“截尾法”判断整除的扩充应用
2013-08-17 12:19阅读：
“截尾法”判断整除的扩充应用
─小学数论一得
在《再论
任一合数，能被任一质数整除的通用判断方法》一文的余论中，我补充说：“截尾法”的应用范围应当很广。这里的“截尾法”，指的仅是一位尾数、一位尾数的截下去。当合数H位数很多时，可以二位尾数、二位尾数甚至三位尾数、三位尾数的截下去，再作判断，但K不能太大(K最好在9以下)，K大了，多位数相乘运算量就太大，不方便了。所以满足K较小条件的质数不多，只有7、11、13少数几个，这里不再赘述了。
反正空闲无事，现在再作续论。
一
二位一截
二位尾数、二位尾数一截时，适用于什么质数？相应的k，又是多少？
设
H=ABCD，判断数P=AB-K*CD，即H=1000A+100B+10C+D、P=(10A+B)-K(10C+D)。令H乘K，得：KH=K(1000A+100B+10C+D)=K(1000A+100B)+K(10C+D)，并求：KH+P
KH+P=
K(1000A+100B)+K(10C+D)+(10A+B)-K(10C+D)
=
K(1000A+100B) +(10A+B)=1000KA+10A+100KB+B
=10 A(100K+1) +B(100K+1)= (100K+1)(10A+B)
(100K+1)可以分解出一个或两个或三个质数，不同的K对应不同的Z，于是K与Z的关系确定，便可知道那个质数Z应采用那个倍数K。以不同的K计算：
K
1
2
3
5
8
9
(100K+1)
101 201
301
501 801
901
分解出的质数z 1*101
3*67 7*43
3*167 3*3*89
17*53
至此，得到Z与K的对应表：
Z 3
7 17
43 53 67 89
101 167
K 2
3 9
3 9
2 8 1
5
正如余论中所断言，满足K较小(K小于9)条件的质数不多，此处只有8个。而且还要注意，在一位截尾时，由Z来计算K很容易。但二位截尾时，由Z来计算K很麻烦，因为由Z乘一个数使其乘积的尾数为01，很困难。因此此时K必须死记。
例一 530835能被43整除吗？注意 43的K=3。
530835→5308-35*3=5203
5203→52-03*3=43 判断数
P=43是43的倍数，所以530835能被43整除。
例二 56541858能被167整除吗？注意 167的K=5。
56541858→565418-58*5=565128
565128→5651-28*5=5511
5511→55-11*5=0
判断数P=0是167的0倍，所以56541858能被43整除。
二
三位一截
三位尾数、三位尾数一截时，适用于什么质数？相应的k，又是多少？
设
H=ABCDEF，判断数P=ABC-K*DEF，即
H=100000A+10000B+1000C+100D+10E+F、P=(100A+10B+1C)-K(100D+10E+F)。
令
H乘K，得：KH=K(100000A+10000B+1000C+100D+10E+F)
=K(100000A+10000B+1000C)+K(100D+10E+F)，并求：KH+P。
KH+P=K(100000A+10000B+1000C)+K(100D+10E+F)+(100A+10B+1C)-K(100D+10E+F)
= K(100000A+10000B+1000C) +
(100A+10B+1C)
=100A(1000K+1)+10B(1000K+1)+C(1000K+1)
=(1000K+1)(100A+10B+C)
(1000K+1)可以分解出一个或两个或三个质数，不同的K对应不同的Z，于是K与Z的关系确定，便可知道那个质数Z应采用那个倍数K。以不同的K计算：
K
1
2
5
6
8
(1000K+1)
1001 2001
5001
601
801
分解出的质数 7*11*13
3*23*29 3*1667 17*353
3*7*127
至此，得到Z与K的对应表：
Z 3
7 11
13 17 23
29 127 353
1667
K 2
1 1
1 6
2 2
8 6
5
其中判断能被7、11、13整除的方法时，老师会说到三位三位一分，前面的数减去后三位的数，它的差若能被7或被11或被13整除，则整个数能被7或能被11或能被13整除，就是这个道理。为什么不说“减去后三位的几倍”呢？因为倍数是1，所以不必说“减后三位的1倍”了。
例三 10664547能被29整除吗？记着，Z=29时 K=2
10664547→10664-547*2=9570
9570→9-570*2=-1131
1131→1-131*2=261
，P=261，261/29=9，P是29的9倍，所以10664547能被29整除。
三位一截法的一个缺点是，当P是个三位数时，往往不能马上作出判断，还得除一下才能有结果，例三就是这样。但在判断能否被7、11、13整除时，还经常用到。问其原理，则多数人答不上来了。
现在问：有哪几个质数，在一位截尾、二位截尾、三位截尾时，都有K呢？
答：Z=3、7、17，不同截位时的K为：
Z 一位截尾时K
二位截尾时K 三位截尾时K
3
2
2
2
7
2
3
1
17
5
9
6
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