爱神维纳斯与黄金分割—2019年高考数学全国1卷第（4）题解析
2019-07-11 20:31阅读：
爱神维纳斯与黄金分割
—2019年高考数学全国1卷第（4）题解析
雪夫
古代数学家对“黄金分割”的研究，有着悠久的历史，早在公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形的尺规
作
图，已经接触了黄金分割。到公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯又深入研究了“黄金分割”问题。后来，公元前3世纪末期，大数学家欧几里得在其名著《几何原本》中介绍了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了“黄金分割”，成为最早的有关“黄金分割”的数学典籍。
关于“黄金分割”的基本内容，简述如下：一个点将一条线段a分为两条线段，分别记作a1
、a2
（a1＜a2），如果a1：a2=a2：a，则这个分点叫作线段a的“黄金分割点”，比值a1/a2（或a2/a）叫作“黄金分割数”，用希腊字母φ来表示，φ的读音为汉语拼音fài。
φ的计算方法如下：设a1长度为x，a2长度为1，则a的长度为x+1，根据题意可得方程为：
x / 1=1 /（x+1），则x(x+1)=1，即x²+x-1=0，解得x =
（-1±√5）/ 2，舍去负根得
x =（√5-1）/ 2 。
∴a1=（√5-1）/
2，a2=1，a
= x+1=（√5-1）/ 2+1=（√5+1）/ 2。
∴φ =
a1 /
a2
=（√5-1）/ 2 ≈ 0·618。
应当指出，a1与a是互为倒数的：
（√5-1）/ 2×（√5+1）/ 2 = 1
∴ a =
1/a1
= 1/φ =
φ-1
。
这样，三线段a1、a2、a之比就变得十分简单易记：
a1：a2：a =
φ：1：φ-1
。
φ
是一个无理数，即无限不循环小数，它的前10个有效数字为：φ
=
0.6180339887……
这样，构成一个黄金分割的三线段之比可列表如下：
三线段之比十分重要，是“黄金分割”计算的基础，必须记得滚瓜烂熟。任意给定一线段的值，利用三线之比可以很快求出另外二线段的值。
说到“黄金分割”，我们不能不提到一个神奇的数列—斐波那契数列。这个数列是意大利数学家斐波那契（1170-1250）在研究兔子繁殖问题时发现的。数列的构造方法是，数列头两项均为1，从第三项起，每项都是前两项的和：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，……
数列的递推公式是：
a1=1，a2=1，an=an-1+an-2（n≥3）。
数列的通项公式为：
通项公式用三个无理数来表达一个正整数，令人赞叹不已，显示出数学家的超人才华和数学之美。
斐波那契数列的神奇之处，就在于数列中前后两数之比的极限，就是黄金分割数φ=（√5-1）/2
。因此，计算黄金分割数最简单的方法，就是计算斐波那契数列前后两数之比，将其作为
φ 的近似值，相邻两数越大，精确度越高。例如，将2/3，3/5，5/8作为φ的近似值，只能精确到0·1；而a21、a22两项相除得10946/17711≈0·61803399，它的精确度已经达到小数点之后的第8位。斐波那契还首先研究了人体上的黄金分割点。例如肚脐到脚底的长度与身高之比恰好为黄金分割数φ，后来他还发现另外三个人体的黄金分割点。
下面，我们开始研究2019高考数学“维纳斯”一题的解法。
【高考原题】
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（√5-1）/2
（（√5-1）
