《优因数学》---列率表解应用题，事半功倍
2014-03-11 08:37阅读：
列率表解应用题，事半功倍
张瑞菊
摘要：本文结合自己教学《优因数学》一~三年级教材的情况，并与常规数学进行对比，论述了把中国古代数学优秀思想方法用于数学教学的优越性，特别把率思想方法用于应用题教学的简化作用。论述了这种解题法的理论、概念、方法步骤等方方面面，而且具有可操作性。
关键词：率思想方法
优因数学 率表
四角阵原理
解应用题
培养学生对应用题的解决能力，是义务教育的基本任务之一，是具有终身意义的国民必备的素质。解答应用题，牵涉到各个方面，应用范围很广。所以应用题教学，在小学数学教学中占据着举足轻重的地位，是实现小学数学教学目的、任务的一项重要的工作。现行小学数学教材中应用题的教学，无论从教材的编排上看，还是教学方法的选择上都有全盘西化的倾向，造成了学生课业负担的加重，老师教学任务的繁重。
我校进行的优因数学的教学实验，引用率思想方法和以“率”为纲的解答数学问题的方法，有效地减轻了老师和学生的负担，达到了应用题教学方面的理想效果。想在择要说明如下：
一、
应用题教学在小学数学中的重要作用
众所周知，应用是数学永恒的主题。《九章算术》是公认的中国古代数学代表作，他的内容基本就是按数学应用题的形式写作的。全书内容分为九章。它不仅是按应用内容分章，而且有的章名就是直书应用，例如：第一章，平面图形面积，章名是“方田”，就是求“田亩”；第五章，形体的体积、容积，章名就是“商功”，就是求工程量……全书每章都是一题一题的题目组成，共246道题。可见，中国传统数学以应用为基础特色，影响着其他特色的形成。
《数学课程标准》（实验稿）也明确规定：“课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识和推理能力。”而“应用意识”主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用，面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用数学的知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。应用题正是培养学生“应用意识”的一种简洁、高效、信息容量大的形式，在历史上、在世界各地，对培养学生使用数学知识，解答实际问题、培养思维能力、提高学习兴趣等方面，应用题发挥了巨大的作用，至今也没有可以替代它的更好的形式。
二、
率思想方法
1、
历史上的率思想方法
关于“率”的说法，在《九章算术》以前的古籍中多有出现。刘徽在《九章算术》章经分术注中提到：“凡数相与者谓之率。”可以说是给“率”作了定义。对此定义，学者们在解释上略有区别。例如，郭书春先生写到：“这里的数，实际上相当于现今数学中的量”，“刘徽此处取前者的意思，将其引申到数学中，讨论若干量之间的相关性，即其相对的数量关系。这里实际上是一种线性的关系，比例关系无疑是一种最直观、最常用的率关系，如圆周率与径率，相似勾股形中的勾率、股率和径率，今有术中的所有率和所求率等等，都是正比例关系。但是，率关系并不等同于正比例关系，下面将看到，刘徽在方程中令每行为率，便不是正比例关系。白尚恕先生写到：“‘相与’是估算中的一句术语，‘相与’是指数与数的相关，这里是指相比的关系。数与数的相比关系称为率。由于对“率”的概念定义不那么严格或清晰，不仅个人的理解会有一定的差异，阐述问题也不免含糊，不易理解。
虽然，那时“率”概念尚有含糊不严格的地方，但通过解答各种应用题，研究解答规律，在归纳抽象出一般性算法的过程中，在“辩难”的氛围里，运用综合思维模式，却对“率”的作用和意义逐渐领悟，以至悟得很深刻。
率思想方法如果从数数、度量开始，进行解释，会觉得更加明白具体，容易抓住要领，理解精髓。但《九章算术》是针对当时所可能遇到的数学应用问题的数学著作，不是蒙童的数学教材，未能对率的概念和思想方法从基因意义上进行详细的论述。所以，要能够充分运用率思想方法，一方面要从理论上进行深入研究，严格定义，发掘与各种数学问题的内在联系；另一方面，要改善率思想方法的载体形式，在简单上下工夫，精益求精。
2、率思想方法的基本概念：
率思想方法包含以下基本概念：量、数、计量单位、用数刻画量，数量关系等，特别是他们之间的相互联系和相互作用。
率思想方法包含下面基本概念：量、数、计量单位、用数刻画量，数量关系等，特别是他们之间的相互联系和相互作用。
量，凡是有大小多少意味的事物的属性，便是量。
数，数是量的抽象，是各种量的圭臬和标准。
计量单位，常常简称单位，就是取作与数1对应的一个小量，简称：当1的量。要用数刻画量，必须首先明确计量单位。
简单地说，率思想方法就是：
运用量、计量单位、数等概念及其相互关系、作用，灵活施行于用数刻画量、用数学工具处理信息的思想和数学方法的总称。
3、率表是率思想方法的恰当、现代范式
率思想方法是中国祖先创造的优良数学基因，率表是表达率思想方法的简捷而恰当地范式。《九章算术》“以率为纲”解答数学问题，近200道题都用率思想方法。但是，对率思想方法的运用和表述，仅限于文字语言，而且也相当随意，没有简洁的范式。如果明确：运用率思想方法，先要找出题目中有关的量、计量单位、数，以及相互对应情况，并且用表恰当地表示出来，在表中确定算法，也有明确的法则，那么，就会觉得十分自然、简易了。
率思想方法的现代范式，是在应用题解法的探索研究中逐渐建立和完善起来的。在探索应用题解法教学的过程中，开始对有关率思想方法的各个要素，普遍采用过文字说明，公式、图表等多种形式，逐渐发现，以表的形式最简易、恰当、全面、明确、适应面宽，最后就锁定在表的形式上。从开始研究起，经过不断地运用和推敲，结论还是这种“表”是率思想方法的比较好的范式。
三、用率思想方法和常规解法对比解应用题
在传统的数学教学中，应用题教学是重点也是难点，光是乘除法应用题的教学就从二年级一直学到六年级，要运用乘除法的情况的说法就有十几种，比如“求几个相同加数的和用乘法、求一个数的几倍是多少用乘法、求一个数的几分之几是多少用乘法、求一个数的百分之几是多少用乘法；把一个数平均分成几份求一份是多少用除法、求一个数包含几个另一个数用除法、求一个数是另一个数的几倍用除法、已知一个数的几倍是多少求这个数用除法、已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法、已知一个数的百分之几是多少求这个数用除法、求一个数是另一个数的几分之几用除法、求一个数是另一个数的百分之几用除法、求××率用除法……”这还不包括比和比例的有关应用问题。在应用过程中，为了解决具体问题，又给出了许多所谓的关系式，如:单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，工作效率×时间＝工作总量等，学生在解题时往往要先分析这道题属于哪种类型，然后再对号入坐，套题型。这样不仅增加了学习的难度，也限制了孩子的思维发展。
优因数学运用率思想方法去解决问题，归纳出解答应用题的基本步骤：（1）了解题意，（2）研究数量关系（3）按表上行、阵自然单元求解、组式、回答。在率表上，处于同一横行上的数，计量单位相同，他们只能是加减，从部分与总量的关系上，容易看出应当加或应当减；处于四角阵上的数，运用由数刻划量牵涉到的量、计量单位、数及其对应而成的率表，无论是整、小数乘、除法，还是分数、百分数、比例等应用题，均可按四角阵原理列式解决，从而学生可以用两年时间（二、三年级）轻松地掌握原来五、六年级才能学习的应用题。
例如：
例1
一一班有男生24人，女生26人；一二班有男生28人，女生25人。两班共有多少人？两班各有多少人？
这里，无论已知数、未知数的单位都是“人”，但量却又7个，于是列率表：
1男生 1女生
2男
2女
1共 2共
总共
人
24 26
28
25
？
？
？
显然，率表一目了然，都是由部分求总量，无非要分辨清各自的总量、部分就是了。
例2、同学们站队做操，每排站8人，站了５排，共有多少人？
围绕着数，容易找出本题用的两个单位：人、排。
于是列率表： 排 １ ５
人 ８ ？
根据四角阵原理：对角两个数的积相等，得
８×５＝40（人）
这里，是把“5排”变换为“40人”，即进行单位变换。
例２、博农奶牛场今年养奶牛785头，是去年的５倍，去年养奶牛多少头？
此题中的计量单位有“千克”，从“是去年的5倍”可以知：把去年养的奶牛当1时，今年的就是5，所以，“去年养的奶牛”也是计量单位。另外，题中，去年、今年养的奶牛是两个量。
列率表：
今年 去年
头 785 ？
去年 ５
１
于是，由率表得：
785×１÷５＝157（头）
这是求“去年”一个单位有多少“头”，即是求“去年”、“头”这两个单位间的“进率”。从这个角度看，例2与例1是一样的。而照普通教材的处理：一个是“同数连加”问题，另一个是所谓“倍数”问题，二者大相径庭。
同样，如果改变一下题里的数，把5倍变为1／5，这道题就变成了：博农奶牛场今年养奶牛785头，是去年的1／5，去年养奶牛多少头？
通过读题，分析可得到，此题中的计量单位有“千克”，从“是去年的1／5”可以知：把去年养的奶牛当1时，今年的就是1／5，所以，“去年养的奶牛”也是计量单位。另外，题中，去年、今年养的奶牛是两个量。
列率表：
今年 去年
头 785 ？
去年 1／5
１
于是，由率表得：
785×１÷1／5＝3925（头）
同理，我们还可以把5倍改为50%，虽然数发生了变化，但分析所得的量、数、单位表是一致的，当然步骤、解法也是完全一样的。而不必照常规数学里的“已知一个数的几倍是多少求这个数用除法、已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法、已知一个数的百分之几是多少求这个数用除法”把应用题分为几十、甚至上百种，依靠模仿，运用题海战术达到熟练掌握得目的。
率表对于上述的其它各种情况的运用，都体现着“单位变换”，可想而知。上述各种说法虽然不同，但处理方法都是“单位变换”，在率表上都是按四角阵原理列式，都不用特别死记就能够对每种情况立刻列出算式。用于复合的情况下尤其显得简化。
例３：水果店运来一批水果，卖出
2/3后，还剩下1500千克，水果店运来的这批水果有多少千克？
通过读题，分析可知，这题的计量单位有2个：千克、总量，量有：总量、卖出和剩下的。从而列率表：
总量 卖出 剩下
千克 ？ 1500
总量 １ 2/3
（１－ 2/3）
由四角阵原理得：1500÷（１－
2/3）=4500
在率表上很容易求出1500千克对应的以“总量”为单位的数是（１－
2/3）；1500与
（１－2/3）的对应，以及？与1的对应就是数量关系，数量关系就是对应情况；率表把数量关系具体化了。由率表四角阵立刻列出算式。
优因数学实验教材中注重数学思想方法，其中“率”的思想方法贯穿始终。率表为学生提供了又一个简便易行作用大的范式。世人皆知“十进位值制”在计数中的简化作用，以及简化计算和一系列数学内容的巨大作用和深远的影响；但尚不知，也运用位置思想方法的“率表”在解决问题和简化一系列数学内容的巨大作用和深远的影响。率表对解决乘除法问题简单有效，将整数乘除法、小学乘除法、分数乘除法、比例等问题用一个范式概括了，使学生轻轻松松理解和掌握住了。还使许许多多各种各样的问题容易解决。
如：三二班男生26人，女生13人。我们可以用“人”作单位，也可以用“13人”
作单位，称作“份”，列出率表从而得出比、比例，这样使学生很容易真正明白“比”的来源和含义，理解与已有知识的具体联系。
男 女 和 差
人 26 13 26+13
26—13
份 ２ １ 2+1 2-１
从率表可以看出 ：男、女生人数之比为2
：1；男生与全班之比是2
:3；还可得出下列比例式26:23=2:1,得出所谓比例定理，如：反比定理，更比定理，分比定理，合比定理，合分比定理，等比定理等等，这些在率表上，一目了然，不证自明，无非是有一个比例式，就可以灵活的写出各种比例形式，这样就可以根据情况，灵活运用。
知识的学习开阔了学生的视野，使他们解决问题的方法也自然增多。如下面一道普通的数学题，实验班的学生可以用以下方法解答：
例：妈妈今年的年龄是小明的3倍，妈妈比小明大24岁，小明和妈妈今年各多少岁？
列出体现数量关系的率表 ：
妈妈
小明
大
岁
？
？
24
小明 3
1
（3-1=2）
解法1、列出上面的率表。
以小明为单位，妈妈比小明大的年龄是小明年龄的2倍
3-1=2
根据四角阵原理，算妈妈的年龄
24×3÷2=36（岁）
解法2、用方程解答
取对应单位数为1的量设为X比较简单，将小明的年龄设为X岁，
妈妈
小明
妈大
根据 岁
3X
X
24
小明 3
1
得妈妈的年龄是3X岁，从第一行部分与整体的关系来列出
3X-X=24
解得X=12
再算妈妈的年龄：12×3=36
解法3、列方程组解答
分别设出妈妈和小明的年龄为X岁、Y岁
从X Y
24
三个同单位的量得方程 X-Y=24
1
再从X
Y
3
1
得方程 X=3Y
2
12组成一个方程组来解答。
通过以上几个例子，我们不难体会用率表解应用题这种方法的科学性、简洁性。这样看来，应用题的解答就不再是复杂、不可捉摸了。所以，用率思想方法、列率表解答应用题是解决应用题教学的一把金钥匙，是改革应用题教学现状、摆脱困境的良好途径。列率表解应用题，事半功倍；列率表解应用题，是我们小学应用题教学一个新的发展方向。
