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球面调和函数之一

2018-01-19 01:40阅读：

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介绍



球面调和函数之一
球面调和函数被称为数学物理的瑞士军刀。类比于傅立叶基是求解一、二维空间上卷积的重要工具，球面调和函数是在球面上求解卷积的重要工具。
​

正交函数​​

定义​

​正交函数是一组函数的集合：
球面调和函数之一
集合中函数与函数之间满足如下关系：
球面调和函数之一

​如果：
球面调和函数之一
​则此集合称为标准正交函数。

​投影（展开）与重构

​对在区间[a, b]上连续的任意函数 f(x) ，可以采用如下线性组合来近似：
球面调和函数之一
最大误差的绝对值与 N 成正比：
球面调和函数之一
​已知 f(x) 通过如下公式：
球面调和函数之一
求解 kn 的过程称之为投影、或者展开。​
球面调和函数之一左侧图形为正交函数 右侧图形为被展开的函数 f(x)
​已知 kn 通过如下公式：
球面调和函数之一
近似求解 f(x) 的过程称之为重构。
球面调和函数之一左侧图形为正交函数 右侧图形为重构结果

正交级数的积分

​对于 f(x) 的近似函数：
球面调和函数之一
当 N 为有限值时，此近似函数被称为：band-limited​ 。
​已知：在区间[c, d]上连续的任意函数 a(x) b(x) ，求如下积分：
球面调和函数之一
假设：
球面调和函数之一
分别是​ a(x) b(x) 的 band-limited​ 近似函数，则上述积分可以通过如下公式计算：
球面调和函数之一

伴随勒让德多项式

定义：
球面调和函数之一
球面调和函数之一
递归定义：
球面调和函数之一
​在区间[-1, 1]上，如下函数组成的集合：
球面调和函数之一
是正交的：
球面调和函数之一

​正弦、余弦函数

​对函数：
球面调和函数之一
在区间[-pi, pi]上，具备如下积分性质​：
球面调和函数之一

球面函数

​球面极坐标

球面调和函数之一
球面调和函数之一

球面函数

​球面函数是：
球面调和函数之一
​根据定义，球面上任意一点均有一个标量与之对应，如果为此标量建立一个色表，那么，球面函数可以通过一个有色球来可视化：
球面调和函数之一
​从球心出发，与球面上任意一点连接构成该点的法线方向，如果沿着此法线方向移动一段距离作为球面函数值的对应，则构成另外一种可视化效果：
球面调和函数之一

​球面函数的积分：

球面微分面元：
球面调和函数之一​
在整个球面上积分：
球面调和函数之一
在沿着法线 n 张开的半球面上的积分：
球面调和函数之一
球面函数的正交条件：
球面调和函数之一

调和函数

勒让德多项式可以用来近似区间[-1, 1]上的连续函数，通过计算 theta 的余弦，可以将其映射到区间[-1, 1]内。因此，勒让德多项式可以用来近似圆形对称的球面函数（函数值只与 theta 有关，与 phi 无关）。
​对于非圆形对称的一般球

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