的定义实质上是有问题的，“数”的概念必须被重新定义了。


以上，我们从“0.999……=1”的讨论出发，却发现了远大于“0.999……=1”本身的问题，再回过头来看“0.999……=1”的问题，前面貌似说了“在实数范围内，0.999……=1的答案是成立”，如今看来也变成了“不成立”了，因为你无法证明0.999……是实数。

我的更多文章

下载客户端阅读体验更佳

APP专享