（一）现代经济学中的经验部分
关于经济学的经验研究的一个很重要的特点是，不同学者们关于同样问题的认识往往并不相同；如
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（一）现代经济学中的经验部分
关于经济学的经验研究的一个很重要的特点是，不同学者们关于同样问题的认识往往并不相同；如
地方债问题，有些学者认为很严重，有些学者则认为不是太大的问题；而关于中国的制造业，有些学者的观点很乐观，而有些学者的观点则较为悲观；关于人民币的汇率，有些人主张升值，而有些人则主张贬值；关于社会融资等问题，不同人的观点也是各执一词。经济学者们所以关于很多问题（或者说大部分问题）众说纷纭的原因自然较为复杂，大概有以下两点：首先，不同人的知识、经验的广度和精细度不同；有些学者的知识结构较为偏重理论一些，因而，他们懂的具体的经验其实不多，而有些学者的知识结构集中在经验方面，因而，他们对具体的经验懂得比前者多不少，因而，对很多问题的判断也更为准确一些；同时，即使对两个都主要以经验研究的学者而言，由于经验、知识、能力上存在的差异，导致他们的思想在数量和质量两方面也有较大的差距，因而，能力强的个体的判断会更为客观和准确一些。其次，即使对于两个知识、经验的容量大体相当的学者来说，他们关注的具体问题也是不同的，譬如，其中的一个人可能更为关注股市、旅游业，而另一个人则对国际贸易、快递产业、娱乐业更为关心；即他们专精的研究对象并不相同，这也导致他们对很多问题的判断会不太一样。
在经济学的经验研究领域中，著名经济学家弗里德曼自然是一个很好的代表，在他与施瓦茨合著的巨著《美国货币史1867-1960》中，他们搜集、整理和分析了极多的经济事实，我们可以引用他的这部巨著里的一段话：“从1867年1月到1879年2月，货币存量的名义价值每年增长1.3%，而物价指数以每年5.4%的速度下降，这一对比结果可能部分反映了我们估算中的统计缺陷。我们的货币数据由于没有考虑到黄金的市场价值超过名义价值，从而夸大了货币存量的增长。但是这最多将货币存量的增幅从每年1.3%降到1.1%，对于缩小货币与价格之间的差别作用甚微。我们假定1.1%这一较低的增长率是这一阶段货币存量的真实增长率。”[1]
（二）现代经济学中的数学部分
众所周知，数学对现代经济学中的宏观经济学、微观经济学、国际经济学等各个领域都产生了全面、深刻而且强烈的影响；为了较好地体会数学对现代经济学的复杂影响，下面我们想讨论一下经济学中的一些模型、理论，借此讨论一下经济模型与数学之间的内在关系。
1微观经济学中的技术部分
如我们所熟知，现代微观经济学已经形成了枝繁叶茂的理论体系；其中，技术问题即得到了比较系统、详细的分析，在这里，我们就技术部分的几个概念做些考察。
(a)正则技术。首先，我们想简单地讨论一类常见的技术——正则技术；它的拓扑定义是指：对所有y0而言，V(y)是一个非空的闭集，在此，V(y)代表的是投入要求集，即至少可以生产y单位产出的所有投入束的集合。
假定V(y)是闭集的一个涵义如下：假定我们有一序列投入束xi，它们每个都能生产y单位产出，并且这一序列收敛于投入束x0，也就是说，序列中的投入束任意靠近x0。如果 V(y)是个闭集，那么这就限定投入束x0必须能生产y单位产出。容易理解，我们所熟悉的大部分技术都是正则技术。
(b）技术替代率(TRS)问题。技术替代率也是微观经济学中关于技术的分析中的一个常见概念，它是由如下的问题所催生的：假定我们有某项可由一光滑的生产函数来概括的技术，并且我们正在一特定的点y*=f(x_1^*,x_2^*)上进行生产，假设我们想要增加投入1 的用量，同时减少投入2的用量，以便保持不变的产出水平，那么我们怎样才可以决定这两种要素间的技术替代比率呢？
在明确了这一概念的基本内涵之后，现在我们即来求解它。让x2(x1)成为告诉我们如果我们正使用x1单位的其他投入，需要多少单位的x2来生产y 单位产出的隐函数。那么根据定义，函数x2(x1)必须满足恒等式
f(x1,x2(x1))≡ y
此时，我们可求出∂x2(x1*)/∂x1的表达式。对上面的恒等式进行求导，我们可得到：
或
这就给出了技术替代率一个明确的表达式。
下面我们求解一个典型例子：柯布-道格拉斯技术的技术替代率(TRS)
给定f(x1,x2)=x_1^a x_2^(1-a)，求偏导得到
由此，可以得出
这自然是一个典型的求解技术替代率的问题，从这个问题中，我们能够感受到，求解这一类问题有着非常清晰的方法；与此同时，技术替代率问题本身也有着非常清楚的经济和数学内涵。
(c)规模报酬和规模弹性问题。规模报酬是一个我们都很熟悉的概念，用严格的数学语言来说，一项技术表现出规模报酬不变，是指如果下面的任何一个条件得到满足：
(1)对所有t 0，y在Y中意味着ty在Y中，
(2)x在V(y)中意味着tx在V(ty)中，对所有y0，
(3)f(tx)=tf(x)，对所有t0；亦即，生产函数f(x)是一次齐性的。
对规模报酬不变问题，在上面所以给出了三个相互联系又有所差异的定义，是因为，规模报酬不变通常是就技术所做出的一个合理的假定；不过，也有一些它不是一个似乎合理的假定的情况。
由于规模报酬就其本质而言是全域的，也可能出现的是一项技术对x的某些值表现出规模报酬递增，而对x的另一些值则表现出规模报酬递减；因此许多情况下，对规模报酬的局部度量是有用的，而规模弹性就是局部度量规模报酬变化的一个概念，它度量的是由于所有投入要素以相同的比例变化时—— 也就是由于生产规模的变化，产出的百分比变动除以生产规模的百分比变动。
我们用y=f(x)表示生产函数，令t是一个正的纯量，考虑函数y(t)=f(tx)。 如果t=1，我们有现在的生产规模；如果t>1，我们此时正向上调整所有的投入；如果t<1，我们此时正向下调整所有的投入。
现在，我们引入规模弹性的计算公式
e(x)=((dy(t))/(y(t)))/(dt/t)，
e(x)=(dy(t))/dt t/(y(t))|t=1=(df(tx))/dt
注意，我们必须求出这一表达式在t=1时的值，来计算点x处的规模弹性。随着e(x)大于、等于、小于1，我们说该技术表现出规模报酬的局部递增、不变或递减。
例子：规模报酬、规模弹性和道格拉斯技术
假定y=x_1^a x_2^b，那么f(tx1,tx2)=(tx1)a(tx2)b=ta+bx_1^a x_2^b=ta+bf(x1,x2)。 因此当且仅当，a+b=1时，f(tx1,tx2)=tf(x1,x2)，此时规模报酬不变。类似地，a+b>1意味着规模报酬递增，a+b<1意味着规模报酬递减。
事实上，柯布-道格拉斯技术的规模弹性也正是a+b。我们运用定义
在t=1计算这个导数的值并除以f(x1,x2)= x_1^a x_2^b就可得出这一结果。[4]
(d)一些讨论。通过上述微观经济学中关于技术的分析，我们能体会其中的很多概念、思想、方法都有着清晰的经济学内涵，并且也都有着很清楚的数学计算方法；总之，微观经济学中对技术的讨论是很系统和严格的，这些不同的内容之间都有着密切的内在联系，形成了一个协调、有机的整体，并不是互不关联的知识碎片。很明显的是，技术只是微观经济学的一小部分，而如果我们想在将来做出好的创新的话，则需要在微观经济学的各个方面都打下坚实的基础，需要系统、深入地吸收其中大量的思想、概念、方法等，因为，在其中包含了很多有用的小零件，而这些小零件对于以后的重要创新来说往往是必需的要素。
2萨缪尔森关于公共物品的一般均衡模型及其他理论
如我们所熟知，萨缪尔森曾建立了很多重要的经济模型；在这里，我们首先简要讨论一下他在公共物品这一领域所建立的一般均衡模型。
这一清晰、宽广的模型有如下的5个基本假设：
(1)社会上只有两个消费者：消费者A和消费者B；
(2)社会产品可以被严格地划分为私人产品和公共产品，其中，私人产品的总量为X1，消费者A和B分别消费的数量为X_1^1和X_1^2，它们满足数量关系X1= X_1^1+X_1^2；公共产品的总量为X2，消费者A消费的数量为X_2^1，消费者B消费的数量为X_2^2，且满足数量关系X2= X_2^1+X_2^2 ；
(3)两个消费者的效用函数分别为uA(X_1^1, X_2^1)和uB(X_1^2,X_2^2);
(4)存在一个生产函数（生产可能性曲线/成本函数），设其为F(X1,X2)，即X1，X2需要满足此一生产条件的内在约束;
(5)存在一个社会福利函数，用于评价社会效用、消费的大小，设其为U(uA,uB).
同时，我们需补充两个概念：边际转换率和边际替代率；前者表示在社会资源既定的条件下，增加一单位商品1而所必须放弃的商品2的产量，产品X1对产品X2的边际转换率通常表示为MRT1,2，计算公式为MRT1,2=-(dx_2)/(dx_1 )；后者表示在保持总效用水平不变的情况下，消费者增加一单位商品1的消费而必须放弃的商品2 的消费数量，产品X1对产品X2的边际替代率通常表示为MRS1,2，计算公式为MRS1,2=(MU_2)/(MU_1 )。
在有了上述的理论假定和概念准备以后，我们可以着手推导萨缪尔森关于公共产品的一般均衡模型；此一模型的目标函数是最大化社会福利函数U(uA,uB)，约束条件是成本函数（生产函数/生产可能性曲线），即F(X1,X2)=C。因此，纯公共产品的供给需要解决以下问题：
max
{ X_1^1, X_1^2,X2}
这自然是一个典型的条件极值问题，而解决这一类问题已有非常成熟的数学方法，即拉格朗日乘数法。在这个问题中，我们首先构造相应的拉格朗日函数为 L= U(uA,uB)- λ(F(X1,X2)-C)；其后，我们需要求出以下的四个偏导数：
∂L/(∂X_1^1 )=0
∂L/(∂X_1^2 )=0
∂L/(∂X_2 ) =0
∂L/∂λ=0
由 (2) 和(3) 可得:
{█(∂U/(∂U_A )=λ ∂F/(∂X_1 )/MU_1^A@∂U/(∂U_B )=λ ∂F/(∂X_1 )/MU_1^B )┤
整理式(7)，可得如下等式：(MU_2^A)/(MU_1^A ) +(MU_2^B)/(MU_1^B )-=F_2/F_1
〖
式(9)亦即 :
式(9)表明，所有个体消费公共产品和私人产品的边际替代率之和等于生产公共产品和私人产品的边际转换率。
萨缪尔森其他的理论贡献还包括赫克歇尔-俄林-萨缪尔森定理，该定理认为只要存在产品价格的差异，两国就会继续开展贸易，但最终的结果是两国两种产品的价格完全相等，而生产要素的价格也完全相等，此时如果其他条件不变，贸易也就停止；因此，此定理又被称为“要素价格均等化定理”。此外，还有著名的巴拉萨- 萨缪尔森效应(Balassa-Samuelson Hypothesis)，它是研究经济增长与实际汇率关系中最有影响力的理论，也是当代国际经济学中一个重要的基础性命题。
3一般均衡模型及有关分析
在微观经济学中，一般均衡模型曾吸引了大量的关注，并且这一理论经过了学者们的一再完善以后已经具备了较为成熟的形式。下面我们想对它做些简单的介绍，并做些有关的分析。
首先，一般均衡模型中包含两个元素：
(1)一个价格函数P，它以一组商品为自变量，转变为反映它们的价格的一组正实数，通常价格函数是线性的。
这些元素需要满足下列的要求：
每个主体对一组商品的偏好程度可以通过价格函数反映出来，即
∀i∈ 1,2,•••,n ，如果P(Y)≤ P(Xi)，则Y〖 〗_iXi
通常，有一个初始禀赋矩阵E:对∀i∈ 1,2,••• ,n, Ei是对每个主体的初始禀赋。
在这些假定下，一般均衡模型需满足下述3个条件：
阿罗-德布鲁模型是指在满足下述两个条件的每一个交换经济中，竞争性均衡都是存在的：
(1)所有主体都有严格的凸偏好；
(2)所有商品都是可欲求的，这意味着，如果一个商品j是免费供给的，即(Pj=0)，则所有的主体都想从那个商品中得到尽可能多得数量。
这一著名定理的证明可分解为以下的5个步骤：
A
B
z(p)= (p,p.Ei)-Ei
而我们知道当主体有严格的凸偏好时，马歇尔需求函数是连续的，因而，z是价格P的连续函数
C
gi (p)=(p_i+max(0,z_i (p)))/(1+∑_(j=1)^k?〖max(0,〗,z_i (p)))
这是一个连续函数，因此，依据Brower不动点定理，可得存在一个价格向量p*，满足，p*=g(p*)
因此，p_i^* =(p_i+max(0,z_i (p)))/(1+∑_(j=1)^k?〖max(0,〗,z_i (p))),
D
zj (p*)≤ 0,
E
pj>0,
通过瓦尔拉斯法则，p*• z(p*)=0。但是，这可推出上述的不等式必须是一等式，即
zj(p*)=0,
这自然意味着p*是一个竞争均衡的价格向量。
从上述分析中，我们可以看出一般均衡模型有着严格的证明，而且非常的优美，但是这一模型有现实的实用价值吗？容易看出，这一模型并没有得出多少定量化的结果，只是一个定性的结论；因而，到目前为止，这一模型并没有找到多少应用的场合。总之，这一模型的主要价值自然是理论性的，即论证了自由交换经济的合理性。
另外一个有关的问题是，一般均衡模型有无内在的缺陷？对此，学者们已经提出了许多质疑；在这里，我们认为，其中的一个主要缺陷在于它是一个静态模型，而非动态模型，因而导致了两个方面的问题：首先，在上述模型中，一个重要的假定是初始禀赋Ei是给定而且固定不变的，但在现实生活中，经济活动自然是在不断进行和发展的，一个适当的例子是全球每年的GDP 都在不断增长，这样看来Ei 绝无可能是个固定值；其次，就结论来说，当Ei不断改变时，我们大概难以得到一个均衡的结果，而只能得到一个介于均衡与混乱的中间状态，或者说，我们很难得到一个经济均衡，而只能得到一个某种程度意义上的秩序（对这个定性结论的证明大概需要用到动力系统领域的方法）。总之，一般均衡模型在条件假定和基本结论两个方面大概都有些问题，这些都值得我们的深思。
4索罗模型的一些分析
上面，我们考察了微观经济学中的3个模型，现在，我们想考察宏观经济学中的一个重要模型，即索罗模型；如所周知，索罗模型是经济增长理论中的主要模型，也是宏观经济学中的一个基础性模型；在该模型中，主要关注四个基本的变量：产出Y，资本K，劳动L 和技术A，一个经济的总量生产函数可以写为：
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))
这一模型的假设是：
5)市场是完全竞争的。
下面我们想分析一下该模型的基本内涵，首先，该模型整体考察了经济增长的动态特征，即经济增长总会趋向稳态。为此，我们以每单位有效劳动资本存量的变化为切入点进行考察；如所周知，储蓄率决定一个经济资本存量的变化或增长，索罗模型假设储蓄率是外生决定的。假设所有的储蓄都用于投资，就有：
I=S=sY• Y(t)
首先，我们需要考虑资本折旧问题；此时，每年新增资本扣除折旧后为净资本增长：(
其次，我们需要考察进一步引入人口增长和技术进步以后的资本增长问题；在此，我们定义有效劳动的人均资本量为：
k(t)=K(t)/A(t)L(t)
对上式求全微分，得到有效劳动人均资本的增长，即：
(k(t)) =(k(t)) /(A(t)L(t)) –(K(t))/([A〖(t)L(t)]〗^2 )[A(t)(L(t)) +(A(t)) L(t)]
=(k(t)) /(A(t)L(t))- (K(t))/A(t)L(t)
=(S_Y•Y(t)-δ K(t) )/(A(t)L(t))-kρ -kg
=sYf(k)-(δ+ρ+g)k
即( k) =sYf(k)-(δ+ρ+g)k
方程(7)是索罗模型的关键方程，该方程表明，每单位有效劳动的平均资本存量的变动是两项之差：第一项sYf(k)是每单位有效劳动平均实际投资：每单位有效劳动的平均产量为f(k)，该产量中用于投资的比例为sY。 第二项(δ+ρ+g)k是持平投资，即在资本折旧、人口增长和技术进步的条件下，为了保持k在其现有水平上所必须的投资量。这一方程表明人均资本增长有下述3种不同的情形：
sYf(k)>(δ+ρ+g)k
此时，k上升，意味着物质资本的增长快于人口和技术增长的总体效应
sYf(k)<(δ+ρ+g)k
sYf(k)=(δ+ρ+g) k
此时，k不变，意味着物质资本的增长等于人口和技术增长的总体效应
由上述3种情形及图像分析，会发现到：当k较小时，实际投资会高于持平投资，因而k上升；而当k较大时，实际投资会低于持平投资，因而k下降；总之，k的变化最终都会收敛到当实际投资等于持平投资的情形，此时有
sYf(ke(t))=(δ+ρ +g)ke(t)
(II)稳态时的总资本增长率、总产出增长率和人均产出增长率
在上文中，我们得到了经济增长会趋于稳态的基本结论，下面我们想进一步分析一下经济处于稳态时的总资本增长率、总产出增长率和人均产出增长率的变化情况：
(a)总资本增长率。由k(t)=
上式可改写为：
即在一个经济社会里，任何时刻的总资本增长率都等于有效人均资本增长率与有效劳动增长率之和。
因此，当经济运行进入稳态路径(
（b）总产出增长率。令
将
代入上式，有：
即
所以有：
其中
因此，当经济运行进入稳态路径(
（c）人均产出增长率。最后，我们也需要分析一下平衡增长路径上人均产出v(t)=Y(t)/L(t)（即劳动生产率）的增长情况。
因为
因此，当经济运行进入稳态路径(
综合上文的系统、复杂分析，我们可以认识到，由于经济增长会趋于稳态，此时每个工人平均产量的增长率仅仅取决于技术进步率（由(c)部分的分析可知），因而，索罗模型得出的一个基本结论即是：长期人均产出增长的唯一来源是技术进步。同时，由(b)部分的分析可知，从长期看，经济增长率等于人口增长率与人均产出增长率之和，而人均产出增产率仅由技术进步决定，因此，我们可以得到一个总的结论：技术进步是决定长期经济增长的主要因素。
从上文中，我们可以看出，索罗建立了一个宽广、优美的经济增长模型，那么这一模型是否具有现实合理性呢？首先，我们需要明确的是，由于在索罗模型里，对资本、劳动、产出、人口等因素都提出了一些量化的分析公式，因而，它能量化不同因素对经济增长的影响效应，而不只是一些定性的认识；因而，以各种量化数据为基础，关于检验索罗模型与经验数据的符合程度，在此方面已有过不少研究；其中，根据丹尼森的研究，1909-1957 年间美国的实际产出的年增长率、工时数的增长率和资本存量的增长率数据的显著特征是长期内的稳定性；在上文第(II) 小部分中，从索罗模型中得出的基本结论是资本增长率、产出增长率等在稳态时都为常数，因此，索罗模型与美国经济史实比较吻合。在此期间，美国的人口增长率为：ρ=0.013，总产出、总资本的增长率则分别为0.029 和0.024，是基本一致的（虽然在增长理论中，0.5 个百分比是个很大的差异）。总之，很多经验研究表明索罗模型部分程度上解释了实际的经济事实。
当然，必须说明的是，索罗模型自然是一个高度简化的理论，因而，这一模型忽视了现实世界的很多重要特征：首先，它使用了一个只有三种投入品的生产函数；其次，在该模型中，储蓄率、折旧率、人口增长率和技术进步率都是不变量；另外还有一些其他的因素也被索罗模型所简化了，因而，它得出了一些比较错误乃至很荒谬的结论；总之，这一模型所具有的只是部分的解释力。
最后，我们也需要问一个很自然的问题：为何索罗能构建这样重要的模型呢？其中的原因自然是很复杂的，首先，最基本的原因是索罗在经济理论和数学两个方面都有深厚的功底：一方面，索罗无疑反复考虑过技术、资本、劳动、资本折旧、人均资本、总量生产、储蓄率、增长率等复杂的经济问题以及它们之间的内在联系，另一方面，索罗的数学功底自然也是足够深厚的，因而，他在进行模型中的复杂推导时才能游刃有余、驾轻就熟；总之，一位经济学者必须同时具备上述两个基本的条件，才能建立一些重要的经济模型。
如所周知，社会选择理论对投票和社会福利等问题作了深入的研究，而这一理论运用的数学工具主要是数理逻辑；下面，我们对这一理论做些初步的介绍和若干分析。
(I)二元关系。
在社会选择理论中，二元关系是一个最为基本的概念；它的定义是，设xRy表示x与y之间的一个二元关系，例如“x至少与y一样好”或“x大于y'；如果这一关系不成立，例如若“x 没有至少与y 一样好”或'x 不大于y'，则记作~(xRy)。
在各种问题中，二元关系的种类自然是非常多样的，它们可能满足或不满足一些性质，如：
(1)自反性: ∀ x∈S:xRx
(2)传递性: ∀x ,y,z ∈S:(xRy & yRz)
(3)对称性: ∀ x,y∈ S:xRy → yRx
(4)完全性，反对称性和非对称性
对这个符号性的定义，我们可以举一些适当的例子；例如，考虑将关系“至少一样快”用于比较已测得成绩的10名100米自由泳的运动员的集合。此关系是自反的，因为任何一名运动员的成绩都和自身一样快；它也是传递的，因为运动员A与运动员B至少一样快，而运动员B又与运动员C至少一样快，则运动员A与运动员C至少一样快；但是，它并不是对称的，因为运动员A与运动员B至少一样快并不能代表运动员B与运动员A至少一样快。
现在我们来探讨一下社会选择理论的丰富内涵。首先，对应于“弱偏好”R（“至少一样好”）的二元关系，我们可以定义“严格偏好”关系P和“无差异“关系I
定义1.1 xPy ↔ [xRy & ~(yRx)]
定义1.2 xIy ↔ [xRy &
给定一个集合，如果其中存在不被这个集合中其他任何元素所控制的元素，则称为是该集合中相对于所讨论的二元关系的极大元。
定义1.3 S中的元素x是S的相对于二元关系R的极大元当且仅当
~[∃ y: (y ∈ S &
除了极大元这类元素外，还存在要求更强的元素“最好元”；它的相应定义是，元素x被称为是S的“最好”(在大小关系中是“最大”）元，若相应于有关的偏好关系R，它与S 中每一其他元素至少一样好（一样大）
定义1.4
∀ y: (y ∈ S→ xRy)
为了明确上述两个概念之间的区别，我们给出两个注释。首先，最好元一定是极大元，但反之不然。若对S中所有的y有xRy，则显然在S中不存在y使yPx。
另一方面，若xRy和yRx都不成立，则x和y两者都是集合{x,y}的极大元，但都不是最好元。由此，M(S,R) C(S,R)
其次，C(S,R)或M(S,R)可能是空集。例如，当xPy,yPz和zPx时，不存在最好元，因为其中没有任何一个元素不差于其他元素。若传递性成立，当集合是无限时，M(S,R)可能是空的。[6]例如，x2Px1,x3Px2,••• , xnPxn-1,•••。 另一方面，即使具有传递性和有限性，
C(S,R)也可能是空的。例如， ~(xRy)和 ~(yRx)，x和y都是{x,y}的极大集的元素，但都不是{x,y}的选择集的元素。
在数理逻辑中，序的种类是非常多的，有偏序、拟序、序，严格偏序等；在此，我们把满足自反性和传递性的关系叫做拟序。下面，我们考察拟序的若干性质。
引理1.a
证明
拟序有下列两个基本的结果：
引理1.b
证明
容易看出的是，这一引理是数学中著名的Zorn引理的简化情形。
引理1.c
证明
xPy →xRy & ~ (yRx)
→{x}=C({x,y},R)。
{x}=C({x,y},R) → xRy & ~(yRx) →xPy。
对于某些情况，了解极大集和选择集之间的关系是重要的。我们已经知道C(S,R) M(S,R)，可以进一步得到如下的结果：
引理1.d 对于一拟序R，若C(S,R)非空，则C(S,R)=M(S,R)
证明
因xRz，
由引理1.a和x ∈C(S,R)，
→∀ y:[y ∈ S→ zRy] →z ∈ C(S,R)。
因此，M(S,R) C(S,R)。从已知C(S,R) M(S,R)，即得C(S,R)=M(S,R)
从上面的讨论中，我们能意识到，拟序和二元关系的定义虽然很简单，但通过各种推导，却可以得出非常丰富的性质。[7]
在上面已经定义了极大集和选择集，同时，我们还可以引入另一个集合：次优集L(S,R).
定义1.5
L(S,R)=M(S,R)-C(S,R)
由引理1.d可知，L(S,R)仅有如下的两种情形：
1
2
因而，L(S,R)似乎是一个很平凡的集合；其实，情况并非如此，原因在于C(S,R)非空与否在很多情况下很难判定，例如我们有如下的定理：
引理1.e
∀x,y :[x,y∈ M(S,R) →xIy]↔ [C(S,R)=M(S,R)]。
此引理表明判断C(S,R)=M(S,R)是否成立，即C(S,R)是否非空，很多时候并不容易。因而，我们认为引入这一集合是有意义的；而且，我们可以展开对这一集合的系统分析。
现在我们讨论一下这一集合的基本性质。在此，我们考虑一个具体的情形，即年轻人的结婚问题；考虑有符合其他结婚条件的三个个人a,b,c，对这三个人来说，需要考察两个主要的条件：
1年龄， 如果两个人的年龄差距在1岁之内，可以认为“至少一样好”；
2居住地，在此，本地的个人“好”于异地的个人，而两个异地的个人或两个本地的个人可以认为“至少一样好”；
有了上述衡量标准之后，我们考虑下述两种情形：
情况(1)
情况(2)
总之，本部分我们对社会选择理论进行了一些很简单的讨论，从这些概念、方法中，我们大概能初步地体会到这类问题的特定风格；显然，社会选择问题的出发点是很清晰的，即考虑对各种可选择的元素进行排序，为此需要引入一些概念，建立一些分析框架，并且得到一些重要的结论；但是，多元偏好的渗入以及与其他很多问题的内在联系使得整个问题变得复杂了许多，同时，也相应地使得社会选择理论具有了丰富的内涵。
6牧童模型和进一步的考察
(a)模型的基本内涵。该模型的假设是：一个牧场有n个牧民，他们共同拥有一片草地，并且每个牧民都有在草地上放牧的自由。每年春天，牧民们都要决定饲养多少只羊。我们记xi 为第i 个牧民饲养的羊数，那么xi∈[0,+∞)(i=1,2,•••, n)。设V 表示每只羊的平均价值，显然我们可以将V 看做总羊数
X=∑_(i=1)^nxi
的函数，即V=V(X)。因为一只羊至少需要一定数量的草才不至于饿死，所以这片草地上所能饲养羊的数目是有限的。设Xmax为这个最大数量，显然，当X0;而当X Xmax时，可以认为V(X)=0。与此同时，容易明白的是，随着羊的总数的不断增加，羊的价值即会不断下降，并且总数增加得越快，价值也下降得越快；因此，在该模型中可以假定
在这个模型中，我们认为每个牧民都会根据自己的意愿选择饲养的数目以最大化自己的利润。那么第i个牧民将得到的利润为
Pi(x1,x2•••,xn)=xiV(X)-xic=xiV(∑_(i=1)^n?x_i )-xic,
于是他为了取得最大利润，羊的数目必须满足下面的一阶最优化条件
(*)
从上述的一阶最优化条件还可以看出，第i个牧民饲养的最优饲养量xi是受其他牧民的饲养数目影响的，这自然也符合实际的情况；因此，可以认为这样的xi 是xj(j=1,2,•••,n, j≠ i)的函数，即
xi=xi(x1,••• ,xi-1,xi+1,•••,xn),
通常也称它为反应函数。那么在一阶最优化条件中对xj(j≠ i)求导得
V＇ (X)(
因此
这说明了第i个牧民的最优饲养量xi会随着其他牧民饲养的数目的增加而减少。
很自然的，解方程组(*)就可得到每个牧民的最优饲养量x_i^*,i=1,2,••• ,n。需要注意的是，以上的计算都是关于xi来考虑的，也就是说，这样得到的最优数目x_i^*是在以下情况下得到的：每个牧民在决定增加饲养量时尽管考虑了对现有羊的价值的负效应，但他考虑的只是对自己的羊的影响，而不是对所有羊的总体影响。因此这样得到的个人最优饲养量的总和
X*=∑_(i=1)^n x_i^*
并不一定是整个牧场的总体最优饲养量。事实上，整个牧场获取的最大利润是以下函数
XV(X)-Xc
的最大值，它的一阶最优化条件为
V(X)+XV＇ (X)-c=0
设X**为使整个牧场获取最大利润所饲养的羊的数目，即整个牧场的最优饲养量，则
V(X**)+X**V＇ (X**)-c=0
而我们也可考虑每个牧民的最优饲养量的总和，此时，将(*)中的n个式子相加，得到
V(X*)+X^*/nV* (X*)-c=0
将以上两个式子相比较，利用V(X)和V＇(X)的单调减少性质即可得到
X*>X**
通过上述的模型推导，我们可以得出一些进一步的结论。如果我们定量地比较X*和X**的差异，可以通过将式(1)和式(2)相减，得到
V(X**)-V(X*)+ X**V＇ (X**)-X^*/n V＇ (X*)=0
此时，如果我们假定n足够大，则可以近似地得到
V(X*)-V(X**)=X**V ＇(X**)
使用微分中值定理，可得到
此时，考虑函数V(X)的性质（值得注意的是，在不同的问题中，V(X)的具体表达式是不同的；因而，它需要依据特定的问题来分别加以确定），即可粗略地得出X* 和X** 之间的定量关系。
对消费的考察在经济学中始终占据了重要的位置，其中，凯恩斯著名的消费函数理论是他在《就业、利息和货币通论》中提出的；对消费的考察在经济学中始终占据了重要的位置，其中，凯恩斯著名的消费函数理论是他在《就业、利息和货币通论》中提出的；他认为，总消费是总收入的函数，这一观点用线性函数来表示，即：C(t)=a+bY(t),
作为另一位研究消费函数理论的学者，弗里德曼则驳斥了凯恩斯的边际消费递减率；他认为人的消费欲望是无限的，原有的满足后，新的欲望随即产生。在消费函数领域，弗里德曼还提出了永久（恒久）收入假说这一观点，在这一假说中，他区分了恒久性收入和暂时收入，他认为消费者的消费支出主要由恒久性收入决定，即只有恒常收入才会影响恒常消费，而暂时性收入则会影响暂时消费。依据这一理论，政府想通过增减税收来影响总需求的政策是无法奏效的，因为人们因减税而增加的收入，只是暂时性收入，并不会立即用于消费。容易理解，弗里德曼的这些看法自然也有部分的合理性。
9总结。
一个自然的问题是：为何绝大部分的经济模型3、5年之后就没人再读（绝大部分的经济理论论文也是如此，5年以后就没有人会再读了，更不太可能100年以后还会被人继续不断地阅读），而上述好的经济模型却能经得起几十年的检验呢？其中的原因是既复杂而又简单的。主要原因在于上述的模型大部分都是由杰出的经济学家所创立的，这些杰出的经济学家的经济理论功底和数学功底都在普通的经济学者之上，因而，这些模型才具备长远的生命力，即杰出经济学家的深厚功底是这些经济模型所以具备生命力的最主要和本质性的原因，因而，上述现象其实是很容易明白的。
我们还需要问另一个重要的问题：这些大量的经济模型有无实际价值呢？这自然是一个很复杂因而很难回答的问题。其中的一个回答是，如果模型只给出了一些定性的结果，而没有定量的分析，那么，它大概不会有很大的应用潜力，如上文所分析的一般均衡模型、牧童模型等；另一个部分回答是，由于经济模型的范围非常广大，因而，其中的一部分大概有一定的现实价值。当然，有无实际价值只是衡量经济模型的一个方面，我们也需要正视这些模型在其他方面的价值，如：阐述社会运行的内在原理，系统化人们对经济活动的认知等。
对经济学来说，基础理论是难以回避的根本性问题，而对基础理论做出深刻贡献的主要是一些伟大的经济学家；下面，我们简要地介绍几位经济学家的若干观点、研究方法以及研究风格。
通过这段关于报酬递减现象的细致、富于生活经验的分析，我们能了解到，马歇尔的主要目的是构建一个系统、条理的理论体系；为此，一方面，他创造性地引入了许多现代经济学的基本概念，而且他也善于运用这些经济学概念来分析很多问题；另一方面，他也熟悉很多的生活经验，喜爱用现实生活中的生动例子来说明一些经济学的抽象原理（如此处的缝纫机这一例子）；同时，在此书的其他部分，马歇尔也很擅长运用数量性的阐述来分析很多经济事实；总之，这三个方面都是马歇尔一生著作的重要特征。
2奈特。如所周知，奈特是自由经济的积极提倡者，他一生讨论了很多经济学的核心问题，如利润、不确定性、资本品、厂商等；总的来说，他的主要观点是由于市场和经济进步的过程存在很多类型的不确定性，因而，自由经济比市场管制更有效率。奈特的一生著述丰富，也产生了广泛、深远的影响。
上面的这段话很明显地体现出了奈特著作的总体风格，即它们讨论的都是一些很抽象的问题，但是其中使用的词汇，如“产品数量”、“物品价格”、“生产者的供给量”等又有比较实用的特点，这些词汇与宏观经济学、微观经济学中的理论化术语不太相同；总之，奈特的思想风格与大学的商学院中的实用商业教育有着一定的相似性。
为了更好地理解哈耶克的学术风格，我们可以参考他的一部晚期著作，在这部著作中，他有如下的一段话：“人们为何接受任何具体的新习俗或新发明，只是件次要的事。更为重要的是，使一种习惯或发明得到维系，需要两个明确的前提。首先，必须存在着能够使某些行为方式代代相传的条件，而这些行为方式的好处未必已经得到人们的理解或赞赏。其二，保留这些习惯的群体必须是取得了明确的优势，使他们能够比另一些群体更为迅速地扩张，并最终胜过（或同化）那些不具备类似习惯的群体。”[12]从中，我们可以看出哈耶克所使用的学术术语的经济学的属性其实并不是很强，而是融入了一些政治学、哲学、社会学等学科的词汇（当然，哈耶克自然也不是完全不能使用经济学的许多术语，他的著作中也包含很多经济学词汇，因而与政治学家等学者们的著作仍有着较大的不同），这一现象的产生自然与他的知识结构有着巨大的关系，即他代表的是一种将经济学与政治学、思想史、法理学等学科杂交融合而做总体研究的方式，或者说，是一种广义的经济学研究。
下面，我们想阐释一下熊彼特所分析的一个具体问题，即经济周期现象及它的成因，对此，他写道：“所谓周期性可能有两种含义。第一，仅指每一次繁荣跟上一次萧条，而每一次萧条又跟上一次繁荣的事实。但这一点是我的理论可以解释的。或者第二，可能指周期的实际长度。但是，这一点没有理论可以从数量上来解释，因为它明显地要依靠个别情况的具体数据。不过我的理论仍然给予一种一般性的回答：经过一段时间，直到新企业的产品能够出现在市场之前，繁荣结束，萧条开始。当创新的吸收过程结束时，新的繁荣就开始，而萧条也就结束。”[13]对于经济周期的成因，他进一步分析到：“逆运动不仅阻碍发展，而且还使发展归于终结。大量的价值被消灭；经济体系中首脑人物计划的根本条件和前提被改变。这个经济体系，在其重新向前发展之前，需要重整旗鼓；其价值体系也需要重新组织。并且重新开始的发展是一个新的过程，而不简单是旧过程的继续。”“新的发展过程产生于不同的情况，并且部分地产生于不同人的行动；许多旧的价值与期望被永远埋葬，而完全新型的东西出现了。”[14]从这段分析中，我们能够看出，熊彼特是在用自己的创新理论来解释经济周期的成因，他认为经济的发展有赖于全新的技术、产品等，而不是一个简单的渐变过程。今天，当人们提到熊彼特时，最常提及的就是“创新”和“企业家精神”两件事，但如果仔细阅读熊彼特的原著，我们即能发现，熊彼特的相关论述要复杂、深刻、丰富得多，他其实用“创新”系统地解释了很多经济学的基本现象，如利润、资本、信贷、利息和经济周期等（正如《经济发展理论》的副标题所展示的）。
如果我们整体地考察一下上述的几位重要的经济学家，容易看出的是，他们其实都非常关注利润、资本、利息、经济周期、需求、价格等问题，但对于这些事物，他们的分析视角是很不相同的：马歇尔代表了由斯密、李嘉图和密尔等发展而来的正统经济学传统，他的这些分析比较规范化、学术化，奈特的分析则以不确定性和风险为支撑点，阐述了上述事实的成因、本质等，哈耶克则是以奥地利经济学派的主观价值为出发点考察了这些基本问题，而熊彼特则是以企业家精神和创新为基础，系统分析、论述了上述事物的成因、本质、基本内涵、内在关系等。也就是说，这些经济学家们其实都很关心一些最基本、主要的经济学概念和事物，但他们的分析角度和思想体系则很不相同，导致他们对这些基本事物的理解也有很大差异，这自然是一个有趣而又重要的基本事实。
在这里，我们可以选摘他在《经济史中的结构与变迁》（1981）中的一段话：“在西欧，人口增长而总收益下降在12世纪就已出现。接着，相关的要素稀缺性发生了变化：劳动的价值下降，而土地的价值上升了。土地价值的上升导致人们为形成排他性的所有制和可转让性的权力而努力。如果每个居民都有使用庄园内公有土地的同等权力，那么，庄园内部的公有土地就会被过度耕种。对这种耕种方式的反应体现在庄园规定的惯例中，庄园惯例限制了对共有土地的使用。限制一个家庭在公有土地上放牧家畜数量的节制性协议成为惯例。在13世纪的英格兰，土地法的广泛发展，圈地运动的开始，终致土地让渡成为可能。在勃艮第、香槟和法兰西也出现了类似的发展。土地价值的上升更加激发人们去变更产权，使得现在日益稀缺的资源能得到有效的利用。”[15]在这段分析中，诺斯论述了土地产权在近代西欧出现的过程，他的论述将具体史实与理论分析融为一体，逻辑严谨，视野开阔，具有很强的启发意义；从中我们可以看到，诺斯对庄园经济、13世纪英国的土地运动以及荷兰、法国的经济等都非常熟悉，即诺斯的研究是建立在丰富、具体的史实的基础上的，而不是只有几条空洞、抽象的一般理论；同时，我们也容易看出，诺斯使用的研究工具是宏观经济学、微观经济学中的很多经典理论（从他在此使用的一些学术词汇中，如“要素稀缺性”、“公有土地”、“土地让渡”、“土地价值”、“变更产权”等，可以部分地体会到这一点），即他的知识结构主要是现代经济学中广阔、精细的理论与经济史中大量具体、细致的系统事实两个方面。诺斯与托马斯合著的《西方世界的兴起》（1973）这一名著的情况也是较为类似的，即虽然这部书的主线非常清晰，但是为了加强论证，诺斯和托马斯加入了极多的经验细节；总体来说，此书也是大量、多样的经济理论与丰富的经济史实的有机融合。
在上文中，我们主要讨论了几位伟大的经济学家的一些观点和研究风格；同时，我们需要明确的是，这些伟大的经济学家们的广泛声誉自然不是来源于几条孤立的观点，而是主要源于他们的重要著作，如马歇尔的《经济学原理》，奈特的《风险、不确定性、利润》，哈耶克的《自由宪章》（1960），熊彼特的《景气循环论》（1939）以及诺斯的《制度、制度变迁与经济表现》（1990）等都是开创性的名著。如果深入分析这些著作的广阔、新颖的内容，我们即能发现这些著作都有以下的一些基本特点：1它们都有严密、宏大的结构，即一方面它们都是严谨、系统的体系，另一方面，这些体系的内容又非常宽广；2最为重要的是，尽管它们是总体的结构，但其中的每一部著作都包含了大量的原创性思想（而不仅仅是少数几条新思想）；3同时，这些新思想的质量都非常高，具有相当的重要性，而不仅仅是一些无关紧要的新思想；推而广之，除了包含很多重要的新思想，这些著作的观点、思想架构、论点、经验材料、语言表达等其他的各个方面也都比较重要；4除了大量原创性的崭新观念之外，这些著作都有非常丰富的内涵，包含着广阔、复杂、深刻的经验，而不是一些少量的、人人耳熟能详的普通事实，因而，这些书籍都蕴含着许多的营养成分。总之，由于这些著作都至少具备上述的四个基本特点，因而，它们才经受住了漫长时间的检验，并在知识界产生了持久不衰的多方面影响。
（四）对经济学中一些新理论的评析
一个比较显然的事实是，经济学中的一些前沿理论是层出不穷的，如20世纪80、90年代以来产生的一些理论有：行为经济学（在90年代中，雷宾[16]
众所周知，现代经济学与数学和政治学这两门学科之间的关系最为密切，因而，较为系统地讨论一下现代经济学与数学、政治学之间的异同无疑会有助于我们加深对现代经济学总体特点的理解。
由于现代经济学中数学的大量运用以及经济知识的广博性、抽象性，导致的一个常见现象是很多学生和学者对宏观经济学、微观经济学、计量经济学等课程中的很多知识掌握得不够透彻；如宏观经济学自然会讲授货币现象，其中包含不少的数学式、图像式推导和经济思想，但是甚至讲授这部分知识的教师掌握得都半懂不懂，原因大概有两个：首先，虽然其中的数学推导比较简单，但也涉及到微积分等课程，而且这些数学推导非常得多，与之相关的图像分析也非常得多，因而，透彻地理解这些大量的数学推导、图像分析其实需要比较深厚的数学功底（至少需要对微积分有相当程度的掌握）；其次，除了数学之外，这些课程中的经济学思想其实也有些抽象，而且这些经济思想也非常得多，因而不容易掌握，同时，这些课程中单是一个知识点也往往牵涉到货币、收入、资本、产出、通货膨胀等很多有所联系的经济学思想，由于这些知识的复杂性、抽象性和广博性，也导致这些教师的理解不够系统、清楚和透彻，在很多情况下，他们只是理解了其中零零碎碎的部分信息。总之，数学对经济学研究产生了很复杂的影响，然而，反过来，经济学对数学研究则几乎没有什么影响。
在讨论了经济学与数学间的关系以后，我们想探讨一下经济学与政治学间的基本异同。如我们所指出，经济学的研究大体可区分为经济、数学和理论三个不同的层次，而政治学的研究则可以区分为经验和理论两个基本层次。其中，政治学的理论研究有两个不同的方向：政治科学与政治哲学；就前者而言，20世纪的著名政治学家，如萨托利、林茨、阿尔蒙德、达尔、巴林顿•摩尔等都属于政治科学类的研究方式，就后者而言，罗尔斯、诺齐克、查尔斯•泰勒、德沃金、西季威克等重要学者则属于政治哲学类的研究方式（当然，这两个方向的区分并不是绝对的，二者间也存在着活跃的思想交流）；整体而言，政治学理论研究的这两个方向都在欣欣向荣地不断发展。同时，政治学的经验研究则有美国政治研究、欧洲政治研究等很多不同的领域，它们研究的范围也很广泛，涉及到基层民主、社区管理、地区政治、外交关系等许多问题。
总的来讲，政治学与经济学间的差别可以区分为下述两个方面：1由于政治学没有数学的大量使用，因而，政治学的研究没有经济学这样错综复杂、轮廓模糊，它的学科结构要更为清晰、有序一些；而由于现代经济学中的经验、数学、理论三个部分的互相缠绕（如经验可以引导出新的数学模型，而理论也可以引导出新的数学模型），造成了经济学的学科体系一定程度的复杂性。2由于经济学研究的问题属于商业、经济事物的范畴，因而，人们对经济学往往抱有一定的功利主义的期待，即人们在一定程度上认为经济学可以推动经济发展、促进社会进步，而人们对政治学则不会抱有类似的心理期望。
通过本部分的阐述，我们能意识到经济学与数学、政治学在很多方面的联系与差异，由于经济学的研究要受到这两个学科的不断影响，而且，经济学与这两个学科间的相互关系至今仍是众说纷纭；因而，我们认为本部分的系统分析有一定的内在价值。
（六）经济学的发展与经验、数学、理论三部分的交叉作用
在本文的前三部分，我们分别考察了经济学中的经验、数学与理论三个主要部分的基本内涵，现在，我们想分析一下在实际的经济学研究中这三个广阔的部分交叉在一起之后所产生的综合效应。下面我们以一些著名经济学家的研究特征为切入点来开始我们的相关分析。
首先，就经验而言，伟大的经济学家弗里德曼自然懂得很多的经验，如前所述，他的巨著《美国货币史》即包含了极多的经济事实；而哈耶克虽然是持经验主义观点的学者，但通过阅读他的著作我们能大体了解他懂得实际经验其实并不多，他真正熟悉的主要是很多的理论书籍，他曾表示学者进入政治领域是有腐蚀性的，会使学者们堕落，这显然表示他对实际的经济运行没有太多兴趣；而对萨缪尔森来说，他最为了解的主要是数学，因而，他对实际的经济经验的了解也不够多。
其次，就数学而言，萨缪尔森的数学功底和数学创造能力在现代经济学家中自然是最好的，在他硕果累累的学术生涯中，他建构了大量的重要数学模型；马歇尔的数学功底也很好的，因为正是他将微积分等工具系统地引入了经济学，从而开始了经济学的数学化过程，在大学本科期间，他在数学上下过很大的功夫，接受过系统的训练，在《经济学原理》的附录和注释部分里，包含了很多的数学推导和复杂的图表；弗里德曼也有一定的数学功底，但可能称不上很好，在Rutgers大学读本科期间，他最早读的是数学系，但是由于成绩平平，因而转到了其他系，他的本科学位是文学学士，在《消费函数理论》（1957）这一著作中，他建立了一些数学模型，但是：1不是太多，2不是很复杂，当然，在他漫长的职业生涯中，他也建立了一些重要的数学模型，因而，他有一定的数学功底（弗里德曼在统计学中也有较高的造诣，他能发展一些统计方法来处理复杂的数据，当然，如所周知，真正高深的统计学研究需要以实变函数和概率论为基础）；而哈耶克则对数学很不信任，他曾写过《科学的反革命》一书，在书中他非常反对经济学里科学方法和数学模型的运用，就数学功底来说，他即使对微积分恐怕也掌握得不够好，因而，他自然理解不了一般均衡模型或者萨缪尔森的很多经济模型；诺斯的数学功底可能也有一定的限度，例如，他在《经济史中的结构与变迁》一书中虽然也用到了一些统计分析，但这些分析是较为简单的，并不是很复杂，至多只是微积分中的简单部分，我觉得诺斯真正了解的是许多理论和经济史中的大量知识；最后，奈特、熊彼特等人的数学大概也不是太好。总之，经济学家中大概有相当比例的学者数学功底都不是太好，所以产生这一现象的原因是现代数学其实有较高的门槛，即使熟练掌握微积分和线性代数这两个基本的课程其实也是一件比较困难的事。 当然，一些学者们的数学功底存在一定缺陷并不会妨碍他们做出第一流的杰出研究，原因大概有两点：首先，经济学的理论和经验两个方面的范围都非常广阔，因而，有足够多的好问题可供研究；其次，使用一些简单的数学建模来分析经验和理论其实也能得到很多重要的结论。
最后，就理论而言，萨缪尔森自然写不出熊彼特的《经济分析史》（1954）这样的理论性巨著，因为他的知识结构主要集中在数学方面；而如第（三）部分所分析的，奈特、诺斯、哈耶克、熊彼特等经济学家虽然都具有理论深度，但他们的研究风格仍有相当的差异。与此同时，与奈特、熊彼特等专注于深层理论的学者们不同，弗里德曼所做的理论研究则包含很多的现实经验成分，他的研究大概介于理论与经验之间（同时掺入了部分数学），因而他的理论深度略逊于奈特等学者，因为他并不是一位纯粹理论性的经济学家。
在以一些著名经济学家在经验、数学、理论三个方面的相关造诣作为个案进行了一定分析之后，现在我们想整体地探究经济学界的深层研究趋向；而如果我们考察20世纪经济学的总体进展，会发现至少存在三种不同的研究方向：首先，其中的有些发展是数学性的，如赫尔维茨、萨金特等人所发展的理性预期学派，以及索洛、卢卡斯等人所开辟的经济增长模型；其中，数学性的进展又可以区分为两个方面：一是使用浅显的数学得到的结论，如宏观经济学中的IS-LM模型；二是使用高深的数学才得到的创新，如赫尔维茨等人发展的理性预期学派；其次，有些是理论性的创新，如诺斯的新经济史，科斯的交易成本理论，弗里德曼的货币主义学派等；最后，也存在一些综合性的研究进展，如凯恩斯的货币与需求理论大致介于理论与数学之间，阿罗、阿玛蒂亚·森等人所发展的社会选择理论也介于理论与数学之间，而弗里德曼的货币主义学派则介于经验与理论之间；总之，在二十世纪经济学的广阔进展中，有些是数学性的进展，有些是理论性的进展，还有些则是数学、理论的交叉进展或者经验、理论的交叉进展亦或数学、经验的交叉进展。概言之，20世纪经济学的发展虽然花团锦簇、宽广丰富，但我们还是能大体观察到一些主要的基本趋势。
（七）重要经济学家的思想及相关思想的接受、认知程度
如上文所说，经济学的发展主要是由重要经济学家所推动的，因为这些重要的经济学家都提出了意义深远的学术理论，如科斯的交易成本理论，哈耶克的“自发秩序”理论，阿罗的一般均衡理论和不可能性定理，熊彼特的“创造性破坏”理论，弗里德曼的货币主义，或者诺斯的新经济史等，显然，这些理论在经济学界中都是脍炙人口的；而这些理论之所以产生广泛的影响，主要原因自然在于这些理论的重要性，因为它们都刻画了我们所生存其中的周围世界的一些重大特征，因而都具有强大的解释力，总之，这些理论都有坚实的基础。
但是，我觉得过度夸大这些理论的影响也是不很妥当的；譬如，科斯的交易成本理论当然非常重要，但是如果我们认为它能解释所有的经济现象和社会现象，那显然也是不妥的，因为它所阐明的自然只是经济领域的一部分事实；在此，我们可以举出一些数学界中的类似例子，例如，黎曼所开创的几何学理论和复变函数论当然是高度重要的，但是，这些理论也只是整个数学领域的一小部分，它们自然也不可能解决所有的数学问题。因而，这些重要经济学家的理论都有两个基本的特征：第一，它们都非常重要，有着很广泛和深刻的解释力；第二，由于经济现象是包罗万象、极度复杂的，因而任何一个重要的理论毕竟也有自己的局限，它们只能解释一部分经济和社会事实，即对一些理论过度重视和过度阐释，进而片面地夸大它们的解释力也是不够明智和审慎的。我觉得只有同时理解了这两个基本的特征，我们才能对很多经济理论形成合理的认识；并且，如果我们将一些重要的理论作为综合工具来使用，同时运用许多的重要理论来分析复杂的经济事实，那么我们可能会得到很多更为成熟、睿智的认识。
与此同时，重要经济学家们提出的思想是一个方面，而学术界对他们思想的总体的理解和接受程度则是另外一个同样重要的问题。我们认为，由于多种因素的共同作用，在很多情况下，人们对一些伟大经济学家的思想理论的理解都存在两个普遍的基本缺陷：零碎、片面和肤浅。
首先，以杰出的经济学家科斯为例，他最为知名的贡献自然是独创性的交易成本理论，由此他也成为新制度经济学的奠基人之一；但是，我们认为，很多经济学者对他的理解往往失于肤浅；由于他的部分学术精华反映在他的最重要的两篇论文中，即1937年发表的《企业的本质》和1960年发表的《社会成本问题》，因而下面我们就以《企业的本质》一文对科斯的思想及在学术界的总体接受、认知情况做些分析。
从这篇经典性的文章中，我们大概能体会到以下三点：首先，科斯的思想是非常丰富、深刻的，从该文繁复的文献征引中（这些引用自然需要注明页码、版次等），我们能了解到科斯的阅读和思考范围确实非常广泛，这也是他的学术原创性的基石；其次，如果科斯只是发现了交易费用这个一般概念，而不能阐明三种主要的交易费用，那么他的论文也不会有很大的影响力（此后，诺斯等人将交易成本的概念创造性地应用到经济史领域，赋予了这个抽象的概念以实质性的内涵，连同其他一些学者的努力，也进一步扩大了交易成本理论的影响力），即对于学术文章来说，只有一些单薄的原创性观念是不够的，它必须要有很深厚的内涵；第三，该论文的性质是原创性和基本性的，这与我们的一些学者的研究构成了鲜明的对比，一方面，我们的不少学者的论文只是在陈述大部分人都比较了解的普通事实，另一方面，即使一些学者的文章的内容有些原创性，但由于不够原理性，因而只是有暂时性的意义，自然也不太可能有很大的学术重要性。总之，我们的不少经济学者对科斯的这些论文的问题意识、理论内涵等的理解都是不够深入的，他们的认识中包含很多的人云亦云的成分。
再如，当人们提起弗里德曼时，很多人大概只会想到他的货币主义观点，即政府需要控制货币数量，这样就能控制住通货膨胀，但是他们恐怕并不是很了解弗里德曼这一观点的理论依据：弗里德曼的此一观点来源于费雪的交易方程式：MV=PT，在此，M表示一定时期流通中货币的平均数量，V表示一定时期单位货币的平均周转次数即货币流通速度，P代表商品和劳务价格的加权平均数，T代表商品和劳务的交易数量；由于V是由社会制度和习惯等因素决定的，所以长期内比较稳定，可以视为常数；在充分就业条件下T相对产出水平保持固定的比例，也是大体稳定的，也可以视为常数；因而，交易方程式就转变为货币数量论，即价格水平P仅取决于货币数量M的变动，当M变动时，P作同比例的变动，显然，这些分析直接导出了弗里德曼的货币主义观点；同时，关于弗里德曼的货币观点，很多人恐怕也并不是很熟悉他的货币需求函数：Md/P=f(Y,w,Rm,Rb,Re,gP,u)[25]
第三，以另一位经济学家哈耶克为例，人们对哈耶克的认识也大多停留在他坚持自由市场、反对计划经济这一点上，而哈耶克的总体思想体系当然要比这种简化的认识复杂、深刻得多；例如，哈耶克对分散知识的强调是广为人知和被普遍接受的，但是他的这一观点其实是建立在个人行动的不可预知性、新思想产生的不可预见性和社会自发进化过程中的广阔原创性这三个方面的基础之上的，而很多人对此的理解则较为肤浅，因而很多学者对哈耶克的理解往往不够深入、系统，如历史学家林毓生所写道的：“哈耶克每出一书，许多报章杂志接着便出现了不同的赞誉和批评。可是，事实上，许多书评的作者并未彻底了解他的论旨。举例言之，笔者数年前读哈佛大学政治系教授弗里德里希（Carl Friedrich）在《政治评论》所写的关于《科学的反革命》的书评时，就觉得他说了半天，到头来却实在没有懂得哈耶克书中主要的意思。弗里德里希是相当有地位的学者，尚且如此，等而下之，就不必说了。又例如哈耶克的大著，《自由宪章》出版以后，英国许多学者合写的读书报告······其中有几篇很精彩，但有几篇对哈耶克立言的主旨却没有深切的了解。”[26]显然，林先生所描述的情况既出现在一些学者对哈耶克的总体理解上，也出现在部分学者对其他重要的经济学家们的整体理解之中。
第四，经济学者们对重要的经济学家阿罗的认知程度则出现了另外的一些特征；由于阿罗的数学能力非常好，因而，他的论文和著作中使用了大量的数学，这自然使得人们对他的深入理解出现了较大的困难。当人们提起阿罗时，自然会想到他的一般均衡理论和不可能性定理；但是，这些模型都非常复杂：首先，它们的前提即比较复杂，涉及到很多的经济学假定；其次，它们的推导过程也很曲折繁复，牵涉到很多其他的相关定理；因而，这些定理其实都有很丰富的内容，同时，它们背后还有着更广阔的整体理论（如社会选择理论），是这些理论的一个组成部分；因而，很多经济学者对阿罗的一般均衡理论和不可能定理的理解也往往比较零碎、肤浅和笼统。
总之，通过对科斯、弗里德曼、哈耶克和阿罗这四位重要经济学家的分析，我们能意识到其实经济学界对他们的理解往往是较为零碎而笼统的；一方面，几乎所有的经济学家都对这些杰出学者非常熟悉，他们也常常把这些经济学家的理论挂在口头，但是，另一方面，他们对这些经济学家的理解其实比较笼统，不够条理而深入。容易理解，很多学者对诺斯、熊彼特等经济学家的理解恐怕也存在这一基本的问题；简言之，杰出的经济学家们的确提出了重要的观点，并且写出了重要的著作，但是，人们对这些观点和著作的理解常常不够深入，这一点对我们来说大概是有意义的提醒。
（八）经济学的基本价值
在上文对经济学的方法论等方面作了较为系统的讨论之后，在本文的最后部分，对经济学的内在价值与意义等方面进行一些分析是有价值的。如所周知，人文社科类的理论研究主要有三种价值：解释事实，预测事实和改变（指导）事实，那么，经济学具备这三重价值吗？
首先，在理论的多种价值中，解释事实自然是最基本的；而且经济学家们也大多以解释事实自期，如马歇尔领导的剑桥学派即以解释世事为指导原则。我想很多学者恐怕也都认为经济学、政治学等学科的基本使命即在于解释复杂的现实生活：由于现实生活是混乱、广阔的，因而，需要思想界对它进行梳理、分析，整理成为有秩序的认识，并且分析它们的深层成因；这样的学术工作一方面会有助于社会各个领域的人们的日常生活，另一方面也有助于经济、政治等领域内的从业者的实际工作。当然，由于我们生存其中的现实世界是包罗万象、极度复杂的，因而，对它进行全面、合理的解释自然并不容易；由于在复杂的现实中各种因素往往相互关联，而经济学家的考虑有时会忽略其他的重要因素，导致经济学家们运用自己的理论来解释事实时常常出现片面性。下面即是几个适当的例子。
在分析了两个经典的经济理论的解释力之后，现在我们想分析一个著名的经济模型的解释力，即柯布-道格拉斯生产函数。首先，它的基本形式是：
Y=A(t)L^α K^βμ
式中Y是工业总产值，A(t)是综合技术水平，L是投入的劳动力数，K是投入的资本，α是劳动力产出的弹性系数 , β是资本产出的弹性系数，μ是随机干扰的影响，μ≤1 。从这个模型可以看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平。
根据α和β的组合情况，它有如下的三种类型：
(1) α+β>1，称为递增报酬型，表明按现有技术扩大生产规模来增加产出是有利的。
(2)α+β<1，称为递减报酬型，表明按现有技术扩大生产规模是得不偿失的。
(3)α+β=1，称为不变报酬型，表明生产效率不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。[28]
总的来讲，柯布-道格拉斯生产函数在农业、工业等方面与很多的经济数据较为符合，因而，有一定的价值；但是由于它是一个高度简化的模型，因而，它与另外的很多经验数据之间则存在着很大的误差，所以出现了对它的许多批评，其中主要的质疑有两点：其一，劳动力产出弹性系数α和资本产出弹性系数β在这个模型中是按常值假定的，但是，在现实生活中，劳动力产出弹性系数和资本产出弹性系数这两个参数显然都在不断地变化；其二，这个模型只考虑了工业产值与劳动、资本两个要素的关系，而忽视了技术、管理等重要的层面，这自然也是很不妥的，因为技术对生产的影响无疑是非常巨大的。
总之，结合多方面的事实以及上述的几个经典的例子，我们能体会到经济学的理论有一定的解释能力，但有时也有片面的地方，这两个方面无疑都是经济学理论的重大特征。
其次，在考察了经济学的解释功能以后，我们自然需要考察经济学的预测功能，关于经济学预测事实的能力，某些经济学家认为自己能预测未来经济的精确走势，我觉得这是不够理性的行为。
与此同时，对于预测一个国家或某一行业的总体经济状况来说，显然，也是一件很困难的事情；总体而言，如果我们掌握着广博的经验和大量的信息，那么我们大概能在一定程度上估测出大体的方向，而这些总体预测与特定学者的知识结构、经验范围、思维能力等自然有着很密切的关系，即对宏观经济预测的准确程度与相关学者的总体知识、经验、思想积累和综合能力有着直接的联系。
第三，我们也需要考察经济学的改变（指导）事实的功能。总的来讲，经济学家改变（指导）现实的能力至少存在两个很大的障碍：其一，关于很多经济问题，不同经济学家的看法往往会不同；一个常见的说法是如果给100个经济学家提问同一个问题，他们会给出101个答案，这句话虽然是笑谈，但也说明了部分事实，即经济学家们对很多问题的判断都很不相同；例如，关于中国央行应该实行加息政策还是减息政策，学者们就会众说纷纭；而意见的不一致当然削弱了经济学者们的意见力度。其二，经济学家掌握的经济知识未必比普通民众多出很多，由于很多经济学家沉迷于理论探究，因而他们懂得的实际经济信息可能并没有普通民众多，如部分经济学家就不熟悉白菜、豆腐、土豆、芹菜、茄子、豆芽等日常食物的价格这类很普通的事实，这自然也是一个很大的问题。
总之，经济学的指导（改变）现实的功能大致体现在经验研究和理论研究两个层面。
[1]
[3]
[4]
[5]瓦尔拉斯法则有如下的内涵：对每个主体i,令Ei是他的初始禀赋，xi是他的马歇尔需求函数，给定一个价格向量p,
此时的超额需求函数是
瓦尔拉斯法则能够被表述为：
证明如下：由定义知，超额需求为
p·
在预算约束的前提下，马歇尔需求是一组消费实现了最大化的主体的效用，因而这里的预算约束满足：
p·
因此，上述加和之中的所有项都是0；因而，项本身也是0。
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
Y=A
如我们所熟知，替代弹性是一个较为复杂的概念，它度量要素比率的百分比变动除以技术替代率的百分比变动；柯布-道格拉斯技术的替代弹性是1，而CES技术的替代弹性不变，但不必等于1，为
为此，我们取CES生产函数的log形式，得到：
ln(Y)=ln(A)+
利用洛比达法则，有
因此，可得
[30]
[31]
在经济学的经验研究领域中，著名经济学家弗里德曼自然是一个很好的代表，在他与施瓦茨合著的巨著《美国货币史1867-1960》中，他们搜集、整理和分析了极多的经济事实，我们可以引用他的这部巨著里的一段话：“从1867年1月到1879年2月，货币存量的名义价值每年增长1.3%，而物价指数以每年5.4%的速度下降，这一对比结果可能部分反映了我们估算中的统计缺陷。我们的货币数据由于没有考虑到黄金的市场价值超过名义价值，从而夸大了货币存量的增长。但是这最多将货币存量的增幅从每年1.3%降到1.1%，对于缩小货币与价格之间的差别作用甚微。我们假定1.1%这一较低的增长率是这一阶段货币存量的真实增长率。”[1]
（二）现代经济学中的数学部分
众所周知，数学对现代经济学中的宏观经济学、微观经济学、国际经济学等各个领域都产生了全面、深刻而且强烈的影响；为了较好地体会数学对现代经济学的复杂影响，下面我们想讨论一下经济学中的一些模型、理论，借此讨论一下经济模型与数学之间的内在关系。
1微观经济学中的技术部分
如我们所熟知，现代微观经济学已经形成了枝繁叶茂的理论体系；其中，技术问题即得到了比较系统、详细的分析，在这里，我们就技术部分的几个概念做些考察。
(a)正则技术。首先，我们想简单地讨论一类常见的技术——正则技术；它的拓扑定义是指：对所有y0而言，V(y)是一个非空的闭集，在此，V(y)代表的是投入要求集，即至少可以生产y单位产出的所有投入束的集合。
假定V(y)是闭集的一个涵义如下：假定我们有一序列投入束xi，它们每个都能生产y单位产出，并且这一序列收敛于投入束x0，也就是说，序列中的投入束任意靠近x0。如果 V(y)是个闭集，那么这就限定投入束x0必须能生产y单位产出。容易理解，我们所熟悉的大部分技术都是正则技术。
(b）技术替代率(TRS)问题。技术替代率也是微观经济学中关于技术的分析中的一个常见概念，它是由如下的问题所催生的：假定我们有某项可由一光滑的生产函数来概括的技术，并且我们正在一特定的点y*=f(x_1^*,x_2^*)上进行生产，假设我们想要增加投入1 的用量，同时减少投入2的用量，以便保持不变的产出水平，那么我们怎样才可以决定这两种要素间的技术替代比率呢？
在明确了这一概念的基本内涵之后，现在我们即来求解它。让x2(x1)成为告诉我们如果我们正使用x1单位的其他投入，需要多少单位的x2来生产y 单位产出的隐函数。那么根据定义，函数x2(x1)必须满足恒等式
f(x1,x2(x1))≡ y
此时，我们可求出∂x2(x1*)/∂x1的表达式。对上面的恒等式进行求导，我们可得到：
或
这就给出了技术替代率一个明确的表达式。
下面我们求解一个典型例子：柯布-道格拉斯技术的技术替代率(TRS)
给定f(x1,x2)=x_1^a x_2^(1-a)，求偏导得到
由此，可以得出
这自然是一个典型的求解技术替代率的问题，从这个问题中，我们能够感受到，求解这一类问题有着非常清晰的方法；与此同时，技术替代率问题本身也有着非常清楚的经济和数学内涵。
(c)规模报酬和规模弹性问题。规模报酬是一个我们都很熟悉的概念，用严格的数学语言来说，一项技术表现出规模报酬不变，是指如果下面的任何一个条件得到满足：
(1)对所有t 0，y在Y中意味着ty在Y中，
(2)x在V(y)中意味着tx在V(ty)中，对所有y0，
(3)f(tx)=tf(x)，对所有t0；亦即，生产函数f(x)是一次齐性的。
对规模报酬不变问题，在上面所以给出了三个相互联系又有所差异的定义，是因为，规模报酬不变通常是就技术所做出的一个合理的假定；不过，也有一些它不是一个似乎合理的假定的情况。
由于规模报酬就其本质而言是全域的，也可能出现的是一项技术对x的某些值表现出规模报酬递增，而对x的另一些值则表现出规模报酬递减；因此许多情况下，对规模报酬的局部度量是有用的，而规模弹性就是局部度量规模报酬变化的一个概念，它度量的是由于所有投入要素以相同的比例变化时—— 也就是由于生产规模的变化，产出的百分比变动除以生产规模的百分比变动。
我们用y=f(x)表示生产函数，令t是一个正的纯量，考虑函数y(t)=f(tx)。 如果t=1，我们有现在的生产规模；如果t>1，我们此时正向上调整所有的投入；如果t<1，我们此时正向下调整所有的投入。
现在，我们引入规模弹性的计算公式
e(x)=((dy(t))/(y(t)))/(dt/t)，
e(x)=(dy(t))/dt t/(y(t))|t=1=(df(tx))/dt
注意，我们必须求出这一表达式在t=1时的值，来计算点x处的规模弹性。随着e(x)大于、等于、小于1，我们说该技术表现出规模报酬的局部递增、不变或递减。
例子：规模报酬、规模弹性和道格拉斯技术
假定y=x_1^a x_2^b，那么f(tx1,tx2)=(tx1)a(tx2)b=ta+bx_1^a x_2^b=ta+bf(x1,x2)。 因此当且仅当，a+b=1时，f(tx1,tx2)=tf(x1,x2)，此时规模报酬不变。类似地，a+b>1意味着规模报酬递增，a+b<1意味着规模报酬递减。
事实上，柯布-道格拉斯技术的规模弹性也正是a+b。我们运用定义
在t=1计算这个导数的值并除以f(x1,x2)= x_1^a x_2^b就可得出这一结果。[4]
(d)一些讨论。通过上述微观经济学中关于技术的分析，我们能体会其中的很多概念、思想、方法都有着清晰的经济学内涵，并且也都有着很清楚的数学计算方法；总之，微观经济学中对技术的讨论是很系统和严格的，这些不同的内容之间都有着密切的内在联系，形成了一个协调、有机的整体，并不是互不关联的知识碎片。很明显的是，技术只是微观经济学的一小部分，而如果我们想在将来做出好的创新的话，则需要在微观经济学的各个方面都打下坚实的基础，需要系统、深入地吸收其中大量的思想、概念、方法等，因为，在其中包含了很多有用的小零件，而这些小零件对于以后的重要创新来说往往是必需的要素。
2萨缪尔森关于公共物品的一般均衡模型及其他理论
如我们所熟知，萨缪尔森曾建立了很多重要的经济模型；在这里，我们首先简要讨论一下他在公共物品这一领域所建立的一般均衡模型。
这一清晰、宽广的模型有如下的5个基本假设：
(1)社会上只有两个消费者：消费者A和消费者B；
(2)社会产品可以被严格地划分为私人产品和公共产品，其中，私人产品的总量为X1，消费者A和B分别消费的数量为X_1^1和X_1^2，它们满足数量关系X1= X_1^1+X_1^2；公共产品的总量为X2，消费者A消费的数量为X_2^1，消费者B消费的数量为X_2^2，且满足数量关系X2= X_2^1+X_2^2 ；
(3)两个消费者的效用函数分别为uA(X_1^1, X_2^1)和uB(X_1^2,X_2^2);
(4)存在一个生产函数（生产可能性曲线/成本函数），设其为F(X1,X2)，即X1，X2需要满足此一生产条件的内在约束;
(5)存在一个社会福利函数，用于评价社会效用、消费的大小，设其为U(uA,uB).
同时，我们需补充两个概念：边际转换率和边际替代率；前者表示在社会资源既定的条件下，增加一单位商品1而所必须放弃的商品2的产量，产品X1对产品X2的边际转换率通常表示为MRT1,2，计算公式为MRT1,2=-(dx_2)/(dx_1 )；后者表示在保持总效用水平不变的情况下，消费者增加一单位商品1的消费而必须放弃的商品2 的消费数量，产品X1对产品X2的边际替代率通常表示为MRS1,2，计算公式为MRS1,2=(MU_2)/(MU_1 )。
在有了上述的理论假定和概念准备以后，我们可以着手推导萨缪尔森关于公共产品的一般均衡模型；此一模型的目标函数是最大化社会福利函数U(uA,uB)，约束条件是成本函数（生产函数/生产可能性曲线），即F(X1,X2)=C。因此，纯公共产品的供给需要解决以下问题：
max
{ X_1^1, X_1^2,X2}
这自然是一个典型的条件极值问题，而解决这一类问题已有非常成熟的数学方法，即拉格朗日乘数法。在这个问题中，我们首先构造相应的拉格朗日函数为 L= U(uA,uB)- λ(F(X1,X2)-C)；其后，我们需要求出以下的四个偏导数：
∂L/(∂X_1^1 )=0
∂L/(∂X_1^2 )=0
∂L/(∂X_2 ) =0
∂L/∂λ=0
由 (2) 和(3) 可得:
{█(∂U/(∂U_A )=λ ∂F/(∂X_1 )/MU_1^A@∂U/(∂U_B )=λ ∂F/(∂X_1 )/MU_1^B )┤
整理式(7)，可得如下等式：(MU_2^A)/(MU_1^A ) +(MU_2^B)/(MU_1^B )-=F_2/F_1
〖
式(9)亦即 :
式(9)表明，所有个体消费公共产品和私人产品的边际替代率之和等于生产公共产品和私人产品的边际转换率。
萨缪尔森其他的理论贡献还包括赫克歇尔-俄林-萨缪尔森定理，该定理认为只要存在产品价格的差异，两国就会继续开展贸易，但最终的结果是两国两种产品的价格完全相等，而生产要素的价格也完全相等，此时如果其他条件不变，贸易也就停止；因此，此定理又被称为“要素价格均等化定理”。此外，还有著名的巴拉萨- 萨缪尔森效应(Balassa-Samuelson Hypothesis)，它是研究经济增长与实际汇率关系中最有影响力的理论，也是当代国际经济学中一个重要的基础性命题。
3一般均衡模型及有关分析
在微观经济学中，一般均衡模型曾吸引了大量的关注，并且这一理论经过了学者们的一再完善以后已经具备了较为成熟的形式。下面我们想对它做些简单的介绍，并做些有关的分析。
首先，一般均衡模型中包含两个元素：
(1)一个价格函数P，它以一组商品为自变量，转变为反映它们的价格的一组正实数，通常价格函数是线性的。
这些元素需要满足下列的要求：
每个主体对一组商品的偏好程度可以通过价格函数反映出来，即
∀i∈ 1,2,•••,n ，如果P(Y)≤ P(Xi)，则Y〖 〗_iXi
通常，有一个初始禀赋矩阵E:对∀i∈ 1,2,••• ,n, Ei是对每个主体的初始禀赋。
在这些假定下，一般均衡模型需满足下述3个条件：
阿罗-德布鲁模型是指在满足下述两个条件的每一个交换经济中，竞争性均衡都是存在的：
(1)所有主体都有严格的凸偏好；
(2)所有商品都是可欲求的，这意味着，如果一个商品j是免费供给的，即(Pj=0)，则所有的主体都想从那个商品中得到尽可能多得数量。
这一著名定理的证明可分解为以下的5个步骤：
A
B
z(p)= (p,p.Ei)-Ei
而我们知道当主体有严格的凸偏好时，马歇尔需求函数是连续的，因而，z是价格P的连续函数
C
gi (p)=(p_i+max(0,z_i (p)))/(1+∑_(j=1)^k?〖max(0,〗,z_i (p)))
这是一个连续函数，因此，依据Brower不动点定理，可得存在一个价格向量p*，满足，p*=g(p*)
因此，p_i^* =(p_i+max(0,z_i (p)))/(1+∑_(j=1)^k?〖max(0,〗,z_i (p))),
D
zj (p*)≤ 0,
E
pj>0,
通过瓦尔拉斯法则，p*• z(p*)=0。但是，这可推出上述的不等式必须是一等式，即
zj(p*)=0,
这自然意味着p*是一个竞争均衡的价格向量。
从上述分析中，我们可以看出一般均衡模型有着严格的证明，而且非常的优美，但是这一模型有现实的实用价值吗？容易看出，这一模型并没有得出多少定量化的结果，只是一个定性的结论；因而，到目前为止，这一模型并没有找到多少应用的场合。总之，这一模型的主要价值自然是理论性的，即论证了自由交换经济的合理性。
另外一个有关的问题是，一般均衡模型有无内在的缺陷？对此，学者们已经提出了许多质疑；在这里，我们认为，其中的一个主要缺陷在于它是一个静态模型，而非动态模型，因而导致了两个方面的问题：首先，在上述模型中，一个重要的假定是初始禀赋Ei是给定而且固定不变的，但在现实生活中，经济活动自然是在不断进行和发展的，一个适当的例子是全球每年的GDP 都在不断增长，这样看来Ei 绝无可能是个固定值；其次，就结论来说，当Ei不断改变时，我们大概难以得到一个均衡的结果，而只能得到一个介于均衡与混乱的中间状态，或者说，我们很难得到一个经济均衡，而只能得到一个某种程度意义上的秩序（对这个定性结论的证明大概需要用到动力系统领域的方法）。总之，一般均衡模型在条件假定和基本结论两个方面大概都有些问题，这些都值得我们的深思。
4索罗模型的一些分析
上面，我们考察了微观经济学中的3个模型，现在，我们想考察宏观经济学中的一个重要模型，即索罗模型；如所周知，索罗模型是经济增长理论中的主要模型，也是宏观经济学中的一个基础性模型；在该模型中，主要关注四个基本的变量：产出Y，资本K，劳动L 和技术A，一个经济的总量生产函数可以写为：
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))
这一模型的假设是：
5)市场是完全竞争的。
下面我们想分析一下该模型的基本内涵，首先，该模型整体考察了经济增长的动态特征，即经济增长总会趋向稳态。为此，我们以每单位有效劳动资本存量的变化为切入点进行考察；如所周知，储蓄率决定一个经济资本存量的变化或增长，索罗模型假设储蓄率是外生决定的。假设所有的储蓄都用于投资，就有：
I=S=sY• Y(t)
首先，我们需要考虑资本折旧问题；此时，每年新增资本扣除折旧后为净资本增长：(
其次，我们需要考察进一步引入人口增长和技术进步以后的资本增长问题；在此，我们定义有效劳动的人均资本量为：
k(t)=K(t)/A(t)L(t)
对上式求全微分，得到有效劳动人均资本的增长，即：
(k(t)) =(k(t)) /(A(t)L(t)) –(K(t))/([A〖(t)L(t)]〗^2 )[A(t)(L(t)) +(A(t)) L(t)]
=(k(t)) /(A(t)L(t))- (K(t))/A(t)L(t)
=(S_Y•Y(t)-δ K(t) )/(A(t)L(t))-kρ -kg
=sYf(k)-(δ+ρ+g)k
即( k) =sYf(k)-(δ+ρ+g)k
方程(7)是索罗模型的关键方程，该方程表明，每单位有效劳动的平均资本存量的变动是两项之差：第一项sYf(k)是每单位有效劳动平均实际投资：每单位有效劳动的平均产量为f(k)，该产量中用于投资的比例为sY。 第二项(δ+ρ+g)k是持平投资，即在资本折旧、人口增长和技术进步的条件下，为了保持k在其现有水平上所必须的投资量。这一方程表明人均资本增长有下述3种不同的情形：
sYf(k)>(δ+ρ+g)k
此时，k上升，意味着物质资本的增长快于人口和技术增长的总体效应
sYf(k)<(δ+ρ+g)k
sYf(k)=(δ+ρ+g) k
此时，k不变，意味着物质资本的增长等于人口和技术增长的总体效应
由上述3种情形及图像分析，会发现到：当k较小时，实际投资会高于持平投资，因而k上升；而当k较大时，实际投资会低于持平投资，因而k下降；总之，k的变化最终都会收敛到当实际投资等于持平投资的情形，此时有
sYf(ke(t))=(δ+ρ +g)ke(t)
(II)稳态时的总资本增长率、总产出增长率和人均产出增长率
在上文中，我们得到了经济增长会趋于稳态的基本结论，下面我们想进一步分析一下经济处于稳态时的总资本增长率、总产出增长率和人均产出增长率的变化情况：
(a)总资本增长率。由k(t)=
上式可改写为：
即在一个经济社会里，任何时刻的总资本增长率都等于有效人均资本增长率与有效劳动增长率之和。
因此，当经济运行进入稳态路径(
（b）总产出增长率。令
将
代入上式，有：
即
所以有：
其中
因此，当经济运行进入稳态路径(
（c）人均产出增长率。最后，我们也需要分析一下平衡增长路径上人均产出v(t)=Y(t)/L(t)（即劳动生产率）的增长情况。
因为
因此，当经济运行进入稳态路径(
综合上文的系统、复杂分析，我们可以认识到，由于经济增长会趋于稳态，此时每个工人平均产量的增长率仅仅取决于技术进步率（由(c)部分的分析可知），因而，索罗模型得出的一个基本结论即是：长期人均产出增长的唯一来源是技术进步。同时，由(b)部分的分析可知，从长期看，经济增长率等于人口增长率与人均产出增长率之和，而人均产出增产率仅由技术进步决定，因此，我们可以得到一个总的结论：技术进步是决定长期经济增长的主要因素。
从上文中，我们可以看出，索罗建立了一个宽广、优美的经济增长模型，那么这一模型是否具有现实合理性呢？首先，我们需要明确的是，由于在索罗模型里，对资本、劳动、产出、人口等因素都提出了一些量化的分析公式，因而，它能量化不同因素对经济增长的影响效应，而不只是一些定性的认识；因而，以各种量化数据为基础，关于检验索罗模型与经验数据的符合程度，在此方面已有过不少研究；其中，根据丹尼森的研究，1909-1957 年间美国的实际产出的年增长率、工时数的增长率和资本存量的增长率数据的显著特征是长期内的稳定性；在上文第(II) 小部分中，从索罗模型中得出的基本结论是资本增长率、产出增长率等在稳态时都为常数，因此，索罗模型与美国经济史实比较吻合。在此期间，美国的人口增长率为：ρ=0.013，总产出、总资本的增长率则分别为0.029 和0.024，是基本一致的（虽然在增长理论中，0.5 个百分比是个很大的差异）。总之，很多经验研究表明索罗模型部分程度上解释了实际的经济事实。
当然，必须说明的是，索罗模型自然是一个高度简化的理论，因而，这一模型忽视了现实世界的很多重要特征：首先，它使用了一个只有三种投入品的生产函数；其次，在该模型中，储蓄率、折旧率、人口增长率和技术进步率都是不变量；另外还有一些其他的因素也被索罗模型所简化了，因而，它得出了一些比较错误乃至很荒谬的结论；总之，这一模型所具有的只是部分的解释力。
最后，我们也需要问一个很自然的问题：为何索罗能构建这样重要的模型呢？其中的原因自然是很复杂的，首先，最基本的原因是索罗在经济理论和数学两个方面都有深厚的功底：一方面，索罗无疑反复考虑过技术、资本、劳动、资本折旧、人均资本、总量生产、储蓄率、增长率等复杂的经济问题以及它们之间的内在联系，另一方面，索罗的数学功底自然也是足够深厚的，因而，他在进行模型中的复杂推导时才能游刃有余、驾轻就熟；总之，一位经济学者必须同时具备上述两个基本的条件，才能建立一些重要的经济模型。
如所周知，社会选择理论对投票和社会福利等问题作了深入的研究，而这一理论运用的数学工具主要是数理逻辑；下面，我们对这一理论做些初步的介绍和若干分析。
(I)二元关系。
在社会选择理论中，二元关系是一个最为基本的概念；它的定义是，设xRy表示x与y之间的一个二元关系，例如“x至少与y一样好”或“x大于y'；如果这一关系不成立，例如若“x 没有至少与y 一样好”或'x 不大于y'，则记作~(xRy)。
在各种问题中，二元关系的种类自然是非常多样的，它们可能满足或不满足一些性质，如：
(1)自反性: ∀ x∈S:xRx
(2)传递性: ∀x ,y,z ∈S:(xRy & yRz)
(3)对称性: ∀ x,y∈ S:xRy → yRx
(4)完全性，反对称性和非对称性
对这个符号性的定义，我们可以举一些适当的例子；例如，考虑将关系“至少一样快”用于比较已测得成绩的10名100米自由泳的运动员的集合。此关系是自反的，因为任何一名运动员的成绩都和自身一样快；它也是传递的，因为运动员A与运动员B至少一样快，而运动员B又与运动员C至少一样快，则运动员A与运动员C至少一样快；但是，它并不是对称的，因为运动员A与运动员B至少一样快并不能代表运动员B与运动员A至少一样快。
现在我们来探讨一下社会选择理论的丰富内涵。首先，对应于“弱偏好”R（“至少一样好”）的二元关系，我们可以定义“严格偏好”关系P和“无差异“关系I
定义1.1 xPy ↔ [xRy & ~(yRx)]
定义1.2 xIy ↔ [xRy &
给定一个集合，如果其中存在不被这个集合中其他任何元素所控制的元素，则称为是该集合中相对于所讨论的二元关系的极大元。
定义1.3 S中的元素x是S的相对于二元关系R的极大元当且仅当
~[∃ y: (y ∈ S &
除了极大元这类元素外，还存在要求更强的元素“最好元”；它的相应定义是，元素x被称为是S的“最好”(在大小关系中是“最大”）元，若相应于有关的偏好关系R，它与S 中每一其他元素至少一样好（一样大）
定义1.4
∀ y: (y ∈ S→ xRy)
为了明确上述两个概念之间的区别，我们给出两个注释。首先，最好元一定是极大元，但反之不然。若对S中所有的y有xRy，则显然在S中不存在y使yPx。
另一方面，若xRy和yRx都不成立，则x和y两者都是集合{x,y}的极大元，但都不是最好元。由此，M(S,R) C(S,R)
其次，C(S,R)或M(S,R)可能是空集。例如，当xPy,yPz和zPx时，不存在最好元，因为其中没有任何一个元素不差于其他元素。若传递性成立，当集合是无限时，M(S,R)可能是空的。[6]例如，x2Px1,x3Px2,••• , xnPxn-1,•••。 另一方面，即使具有传递性和有限性，
C(S,R)也可能是空的。例如， ~(xRy)和 ~(yRx)，x和y都是{x,y}的极大集的元素，但都不是{x,y}的选择集的元素。
在数理逻辑中，序的种类是非常多的，有偏序、拟序、序，严格偏序等；在此，我们把满足自反性和传递性的关系叫做拟序。下面，我们考察拟序的若干性质。
引理1.a
证明
拟序有下列两个基本的结果：
引理1.b
证明
容易看出的是，这一引理是数学中著名的Zorn引理的简化情形。
引理1.c
证明
xPy →xRy & ~ (yRx)
→{x}=C({x,y},R)。
{x}=C({x,y},R) → xRy & ~(yRx) →xPy。
对于某些情况，了解极大集和选择集之间的关系是重要的。我们已经知道C(S,R) M(S,R)，可以进一步得到如下的结果：
引理1.d 对于一拟序R，若C(S,R)非空，则C(S,R)=M(S,R)
证明
因xRz，
由引理1.a和x ∈C(S,R)，
→∀ y:[y ∈ S→ zRy] →z ∈ C(S,R)。
因此，M(S,R) C(S,R)。从已知C(S,R) M(S,R)，即得C(S,R)=M(S,R)
从上面的讨论中，我们能意识到，拟序和二元关系的定义虽然很简单，但通过各种推导，却可以得出非常丰富的性质。[7]
在上面已经定义了极大集和选择集，同时，我们还可以引入另一个集合：次优集L(S,R).
定义1.5
L(S,R)=M(S,R)-C(S,R)
由引理1.d可知，L(S,R)仅有如下的两种情形：
1
2
因而，L(S,R)似乎是一个很平凡的集合；其实，情况并非如此，原因在于C(S,R)非空与否在很多情况下很难判定，例如我们有如下的定理：
引理1.e
∀x,y :[x,y∈ M(S,R) →xIy]↔ [C(S,R)=M(S,R)]。
此引理表明判断C(S,R)=M(S,R)是否成立，即C(S,R)是否非空，很多时候并不容易。因而，我们认为引入这一集合是有意义的；而且，我们可以展开对这一集合的系统分析。
现在我们讨论一下这一集合的基本性质。在此，我们考虑一个具体的情形，即年轻人的结婚问题；考虑有符合其他结婚条件的三个个人a,b,c，对这三个人来说，需要考察两个主要的条件：
1年龄， 如果两个人的年龄差距在1岁之内，可以认为“至少一样好”；
2居住地，在此，本地的个人“好”于异地的个人，而两个异地的个人或两个本地的个人可以认为“至少一样好”；
有了上述衡量标准之后，我们考虑下述两种情形：
情况(1)
情况(2)
总之，本部分我们对社会选择理论进行了一些很简单的讨论，从这些概念、方法中，我们大概能初步地体会到这类问题的特定风格；显然，社会选择问题的出发点是很清晰的，即考虑对各种可选择的元素进行排序，为此需要引入一些概念，建立一些分析框架，并且得到一些重要的结论；但是，多元偏好的渗入以及与其他很多问题的内在联系使得整个问题变得复杂了许多，同时，也相应地使得社会选择理论具有了丰富的内涵。
6牧童模型和进一步的考察
(a)模型的基本内涵。该模型的假设是：一个牧场有n个牧民，他们共同拥有一片草地，并且每个牧民都有在草地上放牧的自由。每年春天，牧民们都要决定饲养多少只羊。我们记xi 为第i 个牧民饲养的羊数，那么xi∈[0,+∞)(i=1,2,•••, n)。设V 表示每只羊的平均价值，显然我们可以将V 看做总羊数
X=∑_(i=1)^nxi
的函数，即V=V(X)。因为一只羊至少需要一定数量的草才不至于饿死，所以这片草地上所能饲养羊的数目是有限的。设Xmax为这个最大数量，显然，当X0;而当X Xmax时，可以认为V(X)=0。与此同时，容易明白的是，随着羊的总数的不断增加，羊的价值即会不断下降，并且总数增加得越快，价值也下降得越快；因此，在该模型中可以假定
在这个模型中，我们认为每个牧民都会根据自己的意愿选择饲养的数目以最大化自己的利润。那么第i个牧民将得到的利润为
Pi(x1,x2•••,xn)=xiV(X)-xic=xiV(∑_(i=1)^n?x_i )-xic,
于是他为了取得最大利润，羊的数目必须满足下面的一阶最优化条件
(*)
从上述的一阶最优化条件还可以看出，第i个牧民饲养的最优饲养量xi是受其他牧民的饲养数目影响的，这自然也符合实际的情况；因此，可以认为这样的xi 是xj(j=1,2,•••,n, j≠ i)的函数，即
xi=xi(x1,••• ,xi-1,xi+1,•••,xn),
通常也称它为反应函数。那么在一阶最优化条件中对xj(j≠ i)求导得
V＇ (X)(
因此
这说明了第i个牧民的最优饲养量xi会随着其他牧民饲养的数目的增加而减少。
很自然的，解方程组(*)就可得到每个牧民的最优饲养量x_i^*,i=1,2,••• ,n。需要注意的是，以上的计算都是关于xi来考虑的，也就是说，这样得到的最优数目x_i^*是在以下情况下得到的：每个牧民在决定增加饲养量时尽管考虑了对现有羊的价值的负效应，但他考虑的只是对自己的羊的影响，而不是对所有羊的总体影响。因此这样得到的个人最优饲养量的总和
X*=∑_(i=1)^n x_i^*
并不一定是整个牧场的总体最优饲养量。事实上，整个牧场获取的最大利润是以下函数
XV(X)-Xc
的最大值，它的一阶最优化条件为
V(X)+XV＇ (X)-c=0
设X**为使整个牧场获取最大利润所饲养的羊的数目，即整个牧场的最优饲养量，则
V(X**)+X**V＇ (X**)-c=0
而我们也可考虑每个牧民的最优饲养量的总和，此时，将(*)中的n个式子相加，得到
V(X*)+X^*/nV* (X*)-c=0
将以上两个式子相比较，利用V(X)和V＇(X)的单调减少性质即可得到
X*>X**
通过上述的模型推导，我们可以得出一些进一步的结论。如果我们定量地比较X*和X**的差异，可以通过将式(1)和式(2)相减，得到
V(X**)-V(X*)+ X**V＇ (X**)-X^*/n V＇ (X*)=0
此时，如果我们假定n足够大，则可以近似地得到
V(X*)-V(X**)=X**V ＇(X**)
使用微分中值定理，可得到
此时，考虑函数V(X)的性质（值得注意的是，在不同的问题中，V(X)的具体表达式是不同的；因而，它需要依据特定的问题来分别加以确定），即可粗略地得出X* 和X** 之间的定量关系。
对消费的考察在经济学中始终占据了重要的位置，其中，凯恩斯著名的消费函数理论是他在《就业、利息和货币通论》中提出的；对消费的考察在经济学中始终占据了重要的位置，其中，凯恩斯著名的消费函数理论是他在《就业、利息和货币通论》中提出的；他认为，总消费是总收入的函数，这一观点用线性函数来表示，即：C(t)=a+bY(t),
作为另一位研究消费函数理论的学者，弗里德曼则驳斥了凯恩斯的边际消费递减率；他认为人的消费欲望是无限的，原有的满足后，新的欲望随即产生。在消费函数领域，弗里德曼还提出了永久（恒久）收入假说这一观点，在这一假说中，他区分了恒久性收入和暂时收入，他认为消费者的消费支出主要由恒久性收入决定，即只有恒常收入才会影响恒常消费，而暂时性收入则会影响暂时消费。依据这一理论，政府想通过增减税收来影响总需求的政策是无法奏效的，因为人们因减税而增加的收入，只是暂时性收入，并不会立即用于消费。容易理解，弗里德曼的这些看法自然也有部分的合理性。
9总结。
一个自然的问题是：为何绝大部分的经济模型3、5年之后就没人再读（绝大部分的经济理论论文也是如此，5年以后就没有人会再读了，更不太可能100年以后还会被人继续不断地阅读），而上述好的经济模型却能经得起几十年的检验呢？其中的原因是既复杂而又简单的。主要原因在于上述的模型大部分都是由杰出的经济学家所创立的，这些杰出的经济学家的经济理论功底和数学功底都在普通的经济学者之上，因而，这些模型才具备长远的生命力，即杰出经济学家的深厚功底是这些经济模型所以具备生命力的最主要和本质性的原因，因而，上述现象其实是很容易明白的。
我们还需要问另一个重要的问题：这些大量的经济模型有无实际价值呢？这自然是一个很复杂因而很难回答的问题。其中的一个回答是，如果模型只给出了一些定性的结果，而没有定量的分析，那么，它大概不会有很大的应用潜力，如上文所分析的一般均衡模型、牧童模型等；另一个部分回答是，由于经济模型的范围非常广大，因而，其中的一部分大概有一定的现实价值。当然，有无实际价值只是衡量经济模型的一个方面，我们也需要正视这些模型在其他方面的价值，如：阐述社会运行的内在原理，系统化人们对经济活动的认知等。
对经济学来说，基础理论是难以回避的根本性问题，而对基础理论做出深刻贡献的主要是一些伟大的经济学家；下面，我们简要地介绍几位经济学家的若干观点、研究方法以及研究风格。
通过这段关于报酬递减现象的细致、富于生活经验的分析，我们能了解到，马歇尔的主要目的是构建一个系统、条理的理论体系；为此，一方面，他创造性地引入了许多现代经济学的基本概念，而且他也善于运用这些经济学概念来分析很多问题；另一方面，他也熟悉很多的生活经验，喜爱用现实生活中的生动例子来说明一些经济学的抽象原理（如此处的缝纫机这一例子）；同时，在此书的其他部分，马歇尔也很擅长运用数量性的阐述来分析很多经济事实；总之，这三个方面都是马歇尔一生著作的重要特征。
2奈特。如所周知，奈特是自由经济的积极提倡者，他一生讨论了很多经济学的核心问题，如利润、不确定性、资本品、厂商等；总的来说，他的主要观点是由于市场和经济进步的过程存在很多类型的不确定性，因而，自由经济比市场管制更有效率。奈特的一生著述丰富，也产生了广泛、深远的影响。
上面的这段话很明显地体现出了奈特著作的总体风格，即它们讨论的都是一些很抽象的问题，但是其中使用的词汇，如“产品数量”、“物品价格”、“生产者的供给量”等又有比较实用的特点，这些词汇与宏观经济学、微观经济学中的理论化术语不太相同；总之，奈特的思想风格与大学的商学院中的实用商业教育有着一定的相似性。
为了更好地理解哈耶克的学术风格，我们可以参考他的一部晚期著作，在这部著作中，他有如下的一段话：“人们为何接受任何具体的新习俗或新发明，只是件次要的事。更为重要的是，使一种习惯或发明得到维系，需要两个明确的前提。首先，必须存在着能够使某些行为方式代代相传的条件，而这些行为方式的好处未必已经得到人们的理解或赞赏。其二，保留这些习惯的群体必须是取得了明确的优势，使他们能够比另一些群体更为迅速地扩张，并最终胜过（或同化）那些不具备类似习惯的群体。”[12]从中，我们可以看出哈耶克所使用的学术术语的经济学的属性其实并不是很强，而是融入了一些政治学、哲学、社会学等学科的词汇（当然，哈耶克自然也不是完全不能使用经济学的许多术语，他的著作中也包含很多经济学词汇，因而与政治学家等学者们的著作仍有着较大的不同），这一现象的产生自然与他的知识结构有着巨大的关系，即他代表的是一种将经济学与政治学、思想史、法理学等学科杂交融合而做总体研究的方式，或者说，是一种广义的经济学研究。
下面，我们想阐释一下熊彼特所分析的一个具体问题，即经济周期现象及它的成因，对此，他写道：“所谓周期性可能有两种含义。第一，仅指每一次繁荣跟上一次萧条，而每一次萧条又跟上一次繁荣的事实。但这一点是我的理论可以解释的。或者第二，可能指周期的实际长度。但是，这一点没有理论可以从数量上来解释，因为它明显地要依靠个别情况的具体数据。不过我的理论仍然给予一种一般性的回答：经过一段时间，直到新企业的产品能够出现在市场之前，繁荣结束，萧条开始。当创新的吸收过程结束时，新的繁荣就开始，而萧条也就结束。”[13]对于经济周期的成因，他进一步分析到：“逆运动不仅阻碍发展，而且还使发展归于终结。大量的价值被消灭；经济体系中首脑人物计划的根本条件和前提被改变。这个经济体系，在其重新向前发展之前，需要重整旗鼓；其价值体系也需要重新组织。并且重新开始的发展是一个新的过程，而不简单是旧过程的继续。”“新的发展过程产生于不同的情况，并且部分地产生于不同人的行动；许多旧的价值与期望被永远埋葬，而完全新型的东西出现了。”[14]从这段分析中，我们能够看出，熊彼特是在用自己的创新理论来解释经济周期的成因，他认为经济的发展有赖于全新的技术、产品等，而不是一个简单的渐变过程。今天，当人们提到熊彼特时，最常提及的就是“创新”和“企业家精神”两件事，但如果仔细阅读熊彼特的原著，我们即能发现，熊彼特的相关论述要复杂、深刻、丰富得多，他其实用“创新”系统地解释了很多经济学的基本现象，如利润、资本、信贷、利息和经济周期等（正如《经济发展理论》的副标题所展示的）。
如果我们整体地考察一下上述的几位重要的经济学家，容易看出的是，他们其实都非常关注利润、资本、利息、经济周期、需求、价格等问题，但对于这些事物，他们的分析视角是很不相同的：马歇尔代表了由斯密、李嘉图和密尔等发展而来的正统经济学传统，他的这些分析比较规范化、学术化，奈特的分析则以不确定性和风险为支撑点，阐述了上述事实的成因、本质等，哈耶克则是以奥地利经济学派的主观价值为出发点考察了这些基本问题，而熊彼特则是以企业家精神和创新为基础，系统分析、论述了上述事物的成因、本质、基本内涵、内在关系等。也就是说，这些经济学家们其实都很关心一些最基本、主要的经济学概念和事物，但他们的分析角度和思想体系则很不相同，导致他们对这些基本事物的理解也有很大差异，这自然是一个有趣而又重要的基本事实。
在这里，我们可以选摘他在《经济史中的结构与变迁》（1981）中的一段话：“在西欧，人口增长而总收益下降在12世纪就已出现。接着，相关的要素稀缺性发生了变化：劳动的价值下降，而土地的价值上升了。土地价值的上升导致人们为形成排他性的所有制和可转让性的权力而努力。如果每个居民都有使用庄园内公有土地的同等权力，那么，庄园内部的公有土地就会被过度耕种。对这种耕种方式的反应体现在庄园规定的惯例中，庄园惯例限制了对共有土地的使用。限制一个家庭在公有土地上放牧家畜数量的节制性协议成为惯例。在13世纪的英格兰，土地法的广泛发展，圈地运动的开始，终致土地让渡成为可能。在勃艮第、香槟和法兰西也出现了类似的发展。土地价值的上升更加激发人们去变更产权，使得现在日益稀缺的资源能得到有效的利用。”[15]在这段分析中，诺斯论述了土地产权在近代西欧出现的过程，他的论述将具体史实与理论分析融为一体，逻辑严谨，视野开阔，具有很强的启发意义；从中我们可以看到，诺斯对庄园经济、13世纪英国的土地运动以及荷兰、法国的经济等都非常熟悉，即诺斯的研究是建立在丰富、具体的史实的基础上的，而不是只有几条空洞、抽象的一般理论；同时，我们也容易看出，诺斯使用的研究工具是宏观经济学、微观经济学中的很多经典理论（从他在此使用的一些学术词汇中，如“要素稀缺性”、“公有土地”、“土地让渡”、“土地价值”、“变更产权”等，可以部分地体会到这一点），即他的知识结构主要是现代经济学中广阔、精细的理论与经济史中大量具体、细致的系统事实两个方面。诺斯与托马斯合著的《西方世界的兴起》（1973）这一名著的情况也是较为类似的，即虽然这部书的主线非常清晰，但是为了加强论证，诺斯和托马斯加入了极多的经验细节；总体来说，此书也是大量、多样的经济理论与丰富的经济史实的有机融合。
在上文中，我们主要讨论了几位伟大的经济学家的一些观点和研究风格；同时，我们需要明确的是，这些伟大的经济学家们的广泛声誉自然不是来源于几条孤立的观点，而是主要源于他们的重要著作，如马歇尔的《经济学原理》，奈特的《风险、不确定性、利润》，哈耶克的《自由宪章》（1960），熊彼特的《景气循环论》（1939）以及诺斯的《制度、制度变迁与经济表现》（1990）等都是开创性的名著。如果深入分析这些著作的广阔、新颖的内容，我们即能发现这些著作都有以下的一些基本特点：1它们都有严密、宏大的结构，即一方面它们都是严谨、系统的体系，另一方面，这些体系的内容又非常宽广；2最为重要的是，尽管它们是总体的结构，但其中的每一部著作都包含了大量的原创性思想（而不仅仅是少数几条新思想）；3同时，这些新思想的质量都非常高，具有相当的重要性，而不仅仅是一些无关紧要的新思想；推而广之，除了包含很多重要的新思想，这些著作的观点、思想架构、论点、经验材料、语言表达等其他的各个方面也都比较重要；4除了大量原创性的崭新观念之外，这些著作都有非常丰富的内涵，包含着广阔、复杂、深刻的经验，而不是一些少量的、人人耳熟能详的普通事实，因而，这些书籍都蕴含着许多的营养成分。总之，由于这些著作都至少具备上述的四个基本特点，因而，它们才经受住了漫长时间的检验，并在知识界产生了持久不衰的多方面影响。
（四）对经济学中一些新理论的评析
一个比较显然的事实是，经济学中的一些前沿理论是层出不穷的，如20世纪80、90年代以来产生的一些理论有：行为经济学（在90年代中，雷宾[16]
众所周知，现代经济学与数学和政治学这两门学科之间的关系最为密切，因而，较为系统地讨论一下现代经济学与数学、政治学之间的异同无疑会有助于我们加深对现代经济学总体特点的理解。
由于现代经济学中数学的大量运用以及经济知识的广博性、抽象性，导致的一个常见现象是很多学生和学者对宏观经济学、微观经济学、计量经济学等课程中的很多知识掌握得不够透彻；如宏观经济学自然会讲授货币现象，其中包含不少的数学式、图像式推导和经济思想，但是甚至讲授这部分知识的教师掌握得都半懂不懂，原因大概有两个：首先，虽然其中的数学推导比较简单，但也涉及到微积分等课程，而且这些数学推导非常得多，与之相关的图像分析也非常得多，因而，透彻地理解这些大量的数学推导、图像分析其实需要比较深厚的数学功底（至少需要对微积分有相当程度的掌握）；其次，除了数学之外，这些课程中的经济学思想其实也有些抽象，而且这些经济思想也非常得多，因而不容易掌握，同时，这些课程中单是一个知识点也往往牵涉到货币、收入、资本、产出、通货膨胀等很多有所联系的经济学思想，由于这些知识的复杂性、抽象性和广博性，也导致这些教师的理解不够系统、清楚和透彻，在很多情况下，他们只是理解了其中零零碎碎的部分信息。总之，数学对经济学研究产生了很复杂的影响，然而，反过来，经济学对数学研究则几乎没有什么影响。
在讨论了经济学与数学间的关系以后，我们想探讨一下经济学与政治学间的基本异同。如我们所指出，经济学的研究大体可区分为经济、数学和理论三个不同的层次，而政治学的研究则可以区分为经验和理论两个基本层次。其中，政治学的理论研究有两个不同的方向：政治科学与政治哲学；就前者而言，20世纪的著名政治学家，如萨托利、林茨、阿尔蒙德、达尔、巴林顿•摩尔等都属于政治科学类的研究方式，就后者而言，罗尔斯、诺齐克、查尔斯•泰勒、德沃金、西季威克等重要学者则属于政治哲学类的研究方式（当然，这两个方向的区分并不是绝对的，二者间也存在着活跃的思想交流）；整体而言，政治学理论研究的这两个方向都在欣欣向荣地不断发展。同时，政治学的经验研究则有美国政治研究、欧洲政治研究等很多不同的领域，它们研究的范围也很广泛，涉及到基层民主、社区管理、地区政治、外交关系等许多问题。
总的来讲，政治学与经济学间的差别可以区分为下述两个方面：1由于政治学没有数学的大量使用，因而，政治学的研究没有经济学这样错综复杂、轮廓模糊，它的学科结构要更为清晰、有序一些；而由于现代经济学中的经验、数学、理论三个部分的互相缠绕（如经验可以引导出新的数学模型，而理论也可以引导出新的数学模型），造成了经济学的学科体系一定程度的复杂性。2由于经济学研究的问题属于商业、经济事物的范畴，因而，人们对经济学往往抱有一定的功利主义的期待，即人们在一定程度上认为经济学可以推动经济发展、促进社会进步，而人们对政治学则不会抱有类似的心理期望。
通过本部分的阐述，我们能意识到经济学与数学、政治学在很多方面的联系与差异，由于经济学的研究要受到这两个学科的不断影响，而且，经济学与这两个学科间的相互关系至今仍是众说纷纭；因而，我们认为本部分的系统分析有一定的内在价值。
（六）经济学的发展与经验、数学、理论三部分的交叉作用
在本文的前三部分，我们分别考察了经济学中的经验、数学与理论三个主要部分的基本内涵，现在，我们想分析一下在实际的经济学研究中这三个广阔的部分交叉在一起之后所产生的综合效应。下面我们以一些著名经济学家的研究特征为切入点来开始我们的相关分析。
首先，就经验而言，伟大的经济学家弗里德曼自然懂得很多的经验，如前所述，他的巨著《美国货币史》即包含了极多的经济事实；而哈耶克虽然是持经验主义观点的学者，但通过阅读他的著作我们能大体了解他懂得实际经验其实并不多，他真正熟悉的主要是很多的理论书籍，他曾表示学者进入政治领域是有腐蚀性的，会使学者们堕落，这显然表示他对实际的经济运行没有太多兴趣；而对萨缪尔森来说，他最为了解的主要是数学，因而，他对实际的经济经验的了解也不够多。
其次，就数学而言，萨缪尔森的数学功底和数学创造能力在现代经济学家中自然是最好的，在他硕果累累的学术生涯中，他建构了大量的重要数学模型；马歇尔的数学功底也很好的，因为正是他将微积分等工具系统地引入了经济学，从而开始了经济学的数学化过程，在大学本科期间，他在数学上下过很大的功夫，接受过系统的训练，在《经济学原理》的附录和注释部分里，包含了很多的数学推导和复杂的图表；弗里德曼也有一定的数学功底，但可能称不上很好，在Rutgers大学读本科期间，他最早读的是数学系，但是由于成绩平平，因而转到了其他系，他的本科学位是文学学士，在《消费函数理论》（1957）这一著作中，他建立了一些数学模型，但是：1不是太多，2不是很复杂，当然，在他漫长的职业生涯中，他也建立了一些重要的数学模型，因而，他有一定的数学功底（弗里德曼在统计学中也有较高的造诣，他能发展一些统计方法来处理复杂的数据，当然，如所周知，真正高深的统计学研究需要以实变函数和概率论为基础）；而哈耶克则对数学很不信任，他曾写过《科学的反革命》一书，在书中他非常反对经济学里科学方法和数学模型的运用，就数学功底来说，他即使对微积分恐怕也掌握得不够好，因而，他自然理解不了一般均衡模型或者萨缪尔森的很多经济模型；诺斯的数学功底可能也有一定的限度，例如，他在《经济史中的结构与变迁》一书中虽然也用到了一些统计分析，但这些分析是较为简单的，并不是很复杂，至多只是微积分中的简单部分，我觉得诺斯真正了解的是许多理论和经济史中的大量知识；最后，奈特、熊彼特等人的数学大概也不是太好。总之，经济学家中大概有相当比例的学者数学功底都不是太好，所以产生这一现象的原因是现代数学其实有较高的门槛，即使熟练掌握微积分和线性代数这两个基本的课程其实也是一件比较困难的事。 当然，一些学者们的数学功底存在一定缺陷并不会妨碍他们做出第一流的杰出研究，原因大概有两点：首先，经济学的理论和经验两个方面的范围都非常广阔，因而，有足够多的好问题可供研究；其次，使用一些简单的数学建模来分析经验和理论其实也能得到很多重要的结论。
最后，就理论而言，萨缪尔森自然写不出熊彼特的《经济分析史》（1954）这样的理论性巨著，因为他的知识结构主要集中在数学方面；而如第（三）部分所分析的，奈特、诺斯、哈耶克、熊彼特等经济学家虽然都具有理论深度，但他们的研究风格仍有相当的差异。与此同时，与奈特、熊彼特等专注于深层理论的学者们不同，弗里德曼所做的理论研究则包含很多的现实经验成分，他的研究大概介于理论与经验之间（同时掺入了部分数学），因而他的理论深度略逊于奈特等学者，因为他并不是一位纯粹理论性的经济学家。
在以一些著名经济学家在经验、数学、理论三个方面的相关造诣作为个案进行了一定分析之后，现在我们想整体地探究经济学界的深层研究趋向；而如果我们考察20世纪经济学的总体进展，会发现至少存在三种不同的研究方向：首先，其中的有些发展是数学性的，如赫尔维茨、萨金特等人所发展的理性预期学派，以及索洛、卢卡斯等人所开辟的经济增长模型；其中，数学性的进展又可以区分为两个方面：一是使用浅显的数学得到的结论，如宏观经济学中的IS-LM模型；二是使用高深的数学才得到的创新，如赫尔维茨等人发展的理性预期学派；其次，有些是理论性的创新，如诺斯的新经济史，科斯的交易成本理论，弗里德曼的货币主义学派等；最后，也存在一些综合性的研究进展，如凯恩斯的货币与需求理论大致介于理论与数学之间，阿罗、阿玛蒂亚·森等人所发展的社会选择理论也介于理论与数学之间，而弗里德曼的货币主义学派则介于经验与理论之间；总之，在二十世纪经济学的广阔进展中，有些是数学性的进展，有些是理论性的进展，还有些则是数学、理论的交叉进展或者经验、理论的交叉进展亦或数学、经验的交叉进展。概言之，20世纪经济学的发展虽然花团锦簇、宽广丰富，但我们还是能大体观察到一些主要的基本趋势。
（七）重要经济学家的思想及相关思想的接受、认知程度
如上文所说，经济学的发展主要是由重要经济学家所推动的，因为这些重要的经济学家都提出了意义深远的学术理论，如科斯的交易成本理论，哈耶克的“自发秩序”理论，阿罗的一般均衡理论和不可能性定理，熊彼特的“创造性破坏”理论，弗里德曼的货币主义，或者诺斯的新经济史等，显然，这些理论在经济学界中都是脍炙人口的；而这些理论之所以产生广泛的影响，主要原因自然在于这些理论的重要性，因为它们都刻画了我们所生存其中的周围世界的一些重大特征，因而都具有强大的解释力，总之，这些理论都有坚实的基础。
但是，我觉得过度夸大这些理论的影响也是不很妥当的；譬如，科斯的交易成本理论当然非常重要，但是如果我们认为它能解释所有的经济现象和社会现象，那显然也是不妥的，因为它所阐明的自然只是经济领域的一部分事实；在此，我们可以举出一些数学界中的类似例子，例如，黎曼所开创的几何学理论和复变函数论当然是高度重要的，但是，这些理论也只是整个数学领域的一小部分，它们自然也不可能解决所有的数学问题。因而，这些重要经济学家的理论都有两个基本的特征：第一，它们都非常重要，有着很广泛和深刻的解释力；第二，由于经济现象是包罗万象、极度复杂的，因而任何一个重要的理论毕竟也有自己的局限，它们只能解释一部分经济和社会事实，即对一些理论过度重视和过度阐释，进而片面地夸大它们的解释力也是不够明智和审慎的。我觉得只有同时理解了这两个基本的特征，我们才能对很多经济理论形成合理的认识；并且，如果我们将一些重要的理论作为综合工具来使用，同时运用许多的重要理论来分析复杂的经济事实，那么我们可能会得到很多更为成熟、睿智的认识。
与此同时，重要经济学家们提出的思想是一个方面，而学术界对他们思想的总体的理解和接受程度则是另外一个同样重要的问题。我们认为，由于多种因素的共同作用，在很多情况下，人们对一些伟大经济学家的思想理论的理解都存在两个普遍的基本缺陷：零碎、片面和肤浅。
首先，以杰出的经济学家科斯为例，他最为知名的贡献自然是独创性的交易成本理论，由此他也成为新制度经济学的奠基人之一；但是，我们认为，很多经济学者对他的理解往往失于肤浅；由于他的部分学术精华反映在他的最重要的两篇论文中，即1937年发表的《企业的本质》和1960年发表的《社会成本问题》，因而下面我们就以《企业的本质》一文对科斯的思想及在学术界的总体接受、认知情况做些分析。
从这篇经典性的文章中，我们大概能体会到以下三点：首先，科斯的思想是非常丰富、深刻的，从该文繁复的文献征引中（这些引用自然需要注明页码、版次等），我们能了解到科斯的阅读和思考范围确实非常广泛，这也是他的学术原创性的基石；其次，如果科斯只是发现了交易费用这个一般概念，而不能阐明三种主要的交易费用，那么他的论文也不会有很大的影响力（此后，诺斯等人将交易成本的概念创造性地应用到经济史领域，赋予了这个抽象的概念以实质性的内涵，连同其他一些学者的努力，也进一步扩大了交易成本理论的影响力），即对于学术文章来说，只有一些单薄的原创性观念是不够的，它必须要有很深厚的内涵；第三，该论文的性质是原创性和基本性的，这与我们的一些学者的研究构成了鲜明的对比，一方面，我们的不少学者的论文只是在陈述大部分人都比较了解的普通事实，另一方面，即使一些学者的文章的内容有些原创性，但由于不够原理性，因而只是有暂时性的意义，自然也不太可能有很大的学术重要性。总之，我们的不少经济学者对科斯的这些论文的问题意识、理论内涵等的理解都是不够深入的，他们的认识中包含很多的人云亦云的成分。
再如，当人们提起弗里德曼时，很多人大概只会想到他的货币主义观点，即政府需要控制货币数量，这样就能控制住通货膨胀，但是他们恐怕并不是很了解弗里德曼这一观点的理论依据：弗里德曼的此一观点来源于费雪的交易方程式：MV=PT，在此，M表示一定时期流通中货币的平均数量，V表示一定时期单位货币的平均周转次数即货币流通速度，P代表商品和劳务价格的加权平均数，T代表商品和劳务的交易数量；由于V是由社会制度和习惯等因素决定的，所以长期内比较稳定，可以视为常数；在充分就业条件下T相对产出水平保持固定的比例，也是大体稳定的，也可以视为常数；因而，交易方程式就转变为货币数量论，即价格水平P仅取决于货币数量M的变动，当M变动时，P作同比例的变动，显然，这些分析直接导出了弗里德曼的货币主义观点；同时，关于弗里德曼的货币观点，很多人恐怕也并不是很熟悉他的货币需求函数：Md/P=f(Y,w,Rm,Rb,Re,gP,u)[25]
第三，以另一位经济学家哈耶克为例，人们对哈耶克的认识也大多停留在他坚持自由市场、反对计划经济这一点上，而哈耶克的总体思想体系当然要比这种简化的认识复杂、深刻得多；例如，哈耶克对分散知识的强调是广为人知和被普遍接受的，但是他的这一观点其实是建立在个人行动的不可预知性、新思想产生的不可预见性和社会自发进化过程中的广阔原创性这三个方面的基础之上的，而很多人对此的理解则较为肤浅，因而很多学者对哈耶克的理解往往不够深入、系统，如历史学家林毓生所写道的：“哈耶克每出一书，许多报章杂志接着便出现了不同的赞誉和批评。可是，事实上，许多书评的作者并未彻底了解他的论旨。举例言之，笔者数年前读哈佛大学政治系教授弗里德里希（Carl Friedrich）在《政治评论》所写的关于《科学的反革命》的书评时，就觉得他说了半天，到头来却实在没有懂得哈耶克书中主要的意思。弗里德里希是相当有地位的学者，尚且如此，等而下之，就不必说了。又例如哈耶克的大著，《自由宪章》出版以后，英国许多学者合写的读书报告······其中有几篇很精彩，但有几篇对哈耶克立言的主旨却没有深切的了解。”[26]显然，林先生所描述的情况既出现在一些学者对哈耶克的总体理解上，也出现在部分学者对其他重要的经济学家们的整体理解之中。
第四，经济学者们对重要的经济学家阿罗的认知程度则出现了另外的一些特征；由于阿罗的数学能力非常好，因而，他的论文和著作中使用了大量的数学，这自然使得人们对他的深入理解出现了较大的困难。当人们提起阿罗时，自然会想到他的一般均衡理论和不可能性定理；但是，这些模型都非常复杂：首先，它们的前提即比较复杂，涉及到很多的经济学假定；其次，它们的推导过程也很曲折繁复，牵涉到很多其他的相关定理；因而，这些定理其实都有很丰富的内容，同时，它们背后还有着更广阔的整体理论（如社会选择理论），是这些理论的一个组成部分；因而，很多经济学者对阿罗的一般均衡理论和不可能定理的理解也往往比较零碎、肤浅和笼统。
总之，通过对科斯、弗里德曼、哈耶克和阿罗这四位重要经济学家的分析，我们能意识到其实经济学界对他们的理解往往是较为零碎而笼统的；一方面，几乎所有的经济学家都对这些杰出学者非常熟悉，他们也常常把这些经济学家的理论挂在口头，但是，另一方面，他们对这些经济学家的理解其实比较笼统，不够条理而深入。容易理解，很多学者对诺斯、熊彼特等经济学家的理解恐怕也存在这一基本的问题；简言之，杰出的经济学家们的确提出了重要的观点，并且写出了重要的著作，但是，人们对这些观点和著作的理解常常不够深入，这一点对我们来说大概是有意义的提醒。
（八）经济学的基本价值
在上文对经济学的方法论等方面作了较为系统的讨论之后，在本文的最后部分，对经济学的内在价值与意义等方面进行一些分析是有价值的。如所周知，人文社科类的理论研究主要有三种价值：解释事实，预测事实和改变（指导）事实，那么，经济学具备这三重价值吗？
首先，在理论的多种价值中，解释事实自然是最基本的；而且经济学家们也大多以解释事实自期，如马歇尔领导的剑桥学派即以解释世事为指导原则。我想很多学者恐怕也都认为经济学、政治学等学科的基本使命即在于解释复杂的现实生活：由于现实生活是混乱、广阔的，因而，需要思想界对它进行梳理、分析，整理成为有秩序的认识，并且分析它们的深层成因；这样的学术工作一方面会有助于社会各个领域的人们的日常生活，另一方面也有助于经济、政治等领域内的从业者的实际工作。当然，由于我们生存其中的现实世界是包罗万象、极度复杂的，因而，对它进行全面、合理的解释自然并不容易；由于在复杂的现实中各种因素往往相互关联，而经济学家的考虑有时会忽略其他的重要因素，导致经济学家们运用自己的理论来解释事实时常常出现片面性。下面即是几个适当的例子。
在分析了两个经典的经济理论的解释力之后，现在我们想分析一个著名的经济模型的解释力，即柯布-道格拉斯生产函数。首先，它的基本形式是：
Y=A(t)L^α K^βμ
式中Y是工业总产值，A(t)是综合技术水平，L是投入的劳动力数，K是投入的资本，α是劳动力产出的弹性系数 , β是资本产出的弹性系数，μ是随机干扰的影响，μ≤1 。从这个模型可以看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平。
根据α和β的组合情况，它有如下的三种类型：
(1) α+β>1，称为递增报酬型，表明按现有技术扩大生产规模来增加产出是有利的。
(2)α+β<1，称为递减报酬型，表明按现有技术扩大生产规模是得不偿失的。
(3)α+β=1，称为不变报酬型，表明生产效率不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。[28]
总的来讲，柯布-道格拉斯生产函数在农业、工业等方面与很多的经济数据较为符合，因而，有一定的价值；但是由于它是一个高度简化的模型，因而，它与另外的很多经验数据之间则存在着很大的误差，所以出现了对它的许多批评，其中主要的质疑有两点：其一，劳动力产出弹性系数α和资本产出弹性系数β在这个模型中是按常值假定的，但是，在现实生活中，劳动力产出弹性系数和资本产出弹性系数这两个参数显然都在不断地变化；其二，这个模型只考虑了工业产值与劳动、资本两个要素的关系，而忽视了技术、管理等重要的层面，这自然也是很不妥的，因为技术对生产的影响无疑是非常巨大的。
总之，结合多方面的事实以及上述的几个经典的例子，我们能体会到经济学的理论有一定的解释能力，但有时也有片面的地方，这两个方面无疑都是经济学理论的重大特征。
其次，在考察了经济学的解释功能以后，我们自然需要考察经济学的预测功能，关于经济学预测事实的能力，某些经济学家认为自己能预测未来经济的精确走势，我觉得这是不够理性的行为。
与此同时，对于预测一个国家或某一行业的总体经济状况来说，显然，也是一件很困难的事情；总体而言，如果我们掌握着广博的经验和大量的信息，那么我们大概能在一定程度上估测出大体的方向，而这些总体预测与特定学者的知识结构、经验范围、思维能力等自然有着很密切的关系，即对宏观经济预测的准确程度与相关学者的总体知识、经验、思想积累和综合能力有着直接的联系。
第三，我们也需要考察经济学的改变（指导）事实的功能。总的来讲，经济学家改变（指导）现实的能力至少存在两个很大的障碍：其一，关于很多经济问题，不同经济学家的看法往往会不同；一个常见的说法是如果给100个经济学家提问同一个问题，他们会给出101个答案，这句话虽然是笑谈，但也说明了部分事实，即经济学家们对很多问题的判断都很不相同；例如，关于中国央行应该实行加息政策还是减息政策，学者们就会众说纷纭；而意见的不一致当然削弱了经济学者们的意见力度。其二，经济学家掌握的经济知识未必比普通民众多出很多，由于很多经济学家沉迷于理论探究，因而他们懂得的实际经济信息可能并没有普通民众多，如部分经济学家就不熟悉白菜、豆腐、土豆、芹菜、茄子、豆芽等日常食物的价格这类很普通的事实，这自然也是一个很大的问题。
总之，经济学的指导（改变）现实的功能大致体现在经验研究和理论研究两个层面。
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[5]瓦尔拉斯法则有如下的内涵：对每个主体i,令Ei是他的初始禀赋，xi是他的马歇尔需求函数，给定一个价格向量p,
此时的超额需求函数是
瓦尔拉斯法则能够被表述为：
证明如下：由定义知，超额需求为
p·
在预算约束的前提下，马歇尔需求是一组消费实现了最大化的主体的效用，因而这里的预算约束满足：
p·
因此，上述加和之中的所有项都是0；因而，项本身也是0。
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Y=A
如我们所熟知，替代弹性是一个较为复杂的概念，它度量要素比率的百分比变动除以技术替代率的百分比变动；柯布-道格拉斯技术的替代弹性是1，而CES技术的替代弹性不变，但不必等于1，为
为此，我们取CES生产函数的log形式，得到：
ln(Y)=ln(A)+
利用洛比达法则，有
因此，可得
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