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12.4泛函分析

2025-03-22 10:07阅读：

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数学发展简史（石拓/编著）

12.4 泛函分析


数学上的各种变换或者叫做算子。例1，假如y=f(x)是直角坐标系中的函数，如果令：
12.4泛函分析
那么，（1）就是一种变换，即坐标变换。它的作用是，把函数y=f(x)从直角坐标系，经过（1）的变换，变换到了极坐标系。这是一种从点到点的变换，叫做普通变换。算子是普通变换的推广。

算子除了可以把点变换到点之外，还可以把函数变成（新）函数。例2，对连续可导函数y=f(x)求一阶导数（1）：

（1）
dy/dx =f´(x)

（1）式中的d/dx就是算子，称为微分算子，通常用D表示，即D=d/dx，它作用在y=f(x)上，便产生了一个新函数y´=f´(x)，即导函数。因此，算子就是作用在函数f上的一种运算，如算子d/dx，是对函数y=f(x)求导函数。

例3，在变分问题（见12.1）中，要求出积分（2）：
12.4泛函分析
使得积分J，取得极值的极值函数y=y(x)。因此，积分（2）可以看作，作用在一类y=y(x)上的运算，运算的目的在于求极值函数。而求得的极值函数，就是新函数。

上述事实的出现了，使得数学家们把作用在函数上的算子，抽象出来作为单独研究的对象。他们把函数，看成是抽象空间中的点或者元素，把算子看作为作用在空间中点上的一种运算。运算的结果有两种：一是将函数变为数，如例1；二是将函数变为函数，如例2和例3。

法国数学家阿达玛（Hadamard，公元1865——1963年），把由函数变成数（实数或复数）的算子，称为泛函。用今天的说法就是：泛函是一种由函数集合到数集上的映射。函数变成函数（函数集到函数集）的算子，仍然称为算子。20世纪前期，法国数学家莱维（Paul P.Levy，公元1886——1971年），引进了泛函分析的名称。

（待续）

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