由“戴德金分割”我们看到了什么？

2022-10-11 06:45阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1267940857

特意找来了“戴德金分割”看了一下，因为实数理论就是通过戴德金分割来建立的。果然还是发现了问题。

戴德金分割，是用对有理数集合的分割来定义无理数的，我们看到它是怎么定义的吧。
首先，是将一切有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一个元素小于集合A'中的每一个元素。集合A称为划分的下组，集合A'称为划分的上组，并将这种划分记成A|A'。
然后，分析以上分割的类型，只有三种：
(1)在下组A内无最大数，而在上组A'内有最小数r;
(2)在下组A内有最大数r，而在上组A'内无最小数;
(3)在下组A内既无最大数，在上组A'内也无最小数。
在前两种情形，称分划由有理数r产生，(r称为A与A'之间的界数)，又或说分划定义有理数r。而在第三种情形中，界数并不存在，分划并不定义任何有理数。于是引入相对于有理数的新的对象——无理数，并约定任一由第(3)类型的分划定义某一无理数α。这个数α便代替缺少的界数。把界数α插入在A组的一切数a与A'组的一切数a'中间。对于这种划分，每当考虑一个不是由有理数产生的分割时，就得到一个新数，即无理数，并认为这个数是由这种分割完全确定的。
因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义

为有理数集的一切分割，而一个实数α就是一个分割A|A'。这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。

通过上述对于构造分割的描述，我们可以发现，戴德金认为在第三类分割中只会产生唯一的一个无理数，这一假设似乎并没有依据，由这种分割产生的并不一定就是唯一的一个无理数，而完全可以是一个无理数集合。因此，也就不能说“这个数由这种分割完全确定”了。也因此，并不能说明“所有可能的分割构成了数轴上的每一个点”吧？分割的点是在数轴上，但是否数轴上的每一个点都是这样的分割点还需证明吧？
我们一再强调数的“确定取值”，而如果分割两个有理数集合的点并不是只有唯一的一个，是否就不能说“无理数都有确定取值”了呢？

查了一下“无理数”的通俗定义，果然还是发现了问题。
我们知道，“数”都是通过几何定义的，如，有理数是用“可公度性”来定义的，即构造2个可公度的线段来定义有理数；而无理数则是通过构造等腰直角三角形的斜边发现的，由此还发现了一系列“不可公度”的无理数，更进一步地发现，圆周率这个由圆周曲线和线段的比也是无理数。总之，无理数也是由几何构造来的。但是，小数却不是由几何构造来的。比如，我们能够通过三等分线段构造出1/3，却不能构造出0.333……，否则，也就不用证明0.333……=1/3和0.999……=1了。
但是，似乎人们又再像之前想当然地认为“所有小数都是分数”一样进入同样的误区了，因为发现的无理数都是无限不循环小数，就认为“所有无限不循环小数都是无理数”了，无理数的通俗定义也正是如此。
所以，所有人都把小数当作所有数的认知也就不奇怪了。
这也掩盖了问题啊。我们发现了一些由几何构造来的无理数，但是，并不是所有的无理数都是由几何构造来的啊。那么，那些不能由几何构造来的数还是无理数吗？
我猜想，人们想当然地认为所有实数都是“确定取值”的数，是不是也是由那些由几何构造来的无理数随意推广来的观念呢？因为，能由几何构造来的无理数显然是有“确定取值”的。但，这并不能说“所有无理数都是有确定取值的”啊，需要证明才行。问题有过证明吗？并没有，有的只是戴德金分割，戴德金分割并不能证明那些分割的点是固定的，它可以是一个集合。那么，有过证明戴德金分割的点是唯一的吗？我没看到。
我觉得我找到问题出在哪了。虽然我不能证明它一定是错的，但是，至少我找到了它的漏洞，需要你们来弥补，如果补不上，那就证明我的怀疑是对的了。

总结一下：
1、戴德金分割并不能保证无理数的唯一性和确定性，即，要么无理数分割可能是个集合而不是唯一数，要么它包含了一个点集而不是一个点，这两者都说明了“不确定性”，而不是确定性。
2、戴德金分割只说明这些分割点（即实数）在数轴上，却并没有证明数轴上的点都是分割点，即都是实数。例如，我们能不能用一个类似无穷小的东西来做分割呢？也就是变量（前面说的“集合”其实就是变量的意思）。
3、所有的定义都没有指向小数，可是人们偏偏又想当然地用小数来做了定义，从而带来了混乱，使得很多我们想当然的小数却很难从真正的定义上找到对应的东西。例如，如何定义0.111……，又如何用0.111……来做分割？0.111……到底是不是有理数呢？如果是，它就应该是1/9，如果它不是1/9，那么它就不应该是有理数，可见小数造成的混乱。原因就在于数根本就不是用小数定义的，人们却把小数看成了数的定义。那么，可想而知，小数的这种想当然的滥用，一定也在很多我们还没意识到的地方引起了混乱和错误的论断，也就不出奇了。

总之，通过分析戴德金分割，恰恰印证了我们的质疑。虽然我们还不能因此就得出确定的结论，但是我们需要看到充分的弥补（证明）才能打消这份质疑。

举报/Report

我的更多文章

下载客户端阅读体验更佳