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2n+1局n+1胜制的概率的两种不同计算方法

2024-04-07 21:28阅读：

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新教材普通高中教科书选择性必修第三册（人民教育出版社2020年3月第1版）第七章第4节即《7.4二项分布与超几何分布》中的例3（第75页）如下：
甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
教材中对于甲获胜的概率给出了两种不同的算法。
第一种算法，考虑甲获胜时比赛进行的局数，3局2胜制时比赛2局或3局，即甲以20或21获胜，5局3胜制时比赛3局或4局或5局，即甲以30或31或32获胜，这是多年来我们一直采用的计算甲获胜的概率的方法。
第二种算法，3局2胜时比赛进行3局，5局3胜制时比赛进行5局，考虑甲在3局或5局比赛中获胜的局数。3局2胜制时甲胜2局或3局，5局3
胜制时甲胜3局或4局或5局。这种计算甲获胜的概率的方法我过去没有考虑过，实际比赛也不是这样进行的。以3局2胜制为例，当比赛中甲连胜2局时，裁判会直接宣布甲获得胜利，不再进行第3局比赛。
教材中给出了两种不同的概率计算的方法，所得的结果是一样的。
上课时我问学生：用不同的方法计算所得的结果是一样的，这是偶然还是必然？若是必然，我们就要想办法弄清楚其中的道理。
两种不同的计算概率的方法所得结果相等很容易解释，以3局2胜制为例，当比赛中甲连胜2局时，第3局比赛中甲是否获胜都不会影响比赛中甲获胜的结果，也就是说，没有必要进行第3局比赛。
我们还可以用代数的方法来说明两种计算概率的结果是相等的。下面我们以5局3胜制为例来说明问题。
用X表示甲获胜时比赛的局数，那么，甲获胜的概率为：
2n+1局n+1胜制的概率的两种不同计算方法
变形中的第一步，将前两项裂解为两项，然后将系数相等的项合并同类项，得到上面的过程中的第4行，再将中间的项裂解为两项，又将系数相等的项合并同类项，就得到最后一行。在此过程中，前面的项保留下来，系数相等的两项合并同类项，合并同类项后这两项的次数会降1次。
这样的处理是否具有一般性？也就是说，在2n+1局n+1胜制（n∈N+）当中，当甲在每一局比赛中获胜的概率为p时（没有平局），两种不同的计算概率的方法所得的结果是不是相等？我们能不能用代数的方法来说明结果是相等的？从前面的代数变形中得出的规律是不是仍然有效？
用X表示甲获胜时比赛的局数，那么，甲获胜的概率为：
2n+1局n+1胜制的概率的两种不同计算方法
2n+1局n+1胜制的概率的两种不同计算方法

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