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12.3.5积分概念的第二次扩充（4）

2025-03-08 16:25阅读：

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数学发展简史（石拓/编著）

12.3.5 积分概念的第二次扩充（4）


勒贝格（Lebesgue）在他的积分研究中，也推进了重积分的理论。尤其是他的二重积分定义，扩大了用累次积分来计算二重积分的范围。1910年，他把单重积分导数的结果，推广到n重积分。

对于n维空间Rn中每一个紧致（对于任意的开覆盖，总存在有限子覆盖）区域上的可积函数f，勒贝格（Lebesgue）给出了一个定义，这就是，在Rn中每个可积区域E的集合函数为（7）：
12.3.5积分概念的第二次扩充（4）
其中的x表示n个坐标。显然，（7）是不定积分的推广。

不久，勒贝格（Lebesgue）积分的概念，得到了许多推广，这些推广是函数论的直接发展。

20世纪的早期，奥地利数学家拉东（Johann Radon，公元1887——1956年），在斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分和勒贝格（Lebesgue）积分的基础上，建立了他的积分，这就是，推广了的斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分和勒贝格（Lebesgue）积分，称为勒贝格—斯蒂尔切斯积分（L-S积分）（基础是勒贝格—斯蒂尔切斯测度）。

拉东（Radon）的勒贝格—斯蒂尔切斯积分（L-S积分），不仅扩大了积分的范围，而且统一了n维欧氏空间中，点集的积分概念。他还把积分扩展到，例如函数空间等的更为普遍的空间。拉东（Radon）积分及其方法，在现代概率论、谱理论以及广义傅里叶（Fourier）级数（周期或调和）分析等学科的领域中，找到了应用。

建立在测度论基础上的勒贝格（Lebesgue）积分，标志了现代分析学的开始。而勒贝格（Lebesgue）以前的分析，如今称为经典分析。勒贝格（Lebesgue）的工作成就，是20世纪数学的伟大贡献。

（待续）

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