高等代数基本技巧之打洞

2009-10-16 19:10阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1309871670

打洞可以说是高等代数里面最基本的功夫，但凡江湖上出来混的不应该有不知道的（不知道的都被灭了高等代数基本技巧之打洞

）。高代里面许多多定理其实就是用的就是打洞的想法，所以首先要介绍的第一招就是打洞。

下面这个例题很好地说明了打洞是怎么一回事：
设

是一个方阵，A 是 M 的一个可逆的子矩阵，那么有

证明思路也很简单，就是利用 A 的可逆性来打洞干掉 B 或者 C，

也就是

然后两边求行列式即可。
如果把条件改成B,C,D之一可逆，也有类似的结论，这里就不详细写了。
打洞并不复杂，就是利用可逆的子矩阵来做初等变换消去其它的子矩阵，来实现问题的简化。
把打洞倒过来用也很有用处，比如下面这个例题：

举两个常见的打洞的例子，我就不写具体是怎么打洞的了，大家对照教材仔细体会一下。
1. 矩阵的 LU 分解定理。
2. 一个对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的顺序柱子式都大于0。

特别要强调的是对称矩阵的打洞问题。对称矩阵打洞是打动最重要的应用，因为这个时候的打洞有明确的几何意义：相当于在对称矩阵所规定的“内积”下作 Schmidt 正交化。具体讲，就是当 M 是对称矩阵的时候，用 A 打两次洞干掉 B 和 C 实际上是一个合同变换：