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初等数论《完全平方数》 习题集

2016-08-04 12:12阅读：

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初等数论《完全平方数》 习题集(1)

一 完全平方数
自然数 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …
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完全平方数 N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 …

二 完全平方数的特征

1 末位数字为：0、1、4、5、6、9的，可能是完全平方数，如100 81 64 225 36 169等等。但有的不是完全平方数，如200 181 464 325 56 189 等等。
2 末位数为：2、3、7、8的整数，肯定不是完全平方数。如22222、123 167 38 等等，
3 偶数的平方是4N型的偶数。个位数字是偶数0、4 、6，十位数字有奇有偶。它们只能是
00 04 24 44 64 84、16 36 56 76 96
4 奇数的平方是4N+1型的奇数。个位数字是奇数1、9 ，十位数字有奇有偶。即只能是
01 21 41 81 09 29 49 69 89
5 尾数为25的数，可能是完全平方数。如225 625等等，
但有的不是完全平方数，如125 325 7125等等。
6 3k或3k+1型的数，可能是完全平方数。如144=3×48 、121=3×40+1等，
但有的不是完全平方数，如156 =52×3、244=81×3+1等等。
7 完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。数字和是2,3,5,6,8的，肯定不是完全平方数。
8 如果质数p能整除A，但p的平方不能整除A，则A不是完全平方数。如：
7︱196 49︱ 196 A=196 是完全平方数
7︱119 49ト119 A=119 不是完全平方数
9 相邻整数的平方数之间，不可能有别的平方数。如72=49、82=64之间，不可能有别的平方数。
总之，以上的判别法，只判别可能是完全平方数，但不能肯定是完全平方数。实质上只适合判别非完全平方数。
10 判别完全平方数的必要充份条件是：因数一定是偶次方，因数个数一定是奇数。最直接的方法是质因数分解。例如144=122=24×32
11 平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
12 完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
13 完全平方差公式：（X-Y）2= X2-2XY+Y2
14 p=4n+1型的素数，都能表示为两个整数的平方和，如n=7时， p=29=22+52 等等
p=4n+3型的素数，不能表示为两个整数的平方和，如n=7时， p=31≠x2+y2 等等
15 两个奇数的平方和，一定不是完全平方数。如32+52=34≠y2 、92+152=306≠y2 等等
15 两个质数的平方和，一定不是完全平方数。如22+32=13≠x2 、 32+52=34≠y2等等
可见，两个质数的平方和，可能是质数，也可能是合数，但肯定不是完全平方数。
17 拉格朗日四平方和定理：任何一个正整数都可以表示为不超过四个整数的平方之和。
如 7=22+12+12+12 34=52+32+02+02 、 87=72+52+32+22=72+62+12+12=92+22+12+12 等等
三 习 题

1 在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个？
答：2个，即1 、9 。
解：奇数的平方是4N+1型奇数。一位数字为奇数的，只有 1、9 。二位数字以上的完全平方数，末两位尾数不是奇偶就是偶偶，没有奇奇的，所以二位以上的完全平方数，没有全是奇数的。例如 11 11111、13579、 315351 9999999等全奇数，都不可能是完全平方数。


2 下列四个数中：513231 121826 122530 625681有多少个完全平方数。
答：只有625681是完全平方数。
解：根据尾数判别法，完全平方数的末两位尾数只能是：
00 04 24 44 64 84、16 36 56 76 96 25 01 21 41 81 09 29 49 69 89
只有625681 的尾是81，可能是完全平方数。但还要作充份条件的判别：
完全平方数的必要、充份条件是：它的各因数一定是偶次方。最直接的方法是质因数分解。
625681=72×1132 ，合符充份条件，所以625681是完全平方数

3 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．
奇数为2n+1，则它的平方为4n2+4n+1，显然除以4余1．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．
且奇数的平方，十位数字必是偶数，而11、111 等，十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

4 证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平方数
证：
555…550000 的数字和为39*5=195 ，195的数字和为1+9+5=15，15的数字和为6。
但完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。所以它不可能是完全平方数

5 一个自然数X加上60,为一完全平方数。如果加上43, 则为另一完全平方数。求X。
答：X=21
解：有X+60=A2 及X+43=B2 ，两式相减：A2－B2 = 60－43=17= (A+B)(A-B)=17*1 → (A+B)=17、 (A-B)=1 →2A=18 A=9 → B=8
X= A2－60=81-60=21 或 X= B2－43=64-43=21

6 一个自然数X减去45及加上44都仍是完全平方数，求此X。
答：X=1981
解：有X－45=A2 及 X＋44=B2 ，两式相减：B2－A2 = 44＋45=89= (B+A)(B-A)=89*1，两因数同奇，有整数解 (B+A)=89、(B-A)=1
→ 2B=90 B=45 B2 =2025 X= B2－44=2025-44=1981
或 A=44 A2 =1936 X= A2＋45=1936+45=1981


7 求一个能被180整除的最小完全平方数X2
答：该最小完全平方数是900
解：X2 应有因数180与A，即应有X2=180*A 。180分解后有，X2=62×5×A
完全平方数中各因数的指数都应等于偶数，现在5的指数为1，所以最小取A=5，才合要求。这样，
X2=62×52 =302 =900

8 一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和，是一个完全平方数,
求这样的两位数.
答：这样的两位数是 29 38 47 56
解：设这样的两位数是AB ，题意AB＋BA＝X2 ，即10A+B+10B+A= X2
→ 11 (A+B)＝X2 ，可见A+B应=11 。若A=2 则B=9 … 等等。检算如下：
A B A B B A A B＋B A 是否是完全平方数
2 9 29 92 121 是11的平方
3 8 38 83 121 是11的平方
4 7 47 74 121 是11的平方
5 6 56 65 121 是11的平方
6 5 65 56 121 重复了

9 若自然数X2是一个完全平方数，则下一个完全平方数是多少？
答：是X2+2X+1。
解：
X的下一个数是X+1，它的完全平方数是 (X＋1) 2 =X 2+2X+1
例如 42=16 ，4+1=5 52=16+8+1=25

10 相邻自然数之差是1。相邻自然数平方之差是 (N+1)2－N2 ＝2N+1 列表
N 0 1 2 3 4 5 6 7 100 100000 …
( N+1) 1 2 3 4 5 6 7 8 101 100001 …
( N+1)2－N2 1 3 5 7 9 11 13 15 201 200001 2N+1
待续

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