《优因数学》---率思想几成绝学 四角阵落地生根
2014-03-11 09:03阅读：
率思想几成绝学 四角阵落地生根
——《九章筭术》刘徽注率思想和“优因数学”四角阵原理的对比分析
李振江
【摘要】：《九章筭术》刘徽注中率这一概念出现和使用的频率是惊人的，郭书春先生指出《九章》246个例题中有200余个题目的解法涉及率这一概念。由此可见率的重要性和对《九章》例题的普适性。率在《九章》以前的《数》、《算数书》、《周髀算经》中均有使用，但总体来说比较零散。到刘徽注《九章》把率的理论大大完善，并借助齐同原理而成“算之纲纪”。但是在《九章》中对率这一概念和运用只有术文的描述，并无细草或图例，因此后人对率的理解往往出现莫衷一是的解释，对于“九数”均可“广施”的率之有意识的应用和研究更是很少关注，以致近代几成绝学，今人看到率后竟不知为何物。
我们郑州市南十里铺小学，在用郭启庶教授创编的《优因数学》实验教材进行教学实验中体会到，《优因数学》把率思想方法作为基因之一，运用“量-单位-数及其关系”分析法，并创用率表、四角阵原理作为其载体，竟与《九章》中的率思想若合符节，是使现代数学教育简易、高效、现代化的基本途径之一。笔者通过本文，将《九章筭术》刘徽注中对率这一重要概念的术文描述与优因数学中率表、四角阵原理的现代运用形式进行对比，将《九章筭术》刘徽注中相关原例题的术文解法和率表、四角阵解法进行对比，试图将《九章筭术》刘徽注中普适的率，和优因数学中四角阵原理等的现代运用形式之间的关联打通，让几成绝学的率思想通过四角阵原理等现代形式，在优因数学教学实验的土壤上落地生根，使现代数学教育简易、高效。
【关键词】：九章筭术、率、今有术、优因数学、四角阵原理
《九章筭术》在中国古代历来被尊为算经之首。特别是刘徽注《九章筭术》时因鉴前人成果，并“采其所见”开创性地使用了许多新的方法，从而大大丰富了《九章筭术》的内容，使《九章筭术》成为了中国古代数学基本理论框架的奠基之作，直接影响了中国古代数学的发展，以致形成了以构造性和机械化为特征的中国古代数学体系。
《九章筭术》及刘徽注成书以后，历经岁月延宕，兵火天灾，而经术坏散，原本亡佚不觅。加之《九章筭术》刘徽注术文解题和论证都是“析理以辞”而没有细草，后人学者不能窥其堂奥，或篡术文，或依伪本，或泥己见而“怅怅然入于迷望”，对经术理解多有舛误，以致真术湮废。这是造成后人对《九章筭术》及刘徽注中相关问题莫衷一是，甚或讹错的主要原因。而后人对率的认识即是如此。
《九章筭术》刘徽注中率的使用频率是惊人的，郭书春先生在1992年出版的《古代世界数学泰斗刘徽》一书中指出：刘注“把率看成运算的纲纪，将率的应用拓展到大部分算法的论证和二百个左右的题目的解法中。”由此可见率对于《九章算术》刘徽注中例题的普适性。而由于前述原因，自刘徽注九章以后的中国古代数学著作对率虽时有涉及，但理说纷纭甚至讹错。以致到近现代人们竟不知率为何物，只留下“比率”一词还少能见其鸿泥雪爪。近年来对刘注中率的研究方兴未艾，但不论是对《九章筭术》及刘徽注术文中率的确切含义，还是率思想现代意义的研究，均没有形成可以令人信服的结论。
要研究《九章筭术》及刘徽注，率作为算之纲纪，势必是绕不开的一个话题。
Ⅰ 率
中国古代率的出现和使用其来有自，是在生活中约定俗称成并被普遍使用的一个概念。如《孟子.尽心上》：“大匠不为拙工改废绳墨，羿不为拙射变其彀率。”《墨子.备城门》曰：“守卫之法，五十步丈夫十人，丁女二十人，老小十人计之，五十步四十人。城下楼卒率一步一人，二十步二十人，城小大以此率之，乃足以守圉。”又如《算数书》：“石率之术曰：以所买为法，以得钱乘一石数以为实。…
…
”。但石率术只有术文，而无例题。又如《周髀算经》：“以率率之，八十里得径一里，十万里得径千二百五十里。”又如《史记.周本纪》：“其罚百率”、“其罚千率”。【1】由此可见率在先秦已经深入到政治、军事、经济、生活等各个领域。
由上述可看出，刘徽注《九章筭术》之前率的应用范围虽然广泛，但总体来说是散乱无序的，需根据具体的语境和现实实际情况来确定率的含义，甚至会出现按今人语境几解均可的情况。例如上述“城小大以此率之”例中的率，和“以率率之”例中的第二个率，均为动词，可解为“计算”意。但“城小大以此率之”例应仿照“以率率之”例为“城小大以此率率之”。也就是“根据城的大小（周长），按照这种标准计算安排人数”的意思。即“以此率之”应为“以此率率之”的省略。则“此”应为“此率”的省略，可解为“这种方法”，亦可解为“这种标准”，或“这种比率关系”。
而在刘徽注《九章筭术》时，面对的情况必然是先秦典籍焚毁，后世学者补缀“所论多近语”的九数。从《九章筭术》刘徽注序中可以探查到，当世学者已经对九数因散乱无序而感觉“难为”，不能“综于此（九数）”，已经到了“好之（算学）者寡”的状态。而刘徽在研习《九章》的过程中，经不断“探赜”“详览”，终“悟其意”，发现了“筭术之根源”，遂为《九章》作注，从而使《九章》变得“约而不周，通而不黩”，使学习者容易接受和理解掌握，达到“览之者”即可达到“思过半”的效果。而要想让《九章》的学习者能达到这种神奇的效果，刘徽在《九章筭术》注中必然要给学习者提供一种能提纲挈领九数的有效方法，而刘徽正是把率作为算之纲纪提供给了后学者。认为“凡九数以为篇名，可以广施诸率”，只要后学者能掌握这种方法，就可“犹配觹解结，无往而不理”，从而能达到很好的学习效果。那么对这种作为纲纪的率，如果还按先秦典籍需根据语境而确定其含义，而没有统一界定的话，势必不能使后学《九章》者充分领会和掌握，这就要求刘徽在注中对率，必须给出一个既不脱离约定俗成的含义，又必须保证其含义同一性的界定。
刘徽《九章筭术》方田章经分术注给出了率的明确定义：
凡数相与者谓之率。
刘徽的定义是高度概括和精准的，但后世学者特别是近现代学者，因语境变迁和所学不同，对此定义强解，以致出现诸多讹错。最具代表性的强解是把此义作为：“凡数与数之间有相比关系者，就称它们为率。”从而把率直接看做今日之比率。然而刘徽对于率的定义当然包括今之比率关系，但显然远远超过这个范围。如果只按比率之意解的话，《九章筭术》刘徽注本身所用到的率就会出现矛盾。比如方程章第一问“今有上禾”问，方程术刘徽注中“令每行为率”、“举率以相减”和“而左方下禾虽去一秉，以法为母，于率不通”的率，如果强解为比率的话，必不能自圆其说。理由有二：
①如果解为比率的话，“令每行为率”中的比率应指的是上、中、下禾各实的固定比率，还是上、中、下禾各秉数与每行各实之间的固定比率。从术文看不出来，只能自说自话；
②如果强解为比率，对于“而左方下禾虽去一秉，以法为母，于率不通”是解释不通的。因为根据线性方程的同解变换，消元后出现分母，只要通过去分母，不为零各系数的固定比率不会发生改变，而方程的解也不会发生改变，那么各解的固定比率也不会改变。无论怎样，都不会出现于比率不通的情况。
而方程章第十问“今有甲乙二人持钱不知其数”中，根据刘徽注“各以分母乘其全，内子，行定”，“于是乃如方程。诸物有分者放此。”可以看出刘徽是不可能不知道如何把有分数的各行转换成整数的。只是人们当时的方程术固定习惯于处理系数为整的线性方程组。所以当解题过程中，出现分数时，才会说“以法为母，于率不通”。于是此句可以解为“以法作为分母，对于率不能通达”。【2】而这几句中的率，只能理解为：各行各数之间需保持顺序的,并且是整数的关系。
由此看来，精确把握刘徽注对率的定义是解开《九章筭术》不能不做的首要工作。其实刘徽注已经说得十分明白凡是诸数相关就称谓率。郭书春先生认为刘注定义中的数应为当今的数量，先生在《中国科学技术史.辞典卷》中率条说：“率，中国古代指数量之间的一定关系，是中国古代传统数学中一个非常重要的概念。”【3】这种看法无疑是符合刘徽对率所做的定义。而成正比例的比率，只是其内涵的一部分。那种凡是遇见率皆称为比率的说法是站不住脚的。那么诸数量之间究竟要有怎样的关系才能成为率呢，这是我们需要认真进行分析和考察的。
Ⅱ 量—单位—数
人们历史上包括到现在往往数、量并称不分。比如现代汉语词典“量”条③解释量为：数目，数量。【4】这种以本字解本字的解释方法会让人不着头脑。其实这并不仅仅是辞书编纂者才会犯的错，是大多人都不能把数量分清楚。其实数与量是两个概念，既独立又有不可分割的联系。
数的产生过程应该是这样的，上古时代“人类对数的认识大概是从多少的感受开始的”，【5】人们必须把“数目都和具体的对象联系在一起，如一只羊、两根木棒等，没有离开对象的抽象的数概念。”【6】“只有当人们发现三条狗、三个桃子、三个人都具有同样的数量，这个数量还可用于表示三块石头、三头羊或三个别的什么东西的时候，数字三的概念就形成了。”【7】这时的人们才离开具体的物群，分离抽象出不同事物的共同特性——数的概念。由此分析我们可以理出这样一个数的产生过程：
感受到物群的大小多少 分离抽象出数
而有了数，人们就可以对任何物体的群堆进行数学描述了。对某个物群进行数学描述的过程应该是这样的：首先区分这个物群质的属性，比如说是羊还是狼。然后建立一个标准，比如是按只描述还是按群描述，是按斤描述还是按两描述。然后进行的就是用这个标准去看这个物体的群堆中到底含有多少这样的标准，有多少就找对应的数进行描述。
通过以上分析可以看出，要描述物体群堆必须是：大小多少的属性+质的属性。具体形式是这样的：数+标准+物类（即质）。那么这种大小多少的属性是什么呢？郭启庶教授认为：“凡有大小多少意味的事物的属性，便是量。”【8】这就很好的解释了我们常说的物体“质量”的准确含义。物体大小多少意味的属性是量，而非大小多少意味的属性是质。而量的定义显然包括两个部分：数+标准，也就是说，没有标准，只有数字是不能刻划量的。但是自从人们抽象出数的概念以后，把关注的焦点往往放在了数上，有意无意地认为只要有数就可以刻划出物群的大小多少。虽然人们熟知“质量”，但对于量的定义却含混不清，以致人们常常数量不分，或以数解量或以量解数统称数量而不能自圆。
郭启庶教授认为，“要精确表达量…
…，必须用数把量刻划出来。”而要“用数刻划量，必须首先明确计量单位。”只有这样“量的集合就与数的集合对应起来了，可以通过数来把握该种量。”【9】也就是说要用数刻划量，须“先取一个单位作标准，然后一个单位一个单位地量。天下虽有各种不同的量(各种不同的量的单位如尺、斤、斗、秒、伏特、欧姆和卡路里等等)，”【10】但只要这样去度量，就可以通过数把量确切地刻划出来。而在选取单位时既可以是规定的单位，也可以是在应用时根据实际情况或为了某种方便而任意选定计量单位。这个标准或单位与数1是相对应的，称为“当1的量”。当选定当1的量之后，再用此标准一个一个去度量需要刻划的量，“实如法而一”则可得对应的数。这正是“少者多之始，一者数之母”，“一生二，二生三，三生万物”。
由此我们可以发现，当面对需要进行数学描述的物群时，只有把握住“量—单位—数”，才能精确刻划这个物群。也只有这样才能把物群的质量、数量等不易说清的问题说清，才能“审辩名分”“通彼此之否塞”，才能“错综度数，动之斯谐”。
也只有明辨“量—单位—数”的关系，才拥有了开启数学之门的锁钥。
Ⅲ
率思想、“量—单位—数”、四角阵原理、率表
刘徽在《九章筭术》注中认为“凡九数以为篇名，可以广施诸率”，是以今有术为“都术”，把齐同术做为“术要”【11】，即率思想是以今有术为具体可操作的方法，结合齐同术共同使用成为算之纲纪。这是刘徽率思想的精髓
郭启庶教授则按现代形式认为率思想就是：运用量、计量单位、数等概念及其相互关系、作用，灵活施行于数刻划量、用数学工具处理数学信息的思想和方法的总称。【12】即以“量-单位-数及其关系”分析法，并以四角阵原理为基本数学方法，创用率表作为载体，来解决数学问题的方法。
我们郑州市管城区南十里铺小学，从2010年12月开始，利用由郭启庶教授编著的“优因数学”实验教材进行教学实验。笔者在这两年多的教学实践研究中逐渐体会和认识到，郭启庶教授的分析方法与《九章筭术》刘徽注中的率思想若合符节，而郭启庶教授以现代新的表现形式，把率思想作为优秀的数学基因，融入到“优因数学”这一新的数学课程知识结构体系中，在我们的教学实践中更是收到了意想不到的良好效果。
一
若合符节的今有术和四角阵原理
（一）四角阵原理
通过前边叙述可知“凡数相与者谓之率”，是“指数量之间的一定关系”，而想要把数、量统一，需选取合适的计数单位，才能用数刻划量，才会形成诸数量之间的关系。
若遇以下两种情况：①两个同种量选用不同的单位，用数去刻划这两个量；②两个不同的量，可选用同类的单位，用数去刻划这两个量。借助“量数单位表”的具体形式展现为“四角阵”。排列在四个角上的数：对角两数的乘积相等（或者说对角两数的乘积，除以另外一角之数，等于它对角上的数）。这个对角法则叫做四角阵原理。
下边我们分三种情况去进行讨论：
⑴不同的量，同类单位
例如：
一袋米重10千克，一袋面粉重25千克。按斤计算一袋米重20斤，一袋面粉重50斤。
这个叙述中有两个不同的量：米和面粉，而刻划这两个量时选取了千克和斤两个同类（都表示重量）的单位，分别得到了两组共四个不同的数10、25
20、50。我们把这些元素排列出来表示为：
其中的四个数就像以量为横坐标，以计量单位为纵坐标的对应点一样，构成最基本的量数单位表。排列在矩形四个角上的数满足四角阵原理，即10×50=20×25。
⑵不同的量，不同类单位
例如：
一袋米重10千克，售价40元；一袋面粉重25千克，售价95元。
这个叙述中有两个不同的量：米和面粉，而刻划这两个量时选取了千
克和元两个不同类的单位，虽然也能用量数单位表用数把量刻划出来，如表：
但这四个数10、25、40、95并不适用于“四角阵原理”。
⑶同种量，不同类单位
例如：
一千克米售价4元，一袋米重10千克，售价40元。
这个叙述中的两个样本量一千克米和10千克米属于同种量，而刻划这两个量时虽然选取了千克和元两个不同类的单位，如表：
【1】
按：《尚书.
