近似正多边形尺观作图法的理论误差分析
唐小牛
在网上看到两篇文章:
一、 正N边形作图法(以正7边形为例) 。无作者姓名，只有一张图及简要说明，但足够看懂其方法了。敬录于下。
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近似正多边形尺观作图法的理论误差分析
唐小牛
在网上看到两篇文章:
一、 正N边形作图法(以正7边形为例) 。无作者姓名，只有一张图及简要说明，但足够看懂其方法了。敬录于下。
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二、 任意等分圆周的尺规作图法 (以七等分圆周为例) 。作者:贵州省天柱县高酿镇凸洞小学龙再铃。作图步骤方法为:
1．用等分已知线段的方法，将O的直径AK七等分；
2．以点K为圆心，直径AK为半径画弧，交直径AK的垂直平分线于M、N两点；
3．自点M、N分别向直径AK上的点b、d、f连结并延长，使其延长线分别交O于B、C、D、E、F、G点，则点A、B、C、D、E、F、G将O七等分。
4.依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FG、GA即得O的内接正七边形。
![https://img1.baidu.com/it/u=2544948408,2260320660&fm=253&fmt=auto&app=138&f=PNG?w=537&h=377]( "近似正多边形尺观作图法的理论误差分析")
可见，上述两文的作图步骤与方法，完全相同。而文中有正N边形、任意等分圆周等字样，便使我很兴奋。不是说，正7边形是无法用尺子、圆规作图的吗？不是说，正5边形、正17边形作图还是比较烦琐的吗？而现在竟有这么一个又简单、又统一的方法了，太好了，以后可以用尺规作任意正多边形了。
![图片]( "近似正多边形尺观作图法的理论误差分析")
但这个方法是谁发明的呢？怎么没有听说过呢？
因此又引起我的一些疑惑。就想用具体的数值，来计算这些正多边形每边所对的中心角，是否都等于其理论值。例如5边形每边的中心角=360/5=72度、7边形每边的中心角=360/7=51.4285714285度等等。
为此，对3、4、5、7边形各作了数值计算，得到最终结果如下:
N
3
4
5
7
结论:
3边形的中心角最大误差0秒
4边形的中心角最大误差0.375度， 即135秒，
5边形的中心角最大误差0.712度， 即
7边形的中心角最大误差1.099度 ，即
所以上面的作图方法，即 先将直径平分N份、定出射线起点，再以射线与圆相交的方法所作的多边形，除N=3外，只能得到近似于正的多边形，不能得到真正的正多边形，但一般肉眼是分不清楚的。当然，这个方法也有优点，即既简便又统一，适合于作略图、作艺术图形等。想出这个方法也真了不起，非我辈所能也 。
由于上述两文的标题不精确，可能会引起读者(如我)的误解。因此，我写这篇文稿，标题加上了近似两个字。
下面，只将7边形数值计算的全过程，包括作图方法、射线方程、小圆方程的建立、7边形上各点坐标、弦长及相应中心角等计算结果，罗列出来，供有兴趣、喜较劲的朋友一阅。
近似正7边形尺规作图法的数值验证及最终结论
一
1
2
3
4
5
6
作图至此，便得射线B1、B3、B5、B7、A1、A3、A5、A7上各点的坐标:
X
Y
![近似正多边形尺观作图法的理论误差分析]( "近似正多边形尺观作图法的理论误差分析")
二
多边形上的多个点，是用多个射线B1、B3、B5、…与小圆相交得到的。
例如B1射线与小圆相交得到C点。这时，待求点C(坐标为X、Y) 与已知点1(坐标为X1、Y1)、已知点B(坐标为XB、YB)位于同一直线，则有射线方程
(Y-YB)/(X-XB) = (Y1-YB)/(X1-XB)
等式后项(Y1-YB)/(X1-XB)=K，其实就是射线的斜率K。代入已知坐标值，得K=(Y1-YB)/(X1-XB)=(6-3.5)/(0-6.0621778)=2.5/(-6.0621778)=-0.41239305
所以 (1) 式成为
(Y-3.5)/(X-6.0621778)= -0.41239305
(Y-3.5)= -0.41239305 *(X-6.0621778) 最后，
射线B1的方程为Y=6 -0.41239305 X
射线B3的方程为Y=4-0.082479 X
射线B5的方程为Y=2+0.2474358 X
射线B7的方程为Y=0.5773503 X
A与B是对称点，X正负相反而Y相等。所以射线A1、A3、A5、A7不必重算了。
三
小圆心坐标X=0、Y=3.5，半径r=3.5，则
小圆方程
X2+Y2-7Y+12.25=12.25
四
内接多边形的各个顶点，是各条射线与小圆的交点，其坐标就是两者联立方程的解。
如，射线B1与小圆相交在C，要解联立方程
Y=6 -0.41239305 X
Y=(7± √ (49-4X2))/2
得
解射线与小圆的联立方程很麻烦。我就在电子表格Excel上，用连续变动x的方法，求解两个Y。当两个Y相等时便录用。实际上取小数后6位相同就取平均值录用了。如C点的运算过程:
-1.548750829
-1.548750830
-1.548750831
最后，C点坐标录用为
其他点相仿。最后结果汇总于下表。
射线 与 小圆的交点
B1
B3
B5
B7
A5
A3
A1
五
计算公式及计算方法示例:
1
如CD边S=√[ (-3.4116615 + 1.548751)2+(4.2813885-6.63868945)2 ]
S=3.0045479。
2
如CDQ ， β=ARC SIN (3.0045479/7)*2 =ARC SIN (0.4292211)*2=
β=25.41814116 * 2 = 50.836282。
3
点
C
D
E
N
F
G
H
A
二、 任意等分圆周的尺规作图法 (以七等分圆周为例) 。作者:贵州省天柱县高酿镇凸洞小学龙再铃。作图步骤方法为:
1．用等分已知线段的方法，将O的直径AK七等分；
2．以点K为圆心，直径AK为半径画弧，交直径AK的垂直平分线于M、N两点；
3．自点M、N分别向直径AK上的点b、d、f连结并延长，使其延长线分别交O于B、C、D、E、F、G点，则点A、B、C、D、E、F、G将O七等分。
4.依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FG、GA即得O的内接正七边形。
可见，上述两文的作图步骤与方法，完全相同。而文中有正N边形、任意等分圆周等字样，便使我很兴奋。不是说，正7边形是无法用尺子、圆规作图的吗？不是说，正5边形、正17边形作图还是比较烦琐的吗？而现在竟有这么一个又简单、又统一的方法了，太好了，以后可以用尺规作任意正多边形了。
因此又引起我的一些疑惑。就想用具体的数值，来计算这些正多边形每边所对的中心角，是否都等于其理论值。例如5边形每边的中心角=360/5=72度、7边形每边的中心角=360/7=51.4285714285度等等。
为此，对3、4、5、7边形各作了数值计算，得到最终结果如下:
N
3
4
5
7
结论:
3边形的中心角最大误差0秒
4边形的中心角最大误差0.375度， 即135秒，
5边形的中心角最大误差0.712度， 即
7边形的中心角最大误差1.099度 ，即
所以上面的作图方法，即 先将直径平分N份、定出射线起点，再以射线与圆相交的方法所作的多边形，除N=3外，只能得到近似于正的多边形，不能得到真正的正多边形，但一般肉眼是分不清楚的。当然，这个方法也有优点，即既简便又统一，适合于作略图、作艺术图形等。想出这个方法也真了不起，非我辈所能也 。
由于上述两文的标题不精确，可能会引起读者(如我)的误解。因此，我写这篇文稿，标题加上了近似两个字。
下面，只将7边形数值计算的全过程，包括作图方法、射线方程、小圆方程的建立、7边形上各点坐标、弦长及相应中心角等计算结果，罗列出来，供有兴趣、喜较劲的朋友一阅。
近似正7边形尺规作图法的数值验证及最终结论
一
1
2
3
4
5
6
作图至此，便得射线B1、B3、B5、B7、A1、A3、A5、A7上各点的坐标:
X
Y
二
多边形上的多个点，是用多个射线B1、B3、B5、…与小圆相交得到的。
例如B1射线与小圆相交得到C点。这时，待求点C(坐标为X、Y) 与已知点1(坐标为X1、Y1)、已知点B(坐标为XB、YB)位于同一直线，则有射线方程
(Y-YB)/(X-XB) = (Y1-YB)/(X1-XB)
等式后项(Y1-YB)/(X1-XB)=K，其实就是射线的斜率K。代入已知坐标值，得K=(Y1-YB)/(X1-XB)=(6-3.5)/(0-6.0621778)=2.5/(-6.0621778)=-0.41239305
所以 (1) 式成为
(Y-3.5)/(X-6.0621778)= -0.41239305
(Y-3.5)= -0.41239305 *(X-6.0621778) 最后，
射线B1的方程为Y=6 -0.41239305 X
射线B3的方程为Y=4-0.082479 X
射线B5的方程为Y=2+0.2474358 X
射线B7的方程为Y=0.5773503 X
A与B是对称点，X正负相反而Y相等。所以射线A1、A3、A5、A7不必重算了。
三
小圆心坐标X=0、Y=3.5，半径r=3.5，则
小圆方程
X2+Y2-7Y+12.25=12.25
四
内接多边形的各个顶点，是各条射线与小圆的交点，其坐标就是两者联立方程的解。
如，射线B1与小圆相交在C，要解联立方程
Y=6 -0.41239305 X
Y=(7± √ (49-4X2))/2
得
解射线与小圆的联立方程很麻烦。我就在电子表格Excel上，用连续变动x的方法，求解两个Y。当两个Y相等时便录用。实际上取小数后6位相同就取平均值录用了。如C点的运算过程:
-1.548750829
-1.548750830
-1.548750831
最后，C点坐标录用为
其他点相仿。最后结果汇总于下表。
射线 与 小圆的交点
B1
B3
B5
B7
A5
A3
A1
五
计算公式及计算方法示例:
1
如CD边S=√[ (-3.4116615 + 1.548751)2+(4.2813885-6.63868945)2 ]
S=3.0045479。
2
如CDQ ， β=ARC SIN (3.0045479/7)*2 =ARC SIN (0.4292211)*2=
β=25.41814116 * 2 = 50.836282。
3
点
C
D
E
N
F
G
H
A