百度网数学题选答36(2)
2023-01-19 21:27阅读：
16.方程4x+3y=20的所有非负整数解为？
解：y=4(5-x)/3,5-x是3的倍数，为0，3，
所以非负整数解(x,y)=(5,0),(2,4).
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17.在四边形
ABCD中，∠BCD=120°，BC平分∠BCD,BD平分∠ACB.E在边AD上，满足BE=CE.AE、BE和AD有什么数量关系，并说明理由。
解：AE+BE=AD.用两种不同的画法说明理由。
在BCD中∠BCD=120°，BC
画法1：在BCD外作∠DBA=∠CBD,边BA与∠BCD的平分线交于点A.连AD.作BC的垂直平分线交边AD于E,连BE,CE.则BE=CE.
画法2：设E是BCD的外心，连BE,CE,DE,则BE=CE=DE.
∠BED=BCD外接圆上的弧BCD的度数
=360°-120°×2=120°，
∠EBD=∠EDB=30°。
延长DE交
∠BCD的平分线于A,连AB.易知∠BEA=60°=∠BCA,
所以A,B,C,E四点共圆，∠ACE=∠ABE。
作EF⊥CD于F,则∠CBD=∠CEF=90°-∠ECF
=90°-（60°-∠ACE)=30°+∠ACE=30°+∠ABE=∠ABD.
可见两法作出的图形互相重合。所以AE+BE=AE+DE=AD.
18.ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,a=2.AD为ABC的角平分线，AD=√3/3.
c=2(cosB-√3/3*sinB),求SABC.
解：a=2,c=2cosB+bcosA=2(cosB-√3/3*sinB),
所以bcosA=-√3/3*asinB,
由正弦定理，cosA=-√3/3*sinA,
tanA=-√3，
A=2π/3，
AD是ABC的角平分线，
所以∠BAD=∠CAD=A/2，
AD=√3/3,
所以SABC=(1/2)bcsinA=(1/2)AD*(b+c)sin(A/2),
所以bc=(√3/3）（b+c）,
由余弦定理，4=b^2+c^2+bc=(b+c)^2-bc=(b+c)^2-(√3/3）（b+c）,
所以(b+c)^2-(√3/3）（b+c）-4=0，
解得b+c=[1/√3+7/√3]/2=4/√3，
于是SABC=√3/3.
19.在ABC中，E,F分别在AB,AC边上，BF与CE交于点G,BEG的面积是2，BCG的面积是3，CFG的面积是4，求ABC的面积。
解：连结AG,设AEG的面积为x,AFG的面积为y,依题意
x/2=AE/EB=(x+y+4)/(2+3),
所以5x=2x+2y+8,
3x-2y=8,
同理，y/4=AF/FC=(2+x+y)/(3+4),
7y=8+4x+4y,
4x-3y=-8,
*3-*2，得x=40,
代入，得120-2y=8,112=2y,y=56,
所以ABC的面积=2+3+4+40+56=105.
20.数列an中，a0=2，,a1=10,且a=6a-an,
求证an能表示成两个自然数平方和.
证：a0=2=1^2+1^2，,a1=10=1^2+3^2,
设b0=b1=1,,b2=3,则
b=2b+bn,为正整数，
猜an=bn^2+[b]^2
n=0,1时成立。
假设n=k-1,k时成立，即
a=b^2+bk^2,
ak=bk^2+b^2,那么
a-{[b]^2+[b]^2}
=6ak-a-{[b]^2+[2b+bk]^2}
=6bk^2-b^2+6[b]^2-bk^2-{5[ b^2+4bkb+bk^2}
={b}^2+4bk^2-4bkb-[b]^2
=[b-2bk]^2-[b]^2
=[b]^2-[b^2=0,
所以a=[b]^2+[b]^2，
即对n=k+1,成立。
由数学归纳法，对任意自然数n,都成立。
21.若函数f(x)=(4-x)|x-2|在区间(2a,3a-1)上单调递增，则实数a的取值范围是(
).
解：x≥2时f(x)=(4-x)(x-2)=-(x-3)^2+1,2≤x≤3时为增函数；x>3时为减函数。
x<2时f(x)=(4-x)(2-x)=(x-3)^2-1,为减函数；
所以f(x)在区间(2a,3a-1)上递增，
所以2≤2a<3a-1≤3,
解得1≤4/3,为所求。
22.分解因式:(a+b)^7-a^7-b^7.
解：尽可能提取公因式，再分组分解。
a^7+b^7
=(a+b)(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6),
(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6,
所以(a+b)^7-a^7-b^7
=(a+b)(7a^5b+14a^4b^2+21a^3b^3+14a^2b^4+7ab^5)
=7ab(a+b)(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4)
=7ab(a+b)[(a^2+b^2)^2+2ab(a^2+b^2)+(ab)^2]
=7ab(a+b)(a^2+b^2+ab)^2.
23.
在面积为112的梯形ABCD中，ADBC,E,F在边AB上，AE:EF:FB=133，CE与DF交于H,ADBC=2
3，那么CDH的面积=？
解：ADBC,设AD=a,AD与BC的距离为h,
AD:BC=2:3,
所以BC=3a/2,
梯形ABCD的面积=5ah/4=112,
所以ah=448/5.
延长CH交DA延长线于A1,延长DH交CB延长线于B1.
AE:EF:FB=13:3,
所以A1A/BC=AE/EB=1/6,
A1A=BC/6=a/4,A1D=5a/4.
B1B/AD=BF/FA=3/4,
B1B=3a/4,B1C=9a/4.
所以A1H/HC=A1D/B1C=5/9,
所以SCDH/SCDA1=9/14,
SCDA1=(1/2)*5a/4*h=5ah/8,
所以SCDH=5ah/8*9/14=45ah/112=(45*448/5)/112=36.
24.
点P是锐角三角形ABC内一点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，求三角形ABC的最大面积。
解：设∠APB=u,∠BPC=v,则u.v∈(0,π),∠CPA=2π-u-v,
ABC的面积S=(1/2)[20sinu+12sinv+15sin(2π-u-v)]
=(1/2)[20sinu+12sinv-15sin(u+v)],
令∂S/∂u=(1/2)[20cosu-15cos(u+v)]=0,
∂S/∂v=(1/2)[12cosv-15cos(u+v)]=0,
得cosv=(5/3)cosu,
代入(4/3)cosu=cos(u+v)得
(4/3)cosu=(5/3)cos^u-√{(1-cos^u)[1-(25/9)cos^u]},
两边都乘以3，整理得√(1-cos^u)(9-25cos^u)=5cos^u-4cosu,
平方得9-34cos^u+25(cosu)^4=25(cosu)^4-40(cosu)^3+16cos^u,
整理得40(cosu)^3-50cos^u+9=0,
解得cosu≈-0.372402013,或1.04328137（舍），或0.580118637（不满足，舍）.
代入， cosv=-0.620670021.
sinv=0.784071887，
sinu=0.928071517,
sin(u+v)=-0.868016117,
S=(1/2)[20sinu+12sinv-15sin(u+v)]
≈(1/2)*40.99053474=20.49526737,为所求的近似值。
比较：u=v=2π/3时S=47√3/4≈20.3515.
25.
在四边形ABCD中，AB=AD，∠CAB=3∠CAD，∠ACD=∠CBD，则tan∠ACD=______
解：设AB=AD=1，∠CAD=u,0π/4，则∠CAB=3u,
以A为原点、AB为x轴建立直角坐标系，则B(1,0),D(cos4u,sin4u),设C(rcos3u,rsin3u),
CD的斜率k1=(sin4u-rsin3u)/(cos4u-rcos3u),
AC的斜率k2=tan3u,
BC的斜率k3=rsin3u/(rcos3u-1),
BD的斜率k4=sin4u/(cos4u-1)=-cos2u/sin2u,
由到角公式，tan∠ACD=(k2-k1)/(1+k2k1)
=[tan3u-(sin4u-rsin3u)/(cos4u-rcos3u)]/[1+tan3u*(sin4u-rsin3u)/(cos4u-rcos3u)]
=[sin3u(cos4u-rcos3u)-cos3u(sin4u-rsin3u)]/[cos3u(cos4u-rcos3u)+sin3u(sin4u-rsin3u)]
=-sinu/(cosu-r),
同理，tan∠CBD=(k4-k3)/(1+k4k3)
=[-cos2u/sin2u-rsin3u/(rcos3u-1)]/sin2u/[1-cos2u/sin2u*rsin3u/(rcos3u-1)]
=[-cos2u(rcos3u-1)-rsin3usin2u]/[sin2u(rcos3u-1)-rsin3ucos2u]
=[-rcosu+cos2u]/[-rsinu-sin2u],
∠ACD=∠CBD,所以=，
sinu(rsinu+sin2u)=(cosu-r)(-rcosu+cos2u),
rsin^u+sinusin2u=-rcos^u+cosucos2u+r^2cosu-rcos2u,
整理得r^2cosu-r(1+cos2u)+cosu(4cos^2-3)=0,
r^2-2rcosu+4cos^u-3=0，
（r-cosu)^2-3sin^u=0,
r=cosu土√3sinu.
代入，tan∠ACD=土√3/3.（舍弃负值）
26.解方程组x+y^2=y^3,y+x^2=x^3。
解：x+y^2=y^3,
y+x^2=x^3,
-，y-x+(x-y)(x+y)=(x-y)(x^2+xy+y^2),
所以y=x,
或x+y-1=x^2+xy+y^2,
把代入，x+x^2=x^3,
x1=0,或x^2-x-1=0,x2,3=(1土√5)/2,
代入，y1=0,y2,3=(1土√5)/2.
设u=x+y,化为u-1=u^2-xy,
xy=u^2-u+1。
+，得u+u^2-2xy=u^3-3xyu,
把代入上式，得-u^2+3u-2=-2u^3+3u^2-3u,
整理得2u^3-4u^2+6u-2=0,
u^3-2u^2+3u-1=0,
解得u≈0.430159709，或u^2-1.56984
u+2.324718≈0（无实根）
代入，xy≈0.754877666
，
由韦达定理，x,y是方程t^2-
0.430159709t+0.754877666≈0的根（虚根，计算从略）
27.在四边形ACEB中，AC=BC=CE,∠ACB=90°，AE交BC于F,BDAC交CE延长线于D,BF=4,DE=2,求BD.
解：设AC=BC=CE=x,∠CAE=∠CEA=a,
BF=4,∠ACB=90°，
所以CF=x-4,tana=(x-4)/x,∠BCD=90°-2a,
BDAC,
所以∠CBD=90°，DE=2,
CD=x+2,
CB/CD=cos∠BCD,
所以x/(x+2)=sin2a=2tana/[1+(tana)^2]=[2(x-4)/x]/[1+(x-4)^2/x^2]
=2x(x-4)/(2x^2-8x+16),
化简得x^2-4x+8=x^2-2x-8,
16=2x.x=8,[注]
tana=1/2,tan2a=(2*1/2)/(1-1/4)=4/3,
BD=CB*tan∠BCD=8/tan2a=6.
注：求BD可用勾股定理：CB=8,CD=10,BD=6.
28.
在四边形ABCD中∠BAD=60°,AB=AD,若BC=5,CD=2,求A.C两点之间的最大距离.
解1：连AC,BD.
在ABD中∠BAD=60°,AB=AD，
所以∠ABD=(180°-60°)/2=60°，AB=BD,设为t,设∠DBC=a,
在BCD中BC=5，CD=2，由余弦定理，
cosa=(t^2+21)/(10t),
所以sina=√(1-cos^t)=√(58t^2-t^4-441)/(10t),
所以cos(60°+a)={t^2+21-√[3(58t^2-t^4-441)]}/(20t),
在ABC中，由余弦定理，
w=AC^2=t^2+25-{t^2+21-√[3(58t^2-t^4-441)]}/2
={t^2+29+√[3(58t^2-t^4-441)]}/2,
设x=t^2,则w={x+29+√[3(58x-x^2-441)]}/2,
2w'=1+√3*（29-x）/√(58x-x^2-441)=0,
√(58x-x^2-441)=√3(x-29),
平方得58x-x^2-441=3(x^2-58x+841),
4x^2-232x+2964=0,
x^2-58x+741=0,
解得x1=39,x2=19（不合，舍）,
代入，得w=49,
所以AC的最大值=√w=7.
解2
连AC,BD.
在ABD中∠BAD=60°,AB=AD，
所以∠ABD=(180°-60°)/2=60°，AB=BD。
把BCD绕B逆时针旋转60°至BEA,连CE.则
AE=DC=2,CE=CB=5,
所以AC≤AE+CE=7,当A,E,C三点共线时取等号，
所以AC的最大值是7.
29.在ABC中AB=AC,CE是∠C的平分线，D是AC的中点，DF⊥AC交CE于F,∠BFE=30°。求∠BAC.
解1：连AF,FD是边AC的中垂线，
所以AF=CF,
CE平分∠ACB,
所以∠BCE=∠ACE=∠FAD,设为x,
设AB=AC=1,
所以∠ABC=∠ACB=2x,BC=2cos2x,
BE/AE=BC/AC=2cos2x,
∠AFE=2x,∠AEC=3x,∠BAF=180°-5x,
∠EFB=30°，
所以∠ABF=3x-30°，
在ABF中由正弦定理，BF/AF=sin5x/sin(3x-30°),
BE/AE=SBEF/SAEF=BFsin30°/AFsin2x=sin5x/[2sin2xsin(3x-30°)],
由，sin5x=2sin4xsin(3x-30°),
观察得x=20°是的解，
所以∠BAC=180°-4x=100°。
解1未能解决解的唯一性问题，所以改变思路，得
解2
作AO⊥BC于O,因AB=AC,故BO=OC,设为1.分别以OB,OA为x,y轴建立直角坐标系，则C(-1,0),B(1,0).
设CE:y=K(x+1),因CE是∠ACB的平分线，故CA:y=2k(x+1)/(1-k^2),
令x=0得A(0,2K/(1-K^2)).
D是AC的中点，故D(-1/2,K/(1-K^2)).
DF⊥AC,故DF:y-k/(1-k^2)=(k^2-1)(x+1/2)/(2k),
DF交CE于F((1-3k^2)/(2k^2-2),-k(k^2+1)/(2k^2-2)),
BF的斜率k1=k(k^2+1)/(5k^2-3),
∠BFE=30°，由到角公式，(k-k1)/(1+kk1)=tan30°=1/√3，
所以√3[k- k(k^2+1)/(5k^2-3)]=1+
k^2*(k^2+1)/(5k^2-3),
去分母得√3(5k^3-3k-k^3-k)=5k^2-3+k^4+k^2,
整理得k^4-4√3k^3+6k^2+4√3k-3=0,
分解因式得(k-√3)(k^3-3√3k^2-3k+√3)=0,
0.176≈tan10°°≈0.726，
所以k^3-3√3k^2-3k+√3=0，
解得k=tan20°≈0.363970234，或k^2-4.832182188k-4.758770483≈0，
后者的解为k=5.671281819,或-0.839099631（均舍）。
所以∠BCE=20°，∠BAC=100°。
30.
从1~1989个自然数中挑出一部分数使其他们的差不是5也不是8最多可以挑出多少个？
解：先考虑比较简单的问题：
(1)从1~1989个自然数中挑出一部分数,使其他们的差不是5,最多可以挑出多少个？
解：把这些自然数按它们被5除的余数分成5类，不同类的自然数的差不是5.
同一类中相邻的两个数的差是5，所以应剔除相邻的自然数。这样，前1980个自然数要剔除990个自然数，后9个自然数，要剔除4个自然数，最多可以挑出995个。
同理，(2)从1~1989个自然数中挑出一部分数,使其他们的差不是8,最多可以挑出992+5=997个。
(3)本题。
取1至5，剔除6至13，取14至18，剔除19至26，……
发现以13为周期，1989=13*153，所以从1~1989个自然数中挑出一部分数使其他们的差不是5也不是8最多可以挑出153*5=765个。
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