7.2.1雅可比（Jacobi）定理（1）

2024-04-06 09:46阅读：

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分析力学笔记（石拓/著）

7.2.1雅可比（Jacobi）定理（1）

设a₁,a₂,…,a_n,a_n+1是n个广义坐标q_j和时间t=t₀，共n+1个独立变量的常数。因为S以偏导数存在于方程（7-8），所以S中有一个单列的常数（相应于独立变量t=t₀），不妨设为a_n+1（相应于t=t₀），因此方程（7-8）的解（哈密顿主函数S）可写为（a）：

S=S(q₁,q₂

,…,q_n, a₁,a₂,…,a_n,a_n+1,t)
=S(q₁,q₂,…,q_n, a₁,a₂,…,a_n,t)+ a_n+1 （a）

由于

所以可把上式（a）中的a_n+1省略，写成（7-9）：

（7-9）S=S(q₁,q₂,…,q_n, a₁,a₂,…,a_n,t)=S(q,a,t)

从7.2的推导可知，哈密顿—雅可比方程（7-8）是从哈密顿主函数S导出的。现在，反过来问：哈密顿—雅可比方程（7-8）的全积分的解，是否一定是哈密顿主函数S？为此，雅可比（Jacobi）给出了一个定理，即雅可比定理。

雅可比定理：假设哈密顿主函数S（7-9）

（7-9） S=S(q₁,q₂,…,q_n, a₁,a₂,…,a_n,t)=S(q,a,t)

是哈密顿-雅可比方程（7-8）：