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三个角为直角的四边形一定是矩形吗？

2017-12-18 17:45阅读：

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高中数学必修二（北师大版，2014年6月第7版）习题1-6中A组第一题：“三个角为直角的四边形一定是矩形吗？为什么？”
（一）
初学立体几何的学生解答此题的一个障碍来自于由平面向空间过渡中的问题，此前初中所学的平面几何中的定义、定理在空间是否适用？比如，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等这些条件是否还能用来判定两条直线平行？或者说，在有了异面直线的概念后，还有同位角、内错角、同旁内角等这些概念吗？
如下图所示，直线a，b是异面直线，直线AB与a，b都相交，这样的情形下，还有同位角、内错角、同旁内角等问题吗？

三个角为直角的四边形一定是矩形吗？

初中所学的同位角、内错角和同旁内角等有一个前提，就是所涉及的直线都在同一平面内。类似的问题还有很多，比如两条直线平行的定义，当时所学的只限于同一平面内，所以很多学生都没有注意定义中的“在同一平面内”这个条件，只记住了“没有公共点”这一条，在学习了异面直线的定义后学生自然就会注意到“在同一平面内”这个条件；还有，“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”在立体几何中不能用来判定所给的四边形是平行四边形的。
如果所涉及的几何元素都在同一平面内，那么平面几何中的结论仍然成立，否则，就不一定成立。比如，在平面几何中，垂直于同一条直线的两条直线平行，此结论在空间就不成立；平行于同一条直线的两条直线平行，在空间仍然成立。这样的问题提示我们，原先所学的平面几何中的结论在空间有的成立、有的不成立，能否使用要重新考虑才行。
首尾相连的四条线段围成的图形叫四边形，四条边不在同一平面内的四边形叫空间四边形。相邻的两条边如果垂直，则其所成的角就是直角。在空间四边形或多边形中，不能再用“内角”这个词来表示相邻两条边所成的角。
（二）
三个角为直角的四边形是不是矩形取决于这样的四边形是不是平面图形，即这样的四边形的四条边是不是都在同一平面内，如果四条边都在同一平面内，那么三个角为直角的四边形是矩形，否则就不是矩形。
教材中的问题等价于有没有三个角是直角的空间四边形？如果有，构造是一种很好的说明问题的方法；如果没有，那就得证明。
在如下图所示的长方体中，点P为棱CE延长线上一点，空间四边形ABPD中，∠ABP、∠ADP和∠BAD均为直角。
在△BDP中，DP2+BP2>DC2+BC2=BD2，所以∠BPD为锐角。
所以四边形ABPD就是有三个角是直角的四边形，但它不是矩形。
三个角为直角的四边形一定是矩形吗？

（三）
教材中的问题解决了，很自然地我们就会提出新的问题：四个角都是直角的四边形是不是矩形？或者说，有没有四个角都是直角的空间四边形？
答案是四个角都是直角的四边形是矩形。
假设存在四个角都是直角的空间四边形ABCD，如下图，不妨设点C不在平面ABD内。
过点C做平面ABD的垂线，垂足为E，连结DE、BE。
因为CE⊥平面ABD，所以CE⊥AD，又DE⊥AD，所以AD⊥平面DCE，所以AD⊥DE，即∠ADE为直角；
三个角为直角的四边形一定是矩形吗？
同理，∠ABE为直角。
因为四边形ABED为平面四边形，所以四边形ABED为矩形，则∠BED为直角。
因为CE⊥BE，所以BC>BE，同理DC>DE。
由已知△BCD为直角三角形，则有BC2+DC2=BD2；
又在直角△BED中，BE2+DE2=BD2；
则有BD2=BC2+DC2>BE2+DE2=BD2
因些，假设不成立，所以不存在四个角都是直角的空间四边形。
所以，四个角都是直角的四边形是矩形。
（四）
这个问题还可以用下面的方法处理。
假设存在四个角都是直角的空间四边形ABCD，不妨设点C不在平面ABD内。
在平面ABD内，做DE∥AB，BE∥AD，连结CE。
因为DE∥AB，所以AD⊥DE，又因为AD⊥DC，所以AD⊥平面DCE，则有AD⊥CE；
同理，BE⊥CE；
所以CE⊥平面ABED。
此后的证法与前面的处理方法相同。
（五）
对于初学的学生来说，运用所学的知识解决问题很重要，这也是他们每天所面临永远也做不完的问题，但与解决问题同样重要的是提出问题、提出问题解决的方法。
在新条件下，重新认识已有的知识和方法是我们提出问题、提出问题解决方法的重要途径。
能提出问题、提出问题解决方法的学习是有意义的学习，是能让我们喜欢学习的学习。

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