6.1.1M-L最小作用原理的证明(2)

2023-11-15 09:47阅读：

分析力学笔记（石拓/著）

后来，雅可比（Jacobi）在拉格朗日（Lagrange）基础上，给出了莫培督—拉格朗日最小作用量原理的另一种形式的数学证明。

雅可比（Jacobi）从动能函数（4-7）：

中的T₂出发，即：

另由雅克比（Jacobi）积分（能量积分）（4-12），得：

这时，莫培督-拉格朗日最小作用量原理（6-2）的第一式，可写为（a）：

令：

其中的dσ看成n维空间的弧微元，弧的起点和终点分别为M₁、M₂。将（b）代（a）得（c）：

这样一来，莫培督-拉格朗日最小作用量原理可以表述为：运动物体的路径总是取极小值，即路径的变分等于0：

（6-3）就是上面提到的雅可比（Jacobi）形式最小作用量原理。

（待续）

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