美式期权——停时，优化，分析性质，以及概率性质
2017-03-30 13:35阅读：
首先，美式期权的价值一定不低于比欧式期权，原因在于美式期权的限制条件更少。美式期权持有者可以选择在期权到期前的任意时间执行。相比之下，欧式期权持有者拥有的自由度很小，只能在期权到期日选择是否执行。
这一章说明美式期权的价值并不比欧式期权来得高。
美式期权的内在价值指立刻执行期权所产生的价值。显然，美式期权的价值一定不低于其内在价值。然而本章要说明的恰恰是美式期权这个特点其实不给它带来附加价值。美式期权的另一个特点是提前行权溢价很高。
Bermudan期权介于美式期权和欧式期权中间。Bermudan期权运行期权持有者在期权到期之前的特定交割日执行期权。
8.2提出了停时的概念。停时关于时间
t所产生的
\sigma代数可测。这一章里，停时模拟的就是美式期权的执行时间。
定理
8.2.4给出了停时最重要的一个定理。假设给定一个鞅，把它在由每一条路径确定的停时
\tao(\omega)冻住，即从
\tao(\omega)时刻开始这个随机过程的值不变，那么这个新产生的过程也是一个鞅。同样定理适用于上鞅和下鞅。这个新鞅产生的样本路径在图
8.2.1中给出。
8.3
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永久美式期权没有固定到期日。这是最简单的一种值得研究的美式期权，原因在于最佳执行显示时间并非显而易见，但显式表达式是存在的。其在t时刻的内在价值为
K – S(t)。
定义永久美式看跌期权的价值为期权执行时刻回报的折现价值取期望的最大值。这样定义的原因在于，第一，期权执行时间是一个停时，也就是期权拥有者只能通过过去时间的信息来判断是否执行期权。第二，期权拥有者要通过制定策略将这个期望最大化。
永久美式期权的风险中性定价和欧式期权定价有所不同。在之前的章节中讲到，欧式期权的价值是对冲此期权所需的资本。对永久美式期权来说，定价时没有制定一个对冲策略，而是运用分析和概率的方法制造一个最优策略。
从永久美式期权本身的性质来看，一个策略应该适用于所有时刻，因为时刻之间除了股价不同，其他状态对判断是否执行没有任何影响。这不同于有到期日的期权，接近到期日和远离到期日可能对策略有不同的影响。基于这种观察，假设永久美式期权的执行由标的资产价值决定，如果资产价值低于某一个值，则选择执行，如果太高了，则继续等待，不执行期权。将这个值表示为L。在这种情况下，根据风险中性测度和在布朗运动下首达时间分布的表达式，写出期权价值的显式表达。
Lemma
8.3.4综合观察和之前的计算，给出了期权价值的分段函数表达式。如果标的资产价格低于
L，期权价值就是行权价值和资产价值的差，如果大于，则按照之前计算的期望表达式。根据
8.3.1小节的最后一行表达式，观察到
v(x) 是关
x的次方函数，而且次方为负数。因此
v(x)关于
x 的函数呈图
8.3.1的形状。接下来的小节分布详细描述了期权价值在分析和概率上的性质以及相关定理的证明。
在 x确定的情况下，写出
v关于
L的表达式，将其关于
L极大化。
从分析角度来看，函数
v在分段的端点的导数存在。 对
v(x)的分析证明它满足线性互补条件。事实上，v是唯一满足
8.3.18，8.3.19和
8.3.20给出的线性互补条件的有界连续函数。这个性质本质上和美式期权的上鞅性质有关。
从概率角度来看，如定理
8.3.5所指出的，过程v的折现价值是一个上鞅，再加停时以后是一个鞅。
这一章最重要的是引理
8.3.6。它告诉我们，不论我们怎样取停时，期权的价值都等于执行取停时为首达时间时所得的表达式。引理
8.3.6的等式左边已知，等式右边未知。因此个人认为的等式两边可以互换位置以便于理解。这个等号证明首先用了
v_L* 折现价格的上鞅性质和控制收敛定理
DCT推出“>=”,接着由于
v_L*本身也是取停时得到的一个折现价值期望，它必定小于等于集合的最大值。由此得到等式左右两侧相等。
