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初等数论《 整除 》 习题集 (连载 1)

2016-01-11 16:35阅读：

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初等数论《 整除 》 习题集 (连载 1)
目 录
前言：我为什么要做初等数论《整除》习题 …… 1
整除判断方法概述 ………………………………… 1 — 4
习题 ………………………………………………… 5 — 20
尾声小贴士 ………………………………………… 20


前言：我为什么要做初等数论《整除
》习题

数论是研究整数性质的一门理论。按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为初等数论（古典数论）和高等数论（近代数论）。
　　据《百度》，初等数论主要有以下几部分内容：(很惭愧，其中有些术语我还不大懂呢)
　1 整除理论。引入整除、因数、倍数、质数等基本概念。这一理论的主要成果有：欧几里德 的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。 　　
2 同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余 、 同余方程等概念。 主要成果：二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。
3 连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。 主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。 　　
4 不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了4次费马方程的求解问题等等。 　　
5 数论函数。比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。
退休后学了一点《初等数论》的皮毛。其中“整除”算是初等数论中最基础、最简单的内容。但就是这看来最简单的整除，己经使我汗颜了，觉得自己不应该学《数论》，是在自找烦恼，但又像要坚持下去。几年来也做过一些习题。有关整除的算题，特别是证明题，真是无从下手。于是就拣自己能做的习题，集中的做了一些，算是整理一下学习成果，留一个纪念罢。以后还可以复习复习。
至于其他内容，如奇偶、余数、平方数、最大公约数、最小公倍数、同余、不定方程等等，是否也要出习题集，那就没有把握，只能看情况而定了。

整除判断方法概述

除数Z 被除数A能整除Z的条件，使A÷Z=N整数 ( Z∣A )
2 末位上的数字是偶数 0、 2 、4、 6 、8
3 各个数位上数字的和能被3整除
4 末两位数能被4整除 04 08 12 16 20 24 28 32 … 96。
5 末位上的数字是 0、 5
6 先判2，再判3
7 尾前数 减 尾数乘2，其结果被7整除。还有：
末三位上的数，与末三位以前的数，之差，能被7整除。即“前位减后三位=7的倍数”
8 末三位数能被8整除 008 016 096 104 … 992
9 各个数位上数字的和能被9整除
10 末位上的数字是 0
11 奇数位上的数字和，与偶数位数的数字和，它们之差，能被11整除。还有：
末三位上的数，与末三位以前的数，之差，能被11整除。即“前位减后三位=11的倍数”
12 先判4，再判3
13 尾前数 减 尾数乘9，其结果被13整除。还有：
末三位上的数，与末三位以前的数，之差，能被13整除。即“前位减后三位=13的倍数”
14 先判2，再判7
15 先判5，再判3
16 末三位数能被16整除 0016 0032 0096 … 9984
17 尾前数 减 尾数乘 5，其结果被17整除
18 先判2，再判9
19 尾前数 加 尾数乘 2，其结果被19整除
21 尾前数 减 尾数乘 2，其结果被21整除
23 尾前数 减 尾数乘16，其结果被23整除
尾前数 加 尾数乘 7，其结果被23整除
25 末两位数能被25整除 00 25 50 75
27 从尾起，向左三位为一段、每段相加，得和数，能被27整除
28 先判4，再判7
37 从尾起，向左三位为一段、每段相加，得和数，能被37整除
73 从尾起，向左四位为一段、每段相加，得和数，能被73整除
125 末三位数能被125整除 000 125 250 375 … 875
137 从尾起，向左四位为一段、每段相加，得和数，能被137整除

以9为尾的数：
09 尾前数 加 尾数乘1，其结果被 9整除
19 尾前数 加 尾数乘2，其结果被19整除
29 尾前数 加 尾数乘3，其结果被29整除
39 尾前数 加 尾数乘4，其结果被39整除
49 尾前数 加 尾数乘5，其结果被49整除
59 尾前数 加 尾数乘6，其结果被59整除
69 尾前数 加 尾数乘7，其结果被69整除
79 尾前数 加 尾数乘8，其结果被79整除
89 尾前数 加 尾数乘9，其结果被89整除
99 从尾起，向左二位为一段、每段相加，得和数，能被99整除

以1为尾的数：
11 尾前数 减 尾数乘1，其结果被11整除
21 尾前数 减 尾数乘2，其结果被21整除
31 尾前数 减 尾数乘3，其结果被31整除
41 尾前数 减 尾数乘4，其结果被41整除
51 尾前数 减 尾数乘5，其结果被51整除
61 尾前数 减 尾数乘6，其结果被61整除
71 尾前数 减 尾数乘7，其结果被71整除
81 尾前数 减 尾数乘8，其结果被81整除
91 尾前数 减 尾数乘9，其结果被91整除




综合而言，判别整除的方法有5类 ：
1 尾数判别法：判别能被2、4、8、5、25 整除。
2 数字和、差判别法：判别能被3、9、11

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