一个神奇的六位数
2019-02-25 19:44阅读：
一个神奇的六位数
【问题】一个六位数，把它乘以2、3、4、5、6之后，所得的积仍然是一个六位数，每个积里面的六个数字，也和原来的六位数相同，只是位置发生了变化。求这个六位数。
我们用大写字母M表示这个六位数，小写字母abcdef表示它的六个数字，即M＝abcdef。M乘以2到6的五个积记作2M、3M、4M、5M、6M。下面，我们开始解题。
（一）如何确定首位（即十万位）上的数字a
六个数字中，首位上的a最容易确定。
首先，a不能是2到9这八个数中间的任何一个数，道理很简单，例如当a＝2时，5M在计算时，就是5×2bcdef，最后就会出现5×2＝10，进位之后，
pan>5M就成了七位数，这和已知
5M是六位数是矛盾的。所以
a≥
2是不可能的。
那么a能不能是0呢？如果a＝0，那么M就成了五位数，这也和M是六位数相矛盾。
这样，a只剩下一个可能，这就是：a＝1
（二）M到6M这六个数的首位（即十万位）数字有什么特点
我们来比较一下M、2M、3M、4M、5M、6M这六个数首位数字（下面简称为首数）的大小。
2M－M＝M，差M是个六位数，它的首数是1，因此2M与M的首数不会相同，如果相同，它们相减所得的差为0，就是一个五位数了。因此，2M的首数至少要比M的首数大1。同理，3M－2M＝M，3M的首数至少比2M的首数大1，……依此类推，6M－5M＝M，6M的首数也至少比5M的首数大1。这样，我们可以得到一个不等式：
M的首数＜2M的首数＜3M的首数＜4M的首数＜5M的首数＜6M的首数
因为M的首数是1，也是六个首数中的最小者，我们可以由此得出结论：六个首数互不相等，且均不为0。
根据原题，2M到6M中所有出现的数字，必然会在M这个六位数中出现，我们就可得出一个重要结论：这六个互不相等的非零数，也就是组成M这个六位数的六个数字a、b、c、d、e、f。换句话说，M＝abcdef是由六个互不相等的非零数组成的，最小数为a＝1。
（三）确定M的末位数字（尾数）f
上节我们已经确认，组成
M的六个数字，都是互不相等的非零数，其中最小者是1。因为M的首数是a＝1，显然f不会再等于1，又因为组成Ｍ的六个数字均为非零数，所以f也不会等于0。这样，f只能从2、3、4、5、6、7、8、9这八个数字中去找了。
下面我们来寻找M的尾数f。
（1）f不能为偶数2、4、6、8，否则5M尾数为0，而0不是组成M的一个数。
（2）f不能为5，否则2M、4M、6M尾数也为0。
（3）如果f是3或9，我们可以计算出2M到6M这些积的尾数：
如果M的尾数是3，则2M的尾数是6（2×3=6），3M
的尾数是9（3×3=9），4M的尾数是2（4×3=12），5
M的尾数是5（5×3=15），6
M的尾数是8（6×3=18）。如果M的尾数是9，我们同样可以算出五个积的尾数。列表如下：
|
M
|
2M
|
3M
|
4M
|
5M
|
6M
|
尾数
|
f＝3
|
6
|
9
|
2
|
5
|
8
|
尾数
|
f＝9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
从上表可以看出，如果M的尾数是3或9，M到6M的尾数都是互不相等的6个数，加上M的首数a＝1，一共出现了7个不同的数。这显然与组成M应该是六个互不相等的非零数互相矛盾，因此，尾数是3、9也应加以排除。
这样，在f可能的八个数字中，我们已经排除了七个，只剩下一个７，所以，f只能等于７，也就是说M＝1bcde7。
（四）找出其余的四个数字
现在，已经知道M的首尾两个数字，即M＝1bcde7。
下面，我们来计算2M、３Ｍ、4M、5M、6M的尾数：
因为7×2＝14，7×3＝21，7×4＝28，7×5＝35，7×6＝42，所以五个尾数依次是：4、1、8、5、2。列表如下：
|
M
|
2M
|
3M
|
4M
|
5M
|
6M
|
尾数
|
7
|
4
|
1
|
8
|
5
|
2
|
由上表可知，六个尾数是互不相等的六个非零数，它们就是组成M＝abcdef的六个数。其中a＝1，f＝７，b、c、d、e这四个数由２、４、５、８来确定。剩下的事，就是如何为这四个数来排座次了。
（五）确定十位数字e
十位数字如果是偶数2、4、8，则Ｍ的末两位数分别是27、47、87，我们来看看5M末两位数的计算结果：
27×5＝135，47×5＝235，87×5＝435
计算结果说明，5M的十位数字均毫无例外出现了3，而3并不是组成M的六个数字中的一个，因此e不可能等于2、4、8。
剩下的唯一可能是：e＝5，这样M＝1bcd57。
（六）确定万位数字b
现在只剩下三个数2、4、8了：
（1）先看b会不会等于8。
如果b＝8，则2M
＝18cd57×2，我们来看看
2M首数的计算结果：8×2＝16（产生进位数1），1×2＋1＝3
这样，2M的首数的计算结果是3，它不是组成M的六个非零数中的一个，所以b＝8是不可能的。
（2）再看b会不会等于2。
如果b＝2，则3M
＝12cd57×3，我们来看看3M首数的计算结果：2×3＝6（没有产生进位数），1×3＝3
这样，3M的首数的计算结果也是3，所以b＝2也是不可能的。
最后只剩下唯一的选择，这就是b＝4，M＝14cd57。
（七）最后确定千位和百位数字c和d
现在只剩下8、2两个数，cd只有82和28这两种排法。
先看c＝8、d＝2的排法：这时M＝148257，
我们可直接计算2M到6M的值，列表如下
M
|
148257
|
分
析
|
2M
|
296514
|
出现错误数字9、6
|
3M
|
444771
|
出现4和7的重复数字
|
4M
|
593028
|
出现错误数字9、3、0
|
5M
|
741285
|
未出现错误
|
6M
|
889542
|
出现错误数字9、重复数字8
|
从上表可以看出，除5M中未发现错误，其余四个乘积均有明显错误，所以c＝8、d＝2是不可能的。（实际上只要计算出第一个乘积2M，出现错误数字9、6之后，就马上可以否定c＝8、d＝2了。）
最后我们确定：c＝2，d＝8。
至此，这场马拉松长跑终于到达了终点，问题得到完美的解决，原来的六位数M＝142857，这个结果真是来之不易啊！
下面，我们来验算一下：
M＝142857
2M＝285714
3M＝428571
4M＝571428
5M＝714285
6M＝857142
确实如题目所言，M在乘以2、3、4、5、6之后，仍然是一个六位数，并且所有的积中，六个数字与M中的六个数字完全相同。
这个神奇的六位数是何方神圣？竟然有如此美妙的性质？其实这个数一点也不神秘，我们早在上小学时，就已经和它见过面了。它就是无限循环小数1/7＝0.142857142857……的一个循环节！同样，2M、3M、4M、5M、6M也分别是2/7、3/7、4/7、5/7和6/7的一个循环节。不过，这个循环小数是我们在小学时见过的最难的一个循环小数，我们早就把它忘到九霄云外了。就像辛弃疾的一首词中所说，“众里寻他千百度，那人却在灯火阑珊处。”我们费了九牛二虎之力才找到的142857，原来就是被我们冷落了的老相识1/7这个无限循环小数的一个循环节！
