(1)求点E的轨迹方程。
(2)过点M(1,0)的直线与点E的轨迹交于A,B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB? 若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由。
这是我校高二年级月考的一道题。下面讨论的是此题第（2）问的更为一般的情况。
命题：圆C的半径为r，M、N是射线CD上两点（M在圆内），过点M作直线交圆C于A、B两点，当CD为∠ANB的平分线时，CM和CN之积等于r2
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(1)求点E的轨迹方程。
(2)过点M(1,0)的直线与点E的轨迹交于A,B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB? 若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由。
这是我校高二年级月考的一道题。下面讨论的是此题第（2）问的更为一般的情况。
命题：圆C的半径为r，M、N是射线CD上两点（M在圆内），过点M作直线交圆C于A、B两点，当CD为∠ANB的平分线时，CM和CN之积等于r2
。
此命题的逆命题也成立。
证明：以C为原点、CD所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆C的方程为：x2+y2=r2，设M（m，0），N（n，0）,A(x1,y1)，B(x2,y2).
设AB的方程为：y=k(x-m)
将y=k(x-m)代入圆C的方程，整理得：(1+k2)x2-2mk2x+(k2m2-r2)=0
由韦达定理得：x1+x2=2mk2/(1+k2)，x1x2=(k2m2-r2)/(1+k2)
CN为∠ANB的平分线，则有kAN+kBN=0，故有：y1/(x1-n)+y2/(x2-n)=0
将y1=k(x1-m)，y2=k(x2-m)代入上式，整理得：2x1x2-(m+n)( x1+x2)+2mn=0
代入韦达定理，整理，得：mn=r2.
当AB⊥x轴时，射线CD上任一异于M的点N均满足“CN为∠ANB的平分线”的要求，自然也存在满足题设要求的点N。
另：当M点位于圆外时，当CM和CN之积等于r2时，过点N垂直于CD的直线平分∠ANB.
命题1的结论还可以由圆推广到椭圆、双曲线和抛物线。
在平面直角坐标系中，椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，M、N是x轴正半轴上两点（M 在椭圆内），M（m,0），N（n,0）,过M的直线交椭圆于A、B两点，当x轴平分∠ANB时，mn=a2.
在平面直角坐标系中，椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，M、N是y轴正半轴上两点（M 在椭圆内），M（0,m），N（0,n）,过M的直线交椭圆于A、B两点，当y轴平分∠ANB时，mn=b2.
在平面直角坐标系中，双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)，M、N是x轴正半轴上两点，M（m,0），N（n,0）,m>a,过M的直线交双曲线于A、B两点，当x轴平分∠ANB时，mn=a2.
在平面直角坐标系中，双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)，M、N是y轴正半轴上两点，M（0,m），N（0,n）,过M的直线交双曲线于A、B两点.当y轴平分∠ANB（或其外角）时，mn=b2.
注:椭圆与双曲线的结论基本一致。
在平面直角坐标系中，抛物线y2=2px(p>0)，M、N是x轴上两点（M 在x轴正半轴），M（0,m），N（0,n）,过M的直线交抛物线于A、B两点，当x轴平分∠ANB时，m+n=0.
这些命题的证明与前面的关于圆的讨论类似。
此命题的逆命题也成立。
证明：以C为原点、CD所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆C的方程为：x2+y2=r2，设M（m，0），N（n，0）,A(x1,y1)，B(x2,y2).
设AB的方程为：y=k(x-m)
将y=k(x-m)代入圆C的方程，整理得：(1+k2)x2-2mk2x+(k2m2-r2)=0
由韦达定理得：x1+x2=2mk2/(1+k2)，x1x2=(k2m2-r2)/(1+k2)
CN为∠ANB的平分线，则有kAN+kBN=0，故有：y1/(x1-n)+y2/(x2-n)=0
将y1=k(x1-m)，y2=k(x2-m)代入上式，整理得：2x1x2-(m+n)( x1+x2)+2mn=0
代入韦达定理，整理，得：mn=r2.
当AB⊥x轴时，射线CD上任一异于M的点N均满足“CN为∠ANB的平分线”的要求，自然也存在满足题设要求的点N。
另：当M点位于圆外时，当CM和CN之积等于r2时，过点N垂直于CD的直线平分∠ANB.
命题1的结论还可以由圆推广到椭圆、双曲线和抛物线。
在平面直角坐标系中，椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，M、N是x轴正半轴上两点（M 在椭圆内），M（m,0），N（n,0）,过M的直线交椭圆于A、B两点，当x轴平分∠ANB时，mn=a2.
在平面直角坐标系中，椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，M、N是y轴正半轴上两点（M 在椭圆内），M（0,m），N（0,n）,过M的直线交椭圆于A、B两点，当y轴平分∠ANB时，mn=b2.
在平面直角坐标系中，双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)，M、N是x轴正半轴上两点，M（m,0），N（n,0）,m>a,过M的直线交双曲线于A、B两点，当x轴平分∠ANB时，mn=a2.
在平面直角坐标系中，双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)，M、N是y轴正半轴上两点，M（0,m），N（0,n）,过M的直线交双曲线于A、B两点.当y轴平分∠ANB（或其外角）时，mn=b2.
注:椭圆与双曲线的结论基本一致。
在平面直角坐标系中，抛物线y2=2px(p>0)，M、N是x轴上两点（M 在x轴正半轴），M（0,m），N（0,n）,过M的直线交抛物线于A、B两点，当x轴平分∠ANB时，m+n=0.
这些命题的证明与前面的关于圆的讨论类似。