五个连续整数的平方和不是完全平方数的证明.
一
设五个连续整数为M－2、M－1、M、M+1、 M+2.，其平方和为S。 那么
S ＝（M－2）2＋（M－1）2＋M 2＋（M+1）2＋（m+2）2
＝M2
新浪博客
五个连续整数的平方和不是完全平方数的证明.
一
设五个连续整数为M－2、M－1、M、M+1、 M+2.，其平方和为S。 那么
S ＝（M－2）2＋（M－1）2＋M 2＋（M+1）2＋（m+2）2
＝M2
－4M+4+
M2－2M+1＋M2＋M2＋2M+1＋M2＋4M+4＝5M2+10
如果S是完全平方数，它的各个因数的指数应该是偶数，最少是2吧。现在的因数只有一个5、一个（M2+2）。为了能使S成为完全平方数，（M2+2）必须要表达为5×A2 。这样才能与5一起，组成等式
但如果（M2+2）中没有一个5的因数，那末就不可能使（M2+2）=5×A2 ，也就不可能使
可惜的是，（M2+2）恰恰没有一个5的因数。因为M不论是多少，M2的个位数只能是0，1，4，5，6，9，（M2+2）的个位数则只能是2.3，6，7，8，1 ，没有5。
所以S＝5（M2+2）≠52 ×A2 。虽然整个5（M2+2）有5的因数，但远远不够。即使有52 的因数，还不行，还要有A2 因数才行，不能缺一。也就是说，S ＝5（M2+2）不可能是完全平方数了。
二
至于有的网文说，“ S ＝5（M2+2）能被5整除，但不能被25整除，所以S就不是完全平方数”，我以为这个结论虽然没有错，但这样论证，还不严密。S是完全平方数的条件有两个：一要有52，二要有A2。。现在连第一个条件都达不到，所以肯定不是完全平方数，这不错。但作为严密论证，必须还要指出第二个条件。不说第二个条件，似乎S只要能被25整除，就是完全平方数了。其实这不严密。例如，假设S ＝4325，能被25整除，但它仍不是完全平方数。因为S ＝4325＝25*173，但173不是平方数，所以S ＝4325也不是完全平方数。
又如S ＝5×845=5×(5×169)= 5 ×845＝4225，它是65的平方，这下可以了吧。此时
《数论》中的证明，一不小心就不正确或不严密。网上论证、跟进的文章似乎都没有说透，我这个79老学生就忍不住跳出来议论一下。但是，是不是真正严密了，心里还是没有底。
如果S是完全平方数，它的各个因数的指数应该是偶数，最少是2吧。现在的因数只有一个5、一个（M2+2）。为了能使S成为完全平方数，（M2+2）必须要表达为5×A2 。这样才能与5一起，组成等式
但如果（M2+2）中没有一个5的因数，那末就不可能使（M2+2）=5×A2 ，也就不可能使
可惜的是，（M2+2）恰恰没有一个5的因数。因为M不论是多少，M2的个位数只能是0，1，4，5，6，9，（M2+2）的个位数则只能是2.3，6，7，8，1 ，没有5。
所以S＝5（M2+2）≠52 ×A2 。虽然整个5（M2+2）有5的因数，但远远不够。即使有52 的因数，还不行，还要有A2 因数才行，不能缺一。也就是说，S ＝5（M2+2）不可能是完全平方数了。
二
至于有的网文说，“ S ＝5（M2+2）能被5整除，但不能被25整除，所以S就不是完全平方数”，我以为这个结论虽然没有错，但这样论证，还不严密。S是完全平方数的条件有两个：一要有52，二要有A2。。现在连第一个条件都达不到，所以肯定不是完全平方数，这不错。但作为严密论证，必须还要指出第二个条件。不说第二个条件，似乎S只要能被25整除，就是完全平方数了。其实这不严密。例如，假设S ＝4325，能被25整除，但它仍不是完全平方数。因为S ＝4325＝25*173，但173不是平方数，所以S ＝4325也不是完全平方数。
又如S ＝5×845=5×(5×169)= 5 ×845＝4225，它是65的平方，这下可以了吧。此时
《数论》中的证明，一不小心就不正确或不严密。网上论证、跟进的文章似乎都没有说透，我这个79老学生就忍不住跳出来议论一下。但是，是不是真正严密了，心里还是没有底。