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2024年03月27日

2024-03-27 14:51阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2801378230

近似正多边形作图法的误差分析

唐小牛 2024-03-27 年87

在网上看到两篇文章:
一、 正N边形作图法(以正7边形为例) 。无作者姓名，只有一张图及简要说明，但足够看懂其方法了。敬录于下。

https://p4.itc.cn/images01/20220109/74c3ef33c75042238a1107c3e4412ab9.png

二、 任意等分圆周的尺规作图法 (以七等分圆周为例) 。作者:贵州省天柱县高酿镇凸洞小学龙再铃。作图步骤方法为:
1
．用等分已知线段的方法，将O的直径AK七等分；
2．以点K为圆心，直径AK为半径画弧，交直径AK的垂直平分线于M、N两点；
3．自点M、N分别向直径AK上的点b、d、f连结并延长，使其延长线分别交O于B、C、D、E、F、G点，则点A、B、C、D、E、F、G将O七等分。
4.依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FG、GA即得O的内接正七边形。

https://img1.baidu.com/it/u=2544948408,2260320660&fm=253&fmt=auto&app=138&f=PNG?w=537&h=377
可见，上述两文的作图步骤与方法，完全相同。而文中有正N边形、任意等分圆周等字样，便使我很兴奋。不是说，正7边形是无法用尺子、圆规作图的吗？不是说，正5边形、正17边形作图还是比较烦琐的吗？而现在竟有这么一个又简单、又统一的方法了，太好了，以后可以用尺规作任意正多边形了。

图片 但这个方法是谁发明的呢？怎么没有听说过呢？
因此又引起我的一些疑惑。就想用具体的数值，来计算这些正多边形每边所对的中心角，是否都等于其理论值。例如5边形每边的中心角=360/5=72度、7边形每边的中心角=360/7=51.4285714285度等等。
为此，对3、4、5、7边形各作了数值计算，得到最终结果如下:

N 中心角理论值 作图后各中心角 实际值(单位度，取3位) 总和
3 120 120 120 120 360
4 90 89.625 90.375 89.625 90.375 360
5 72 71.691 71.953 71.953 71.691 72.712 360
7 51.428… 50.836 51.382 51.518 51.518 51.382 50.836 52.527 360

结论:
3边形的中心角最大误差0秒 得到正3边形
4边形的中心角最大误差0.375度， 即135秒， 非正4边形
5边形的中心角最大误差0.712度， 即 21秒， 非正5边形
7边形的中心角最大误差1.099度 ，即 66分， 非正7边形

所以上面的作图方法，即 先将直径平分N份、定出射线起点，再以射线与圆相交的方法所作的多边形，除N=3外，只能得到近似于正的多边形，不能得到真正的正多边形，但一般肉眼是分不清楚的。当然，这个方法也有优点，即既简便又统一，适合于作略图、作艺术图形等。想出这个方法也真了不起，非我辈所能也 。

由于上述两文的标题不精确，可能会引起读者(如我)的误解。因此，我写这篇文稿，标题加上了近似两个字。
下面，只将7边形数值计算的全过程，包括作图方法、射线方程、小圆方程的建立、7边形上各点坐标、弦长及相应中心角等计算结果，罗列出来，供有兴趣、喜较劲的朋友一阅。



近似正7边形尺规作图法的数值验证及最终结论

一 尺规作图方法及基础点坐标的确定

1 先把任意长作为1份。用圆规在直线上连得7份。得的分点号为0、1、2、3、4、5、6、7(N)。
2 N作为坐标系原点，又是大圆的圆心，大圆半径R=7。
3 以3号4号的中点Q，作为小圆圆心，並以半径r=3.5作小圆。小圆圆心X轴上的Y都=3.5。
4 再作射线的左右起点A、B。A、 B是大圆与小圆心X轴线的交点。
5 B为右侧的射线起点，其圆方程为 X2+Y2=R2，其中R=7、Y=3.5。则有X2+3.52=72，得X=6.0621778、Y=3.5。
6 A为左侧的射线起点，其圆方程为 X2+Y2=R2，其中R=7、Y=3.5。则有X2+3.52=72，得X= -6.0621778、Y=3.5。A是B的对称点。

作图至此，便得射线B1、B3、B5、B7、A1、A3、A5、A7上各点的坐标:

1 3 5 7(N) 小圆圆心Q B A
X 0 0 0 0 0 6.0621778 -6.0621778
Y 6 4 2 0 3.5 3.5 3.5 2024年03月27日

2024年03月27日

二 各射线方程的计算

多边形上的多个点，是用多个射线B1、B3、B5、…与小圆相交得到的。
例如B1射线与小圆相交得到C点。这时，待求点C(坐标为X、Y) 与已知点1(坐标为X1、Y1)、已知点B(坐标为XB、YB)位于同一直线，

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