用分数（M/N）表示无理数√2近似值的各种方法及广义扩充（完）
2020-09-10 21:26阅读：
用分数（M /
N）表示无理数√
2近似值的各种方法及广义扩充（ 完）
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《2的平方根》读书笔记
五 用分数（M / N）表示√
2近似值的“立方培增法”
步步递推法以一步一步的推，斐波那契式递推以1、2、3、5、8、13…的速度跳跃，平方培增法以1*2*2*2*2…的速度跳跃，立方培增法就以
1*3*3*3*3…的速度跳跃。即由
m/n m/n m/n
得到M/N。转换为:
m/n （m/n m/n）
又转换为:
m/n (m2
+
2n2) /2mn
相当于
m/n 、
P /Q →
M / N
，此时P=(m2
+
2n2)
、Q=2mn
由 m/n
、 P
/Q → M
/ N
已有公式
M/N=(m P +
2nQ) / (m Q +
nP)
将P=(m2
+
2n2)
、
Q=2mn代入上式，得
M/N= (m
(m2 +
2n2)
+ 2n×2mn) / (m×2mn +
n(m2 +
2n2))
M/N=
(m3+6mn2)
/3m2n+2n3
我用电子表格递推演算:
m n
M=(m3+6mn2)
N=（3m2n+2n3）
1
1
7
5
7
5
1393
985
1393
985
10812186007
7645370045
10812186007 7645370045
5.05592E+30
3.57508E+30
得到以下数列:
列号
1 3
9
27
81
M/N 1/1
7/5 1393/985
10812186007/7645370045
5.05592E+30/3.57508E+30
六 用分数（M / N）表示√
2近似值的“四方培增法”
即由
m/n m/n m/n
m/n
去得到M/N。转换为:
(m/n m/n) (m/n m/n)
又转换为:
[ (m2 +
2n2) /2mn ]
[ (m2
+
2n2) /2mn ]
去得到M/N。
令
[ (m2 +
2n2) /2mn ] = A
/ B ，即A=(m2
+
2n2)
、B=2mn，则有
A/B A/B →
M/N
M/N =
(A2 +
2B2) /2AB = [
(m2 +
2n2)2
+2*4m2n2
] /
[2*(m2 +
2n2)*2mn]
=[M4
+
4m2n2+4n4+8m2n2
] / [4
m3n
+8mn3]
，最后
M/N=（m4
+
12m2n2+4n4
）/（4
m3n
+8mn3）
我用电子表格递推演算:
m n
M=（m4 +
12m2n2+4n4
）
N=（4
m3n
+8mn3）
1
1
1 7
12
17
12
665857
470832
665857
470832
1.57258E+24
1.11198E+24
1.57258E+24 1.11198E+24
4.89266E+97
3.45964E+97
得到以下数列:
列号
1
4
16
