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，来清理一下我的极其肤浅的余数知识。看能解算什么难度的余数问题。
余数问题本质上是带余数的除法，例如9÷4=2 … 1等等，虽然是小学生的题目，但一旦深入，就难倒中学生、大学生。尤其是“同余方程”，在高斯的《算术探索》( 潘承彪 张明尧 译 ) 中有开创性的叙述，但读起来就如读天书一样了。
在看了一些“小学数论”的视频后，就觉得“余数问题”并不简单，有的还很难，甚至还不习惯它的解题方法。我就要考考自己，看能否做这样的习题。于是从笔记上、网页上、奥数书上收集了一些习题做一下。为了有点条理，大致分以下几类：
1、 求余数R。
在A÷B=X … R 的带余数除法中，引进“整除”规律，来求余数。有时，根据不同条件，还混合求A、R ，或B、R ，甚至求商的个数等等。解算花样就多了。
2、 求除数B
在余数方程组中，余数有相同的、有不同的、或余数间有一定关系的。根据情况，分别解B。
3、 求被除数A。
在余数方程组中，也根据余数R的同余与不同，分别情况，分别解之。
其中“A除以B1余几、除以B2余几、除以B3余几
翻看一下《多功能题典——小学数学竞赛》，其中“数论初步”的“带余数除法”部份43道题，我真正能做出的或大致理解的，只有10道而已，只得23分。
我避开难题，坚持做了63个习题。我的肤浅的余数知识，只能清理到此，便识相，到此为止。这本习题集，虽然也有少量奥数型题目，但大致上只是初等难度的习题。水平如此，只能如此。真的，我不想再折腾自己、难为自己了。
余数问题解算方法概述
※ 1
1、 余数的加法定理，简言之：加的余数等于余数的加。
2、 余数的乘法定理，简言之：乘积的余数等于余数的乘积。并扩充为乘幂的余数等于余数的乘幂。
3、 同余及同余定理。
同余：若两个整数A 1、A 2被自然数B除，有相同的余数R，那么称A 1、A 2对于模B同余，用式为：A 1≡A 2 ( mod B )，叫做同余式。读作：A 1同余于A 2
例如
65÷7＝9 … 2
由于
65≡37
如此说来：
16≡9
65≡9
而
37≡2
同余的两个推论：
一、
除数B是多个被除数A之间的差 ( A I－A J )的最大公约数。
如
65÷B＝Z … 2
(A 2－A 1)
(A 3－A 1)
21、28的最大公约数(21 ，28 ) = 7
同余定理的作用就是消去同余，使之成为整除，并在约数中找到除数B的解。
二、
被除数A＝各除数B的最小公倍数＋同余量R 。A ＝〔B1
如
A ≡ 2
A ≡ 2
A ＝〔B1
同余的这两个推论，是解算余数问题的一把钥匙。
※ 2
一、
二、
1849÷14的余数等于多少？由于1849＝1000＋800＋40＋9，而1000、800、40、9的余数分别为
6 、2 、12 、9，所以1849÷14的余数等于6 、2 、12 、9，之和6＋2＋12＋9＝29，而29÷14的余数为1，所以1849÷14的余数也等于 1。不过具体分拆大数时，要讲究机巧。如1849可分拆为1400+420+29，则三个余数为0、0、1，最后1849÷14的余数等于 1。
三、
如：16×47×109÷14的余数等于？由于16、47、109的余数分别为2、5、11，（这三个余数要具体算）所以16×47×109÷14的余数等于2×5×11＝110。而110÷14的余数为12，最终余数为12。
四
将2240 化为23×80 ＝880
五
※ 3
一
※ 4
一
二
三
※ 5
一
二
三
四
五
余数问题本质上是带余数的除法，例如9÷4=2 … 1等等，虽然是小学生的题目，但一旦深入，就难倒中学生、大学生。尤其是“同余方程”，在高斯的《算术探索》( 潘承彪 张明尧 译 ) 中有开创性的叙述，但读起来就如读天书一样了。
在看了一些“小学数论”的视频后，就觉得“余数问题”并不简单，有的还很难，甚至还不习惯它的解题方法。我就要考考自己，看能否做这样的习题。于是从笔记上、网页上、奥数书上收集了一些习题做一下。为了有点条理，大致分以下几类：
1、 求余数R。
在A÷B=X … R 的带余数除法中，引进“整除”规律，来求余数。有时，根据不同条件，还混合求A、R ，或B、R ，甚至求商的个数等等。解算花样就多了。
2、 求除数B
在余数方程组中，余数有相同的、有不同的、或余数间有一定关系的。根据情况，分别解B。
3、 求被除数A。
在余数方程组中，也根据余数R的同余与不同，分别情况，分别解之。
其中“A除以B1余几、除以B2余几、除以B3余几
翻看一下《多功能题典——小学数学竞赛》，其中“数论初步”的“带余数除法”部份43道题，我真正能做出的或大致理解的，只有10道而已，只得23分。
我避开难题，坚持做了63个习题。我的肤浅的余数知识，只能清理到此，便识相，到此为止。这本习题集，虽然也有少量奥数型题目，但大致上只是初等难度的习题。水平如此，只能如此。真的，我不想再折腾自己、难为自己了。
余数问题解算方法概述
※ 1
1、 余数的加法定理，简言之：加的余数等于余数的加。
2、 余数的乘法定理，简言之：乘积的余数等于余数的乘积。并扩充为乘幂的余数等于余数的乘幂。
3、 同余及同余定理。
同余：若两个整数A 1、A 2被自然数B除，有相同的余数R，那么称A 1、A 2对于模B同余，用式为：A 1≡A 2 ( mod B )，叫做同余式。读作：A 1同余于A 2
例如
65÷7＝9 … 2
由于
65≡37
如此说来：
16≡9
65≡9
而
37≡2
同余的两个推论：
一、
除数B是多个被除数A之间的差 ( A I－A J )的最大公约数。
如
65÷B＝Z … 2
(A 2－A 1)
(A 3－A 1)
21、28的最大公约数(21 ，28 ) = 7
同余定理的作用就是消去同余，使之成为整除，并在约数中找到除数B的解。
二、
被除数A＝各除数B的最小公倍数＋同余量R 。A ＝〔B1
如
A ≡ 2
A ≡ 2
A ＝〔B1
同余的这两个推论，是解算余数问题的一把钥匙。
※ 2
一、
二、
1849÷14的余数等于多少？由于1849＝1000＋800＋40＋9，而1000、800、40、9的余数分别为
6 、2 、12 、9，所以1849÷14的余数等于6 、2 、12 、9，之和6＋2＋12＋9＝29，而29÷14的余数为1，所以1849÷14的余数也等于 1。不过具体分拆大数时，要讲究机巧。如1849可分拆为1400+420+29，则三个余数为0、0、1，最后1849÷14的余数等于 1。
三、
如：16×47×109÷14的余数等于？由于16、47、109的余数分别为2、5、11，（这三个余数要具体算）所以16×47×109÷14的余数等于2×5×11＝110。而110÷14的余数为12，最终余数为12。
四
将2240 化为23×80 ＝880
五
※ 3
一
※ 4
一
二
三
※ 5
一
二
三
四
五