孙子算经《卷上》简注及演算
2014-05-15 16:47阅读：
孙子算经《卷上》简注及演算
在百度上复制了《孙子算经》，但没有注释。
《孙子算经》三卷，成书年代约为公元4世纪。作者不详，有人说是一个和尚。
上卷71道乘除算题或规则说明。讨论了度量衡的单位和筹算制度与方法，。
中卷28道题，主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等。
下卷36道题，有“鸡兔同笼”、“妇人荡杯”、“物不知数”等流传世界的趣题。
现先发《卷上》简注及演算一文。
《卷上》
1、度之所起，起於忽。欲知其忽，蚕所生，吐丝为忽。十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引；五十尺为一端；四十尺为一疋；六尺为一步。二百四十步为一亩。三百步为一里。
注：凡物体都有长短(度)、大小(容量、体积)、轻重(衡)等最基本的物性。
度即长度、宽度、高度、深度。并用进位制来表示大小不同的度量单位。其中十进制最优。《孙子算经》表明，中国古代
早已有十进制了。从忽到引，共9个数量级。
二百四十步为一亩，即240平方步为一亩。如：长16步×宽15步=240步2 =
1亩，相当于16×6×15×6 = 8640尺2
为1亩。现代一亩=666.667米2
，则3.6尺=1米，亦即古代1尺=0.27777米。
古代一里 =
300步×6尺/步=1800尺。现代一里=1500市尺。
如果 古代一里= 现代一里，那末古代一尺=
现代0.8333市尺。(1500/1800=0.8333)，即古代尺子比现代尺子要短。古代一尺，相当于现代0.33333×0.833333=0.27777米。与上相符。
由此也可推知，古代蚕丝一忽=0.0002778毫米=0.2778微米=0.2778μ。但据百度百科介绍：蚕茧的丝纤有20到30微米，且难以单根使用，要把若干个茧的丝绞合在一起，形成一根生丝。古人当然量不出忽的粗细，在此仅表明，中国古代早已有十进制了。
2、称之所起，起於黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石。
注：称即重量，衡。这里，基本单位是斤。120斤为一石。
十六两为一斤，给计算带来几多麻烦。小时侯珠算时，碰到乘几斤几两，只能利用口诀：一六二五、二一二五、三一三七五…来打算盘，还不懂真正意思。大了才知道，1两=1/16斤=0.0625斤、2两=2/16斤=0.125斤、等等，原来如此。
二十四铢为一两(十六两的两)，则1铢=1.3克，五铢应重6克以上。汉武帝行五铢钱，直径一般2.5厘米左右，重约3—4克。到唐武德四年（621）铸“开元通宝钱”，废止五铢钱。五铢钱流通七百余年，是中国历史上铸造数量最多，流通时间最久的钱币。西汉以后各朝代的五铢钱也都在3克左右，最轻的仅2克。
量之所起，起於粟。六粟为一圭，十圭为一抄，十抄为一撮，十撮为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛。斛得六千万粟。所以得知者，六粟为一圭，十圭六十粟为一抄，十抄六百粟为一撮，十撮六千粟为一勺，十勺六万粟为一合，十合六十万粟为一升，十升六百万粟为一斗，十斗六千万粟为一斛。十斛六亿粟，百斛六兆粟，千斛六京粟，万斛六陔粟，十万斛六秭粟，百万斛六壤粟，千万斛六沟粟，万万斛为一亿斛六涧粟，十亿斛六正粟，百亿斛六载粟。
注：量即容量、容积、体积。斛以下也是十进位。
南宋末年改五斗为一斛。我记得小时候到米店去买米，一升箩是一斤半，容积约650
CM
3。
一斗15斤，5斗一斛，75斤，一斛容积约33 DM
3
。
二斛一石150斤。斛与镬的读音相近，形状也像镬子，不过是方的，上小下大。
3、凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧日正，万万正曰载。
注：万之前为十进制，万之后是万进制。1万=1×104
、1亿=1×108
…1载=1×1044
4、周三径一。方五邪七；见邪求方，五之，七而一；见方求邪，七之，五而一。
注：周三径一指π=3。这说明《孙子算经》成书应在祖冲之(429-500)之前。
“方五邪七”特指一个“等腰直角三角形”的两直角边(方边)各为5，而钭边(邪边)为7，即√（52+52
）=5√2=5×1.414=7，实际上是把√2=1.414取作1.4，所以是近似的，比不上《周髀算经》上的勾三、股四、弦五绝对正确。
乘除的用语：五之，即乘以五，七而一，即除以七。
见邪求方，五之，七而一，即 方边=斜边×5÷7 =
斜边÷1.4
见方求邪，七之，五而一，即 斜边=方边×7÷5 =
方边×1.4
5、黄金方寸重一斤。白金方寸重一十四两。玉方寸重一十二两。铜方寸重七两半。鈆方寸重九两半。铁方寸重六两。石方寸重三两。
注：古代寸短，把物量长了，量得一寸，实为现代的0.0833市尺×0.333米∕市尺=2.777
CM。所以1立方寸=21.433 cm3
。1斤=16两=500克。
所以古代黄金比重为500/21.433=23.33克/cm3
，现代黄金比重19.32克/cm3
同理，古代铜的比重为23.33×7.5/16= 10.94克/cm3
，现代铜的比重8.9克/ cm3
古代铁的比重为23.33×6 /16 = 8.75克/cm3
，现代铜的比重7.85克/ cm3
由此可见，古今比重相差不大，但似乎古代的物质要重实一些，如同人一样。
6、凡筭之法，先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。
如2131、二千一百三十一 算筹摆为 二 ︱
三 ︱
1111、一千一百一十一 算筹摆为
—
︱ — ︱
5678可能是横五纵六横七竖八的摆，因为那时
“〥〦〧〨”还末使用。算筹太多，看起数起来也费时易错。珠算表示法就简要，但到宋元才有。
7、凡乘之法，重置其位。上下相观，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。以上命下，所得之数列於中位。言十即过，不满自如。上位乘讫者先去之。下位乘讫者则俱退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽则已。
8、凡除之法，与乘正异。乘得在中央，除得在上方。假令六为法，百为实。以六除百，当进之二等，令在正百下，以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位。以法除实，言一六而折百为四十七，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退。故或步法十者置於十位，百者置於百位。上位有空绝者，法退二位。余法皆如乘时。实有余者，以法命之，以法为母。实余为子。
注：筹算的乘除方法，见16、17节演算时再具体解释。
9、以粟求粝米，三之，五而一。以粝米求粟，五之，三而一。以粝米求饭，五之，二而一。以粟米求粝饭，六之，四而一。以粝饭求粝米，二之，五而一。以绺米求饭，八之，四而一。
注：栗即没有舂而有壳的小米谷物。粝米即粗米、糙米。
粝米=栗×3÷5，
栗=粝米×5÷3，即粟五等於粝米三。一斗粟等於六升粝米。
粝饭=粝米×5÷2 粝米=粝饭×2÷5 粝饭=粟米×6÷4
饭=绺米×8÷4
由此推得以下比例；栗50、粝米30、粝饭75、栗米50、绺米(即九章算术中的凿米，为24)。此处饭≠粝饭？
10、十分减一者，以二乘，二十除。减二者，以四乘，二十除。减三者，以六乘，二十除。减四者，以八乘，二十除。减五者，以十乘，二十除。减六者，以十二乘，二十除。减七者，以十四乘，二十除。减八者，以十六乘，二十除。减九者，以十八乘，二十除。
注： 1/10=2/20 2/10=4/20
3/10=6/20 … 9/10=18/20 ，这应该是分数的约分法。
11、九分减一者，以二乘，十八除。注：1/9=2/18
12、八分减一者，以二乘，十六除。注：1/8=2/16
13、七分减一者，以二乘，十四除。
注：1/7=2/14
14、六分减一者，以二乘，十二除。注：1/6=2/12
15、五分减一者，以二乘，十除。注：1/5=2/10
16、九九八十一，自相乘，得几何？答曰：六千五百六十一。术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百於中位。以上八呼下一，一八如八，即於中位下八十。退下位一等，收上位八十。以上位一呼下八，一八如八，即於中位下八十。以上一呼下一，一一如一，即於中位下一。上下位俱收，中位即得六千五百六十一。
注：古代筹算乘法的最大特点是：
1 乘数列于上排，被乘数列于下排，乘积留在中排。
2 相乘时以上排为主，由它乘下排各数。乘完一轮不用了，就把算筹拿走，直到拿完。
3 由高位乘低位，一层层念口诀，并在中排作加法运算。
具体步骤是：
1 上十位*下十位，得千位数、80×80=6400 ， 将6400
置于中排。
2 上十位×下个位，得十或百位数、80×1=80 ，
在中排运算6400+80=6480仍置中排
3 上个位×下十位，又得十或百位数、1×80=80，在中排运算6480+80=6560
仍置中排
4 上个位×下个位，得个或十位数、1×1=1
在中排运算6560+1=6561 仍置于中排，得结果。
请注意，乘积在中间一排。中间乘积不留记录，随算随加，最后得结果6561
。这与珠算一样，万一中间加错了，也就无法发现。
由于81×81有两个8、两个1，上下位容易搞混，现换一算例，可以看得更清楚。
如 81×72=5832，看筹算怎样运作：
8 1
(上位)
80×70=5600 →(+80×2=160 ) → 5760
→(+1×70=70) → 5830 →(+1×2=2)→5832
上十位×下十位 加上十位×下个位
加上个位×下十位 加上个位×下个位，
7 2
(下位)
而现代手工笔算顺序，与古代相反。一是下位乘上位，二是先个位乘个位，再个位乘十位，再个位乘百位…，同时留有中间记录，最后才相加，可以复算。
8 1
效仿古代筹算：
8 1
× 7 2
念口诀：
× 7 2
1 6 2
八七
五十六 5 6 0 0
中排5600
5 6 7
八二 一十六
1 6 0
中排5760
5 8 3 2
一七
得七
7 0 中排5830
一二 得二
2
中排5832
5 8 3 2
17、六千五百六十一，九人分之，问人得几何？答曰：七百二十九。术曰：先置六千五百六十一於中位，为实。下列九人为法。上位置七百，以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百。退下位一等，即上位置二十。以上二呼下九，二九十八，即除中位一百八十。又更退下位一等，即上位更置九，即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一。中位除尽，收下位。上位所得即人之所得。自八八六十四至一一如一，均准此。
注：古代筹算除法的最大特点是：
1 上排为商、中排为被除数、下排为除数。
2 念口诀估商，并在中排减去乘积。文中“除中位六千三百”，即中排减去6300。
3 下一位计算，同上。直到不够除，可得余数(中排剩余值)。
6561÷9=？
7
2
9
6561 →
6561－6300=261 →
261－180=81
→ 81－81=0
9 （口诀700×9=6300）
9 （口诀20×9=180）
9
（口诀9×9=81）
即6591÷9=729
这个筹算方法，其实与现代小学生笔算除法差不多。仅有以下差别：
1
古代，被除数与除数是上下排，现代笔算被除数与除数是左右排。
2
古代中间乘积6300、180、81不作记录，直接从被除数中减去。现代笔算有中间乘积记录，可上下相减，不易出错。现代笔算如下：
7 2 9
效仿古代筹算： 7
2
9
9
∕6 5 6 1
6561
6 3
261
261
2 6 1
81
81
1 8
0
8 1
8 1
0
以下18—60题，实际上是对九九表的解释及分析。现先把九九表列于下；
|
九
|
八
|
七
|
六
|
五
|
四
|
三
|
二
|
一
|
|
文中的：
|
九
|
81
|
72
|
63
|
54
|
45
|
36
|
27
|
18
|
9
|
405
|
九九一条
|
八
|
|
64
|
56
|
48
|
40
|
32
|
24
|
16
|
8
|
288
|
八八一条
|
七
|
|
|
49
|
42
|
35
|
28
|
21
|
14
|
7
|
196
|
七七一条
|
六
|
|
|
|
36
|
30
|
24
|
18
|
12
|
6
|
126
|
六六一条
|
五
|
|
|
|
|
25
|
20
|
15
|
10
|
5
|
75
|
五五一条
|
四
|
|
|
|
|
|
16
|
12
|
8
|
4
|
40
|
四四一条
|
三
|
|
|
|
|
|
|
9
|
6
|
3
|
18
|
三三一条
|
二
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
2
|
6
|
二二一条
|
一
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1
|
一一一条
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1155
|
|
18、八九七十二，自相乘，得五千一百八十四。八人分之，人得六百四十八五。
七九六十三，自相乘，得三千九百六十九。七人分之，人得五百六十七五。
注：8×9=72 (口诀)
72×72=5184
5184÷8 =648
7×9=63 (口诀)
63×63=3969 3969
÷7=567
19、六九五十四，自相乘，得二千九百一十六。六人分之，人得四百八十六。
注： 54×54÷6=486 此处省略了6×9=54
(口诀)，以下同。
20、五九四十五，自相乘，得二千二十五。五人分之，人得四百五。注：45×45÷5=405
21、四九三十六，自相乘，得一千二百九十六。四人分之，人得三百二十四。注：36×36÷4=324
22、三九二十七，自相乘，得七百二十九。三人分之，人得二百四十三。注：27×27÷3=243
23、二九一十八，自相乘，得三百二十四。二人分之，人得一百六十二。注：18×18÷2=162
24、一九如九，自相乘，得八十一。一人得八十一。右九九一条，得四百五，自相乘，得一十六万四千二十五。九人分之，人得一万八千二百二十五。
注：“右九九一条，得四百五”，指：九九表中从9×9=81
8×9=72 7×9=63
6×9=54 5×9=45 4×9=36 3×9=27
2×9=18 1×9=9 ，九个数成一条数组，它们的和是405。 405×405=164025
164025÷9=18225。18225其实就是这一条九九线上数组和平方的平均数，没有什么几何意义，在此只作为筹算的练习罢了。
以下是九九表中8字头、7字头、6字头…直到“一一如一”的口诀及筹算乘除。
25、八八六十四，自相乘，得四千九十六。八人分之，人得五百十二。注：64×64÷8=512
26、七八五十六，自相乘，得三千一百三十六。七人分之，人得四百四十八。注：56×56÷7=448
27、六八四十八，自相乘，得二千三百四。六人分之，人得三百八十四。
注：48×48÷6=384
28、五八四十，自相乘，得一千六百。五人分之，人得三百二十。注：40×40÷5=320
29、四八三十二，自相乘，得一千二十四。四人分之，人得二百五十六。
注：32×32÷4=256
30、三八二十四，自相乘，得五百七十六。三人分之，人得一百九十二。
注：24×24÷3=192
31、二八十六，自相乘，得二百五十六。二人分之，人得一百二十八。注：16×16÷2=128
32、一八如八，自相乘，得六十四。一人得六十四。右八八一条，得二百八十八，自相乘，得八万二千九百四十四。八人分之，人得一万三百六十八。
注：“右八八一条，得二百八十八”，指：九九表中从 8×8=72
… 到1×8=8 ，八个数成一条数组，它们的和是288。
288×288=82944 82944÷8=10368
10368是这一条八八线上数组和平方的平均数。
33、七七四十九，自相乘，得二千四百一。七人分之，人得三百四十三。注：49×49÷7=343
34、六七四十二，自相乘，得一千七百六十四。六人分之，人得二百九十四。
注：42×42÷6=294。
35、五七三十五，自相乘，得一千二百二十五。五人分之，人得二百四十五。注：35×35÷5=245
36、四七二十八，自相乘，得七百八十四。四人分之，人得一百九十六。注：28×28÷4=196
37、三七二十一，自相乘，得四百四十一。三人分之，人得一百四十七。
注：21×21÷3=147
38、二七十四，自相乘，得一百九十六。二人分之，人得九十八。
注：14×14÷2=98
39、一七如七，自相乘，得四十九。一人得四十九。右七七一条，得一百九十六，自相乘，得三万八千四百一十六。七人分之，人得五千四百八十八。
注：7×7÷1=49
“右七七一条，得一百九十六，”见九九表。 196×196=38416
38416÷7=5488
40、六六三十六，自相乘，得一千二百九十六。六人分之，人得二百一十六。注：36×36÷6=216
41、五六三十，自相乘，得九百。五人分之，人得一百八十。注：30×30÷5=180
42、四六二十四，自相乘，得五百七十六。四人分之，人得一百四十四。注：24×24÷4=144
43、三六一十八，自相乘，得三百二十四。三人分之，人得一百八。注：18×18÷3=108
44、二六一十二，自相乘，得一百四十四。二人分之，人得七十二。
注：12×12÷2=72
45、一六如六，自相乘，得三十六。一人得三十六。右六六一条，得一百二十六，自相乘，得一万五千八百七十六。六人分之，人得二千六百四十六。
注：6×6÷1=36
“
右六六一条，得一百二十六，”见九九表。 126×126=15876
15876÷6=2646
46、五五二十五，自相乘，得六百二十五。五人分之，人得一百二十五。注：25×25÷5=125
47、四五二十，自相乘，得四百。四人分之，人得一百。注：20×20÷4=100
48、三五一十五，自相乘，得二百二十五。三人分之，人得七十五。注：15×15÷3=75
49、二五一十，自相乘，得一百。二人分之，人得五十。注：10×10÷2=50
50、一五如五，自相乘，得二十五。一人得二十五。右五五一条，得七十五，自相乘，得五千六百二十五。五人分之，人得一千一百二十五。
注：5×5÷1=25
“右五五一条，得七十五，”见九九表 。 75×75=5625
5625÷5=1125
51、四四一十六，自相乘，得二百五十六。四人分之，人得六十四。注：16×16÷4=64
52、三四一十二，自相乘，得一百四十四。三人分之，人得四十八。注：12×12÷3=48
53、二四如八，自相乘，得六十四。二人分之，人得三十二。注：8×8÷2=32
54、一四如四，自相乘，得一十六。一人得一十六。右四四一条，得四十，自相乘，得一千六百。四人分之，人得四百。
注：4×4÷1=16
“右四四一条，得四十，”见九九表 。 40×40=1600
1600÷4=400
55、三三如九，自相乘，得八十一。三人分之，人得二十七。注：9×9÷3=27
56、二三如六，自相乘，得三十六。二人分之，人得一十八。注：6×6÷2=18
57、一三如三，自相乘，得九。一人得九。右三三一条，得一十八，自相乘，得三百二十四。三人分之，人得一百八。
注：3×3÷1=9
“右三三一条，得一十八，”见九九表中 3+6+9=18。 18×18=324
324÷3=108
58、二二如四，自相乘，得一十六。二人分之，人得八。
注：4×4÷2=8
59、一二如二，自相乘，得四。一人得四。右二二一条，得六，自相乘，得三十六。二人分之，人得十八。
注：2×2÷1=4
“右二二一条，得六”，指九九表中2×1+2×2=2+4=6 、6×6=36、
36÷2=18
60、一一如一，自相乘，得一。一乘不长。右从九九至一一，总成一千一百五十五，自相乘，得一百十三万四千二十五。九人分之，人得一十四万八千二百二十五。
注：“一乘不长”指1×1=1，乘积没有增长了。九九表到此结束。
“右从九九至一一，总成一千一百五十五，”
即九九表从9×9=81、8×9=72、8×8=64、…一直到1×9=9，1×8=8……1×1=1，共45个乘积，即上三角乘数的和为1155。
“自相乘，得一百十三万四千二十五。”即1155×1155=1334025。
“九人分之，人得一十四万八千二百二十五。”即1334025÷9=148225，
61、以九乘一十二，得一百八。六人分之，人得一十八。注：9×12÷6=18
62、以二十七乘三十六，得九百七十二。一十八人分之，人得五十四。注：27×36÷18=54
63、以八十一乘一百八，得八千七百四十八。五十四人分之，人得一百六十二。
注：81×108=8748
8748÷54=162
64、以二百四十三乘三百二十四，得七万八千七百三十二。一百六十二人分之，人得四百八十六。
注：243×324=78732
78732÷162=486
65、以七百二十九乘九百七十二，得七十万八千五百八十八。四百八十六人分之，人得一千四百五
十八。
注：729×972=708588
708588÷486=1458
66、以二千一百八十七乘二千九百一十六，得六百三十七万七千二百九十二。一千四百五十八人分之，人得四千三百七十四。
注：2187×2916=6377292
6377292÷1458=4374
67、以六千五百六十一乘八千七百四十八，得五千七百三十九万五千六百二十八。四千三百七十四人分之，人得一万三千一百二十二。
注：6561×8748=57395628
57395628÷4374=13122
68、以一万九千六百八十三乘二万六千二百四十四，得五亿一千六百五十六万六百五十二。一万三千一百二十二人分之，人得三万九千三百六十六。
注：19683×26244=516560652
516560652÷13122=39366
69、以五万九千四十九乘七万八千七百三十二，得四十六亿四千九百四万五千八百六十八。三万九千三百六十六人分之，人得一十一万八千九十八。
注：59049×78732=4649045868
4649045868÷39366=118098
70、以一十七万七千一百四十七乘二十三万六千一百九十六，得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二。一十一万八千九十八人分之，人得三十五万四千二百九十四。
注：177147×236196=41841412812
41841412812
÷118098=354294
71、以五十三万一千四百四十一乘七十万八千五百八十八，得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八。三十五万四千二百九十四人分之，人得一百六万二千八百八十二。
注：531441×708588=376572715308
376572715308 ÷354294=1062882
这里是6位数相乘，中间乘法及加法运算36次，要避免加错，有难度。
这里又有12位除以6位的除法，商7位。可见中间乘法减法运算总起来看，有7大次，但由于除数有6位，每得一个商数，就有6小次口诀6小次减法，所以共有42次口诀及减法，只要一次出错，就糟了，可见太繁难了。
筹算时，筹码这么多，很容易搞错。到了宋元发明了珠算，以“上档”一珠代表五，从此才结束了筹算，真是进步而又聪明啊！现在更不消说了，我用最简单的计算器，就完成了上面的算题，觉得很容易。
难就难在对“经文”的理解上。例如文中“右九九一条，得四百五”，最初不明白他的意思，还认为“右”字有误，应是“五九九一条，得四百五”，便算得5×9×9=405，很高兴。但后面又碰到“右八八一条，得二百八十八”，又凑成4.5×8×8=288，但“右”又作何解释呢？自已也觉得别扭。之后，又有“右七七一条”等等，才知道自己还不懂。再后，才想到“九九表”，列出了九九表后，几经试算，才一下开通了。
我化了三天时间，完成了《卷上》的“注文”及现代演算，觉得有收获。
去吧，上博台去吧，与同好的朋友暂离这功利浓重、臭味十足的世态，到世前去观看古代数学大师的演算。他们心怀天地，超然物外，运筹帷幄，为祖国的数学事业作出了真正的贡献。
我敬仰先贤大师。
