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08-079．间断函数有原函数吗

2007-09-20 20:44阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1252620073

08考研数学辅导系列之79
可积的间断函数有原函数(不定积分)吗?
————答08考研朋友wyky同学
龚成通　 http://blog.sina.com.cn/slsq
　　9月16日答08考研朋友wyky同学问
　　　　老师您好！
　　我想请教一下，对于不连续的可积函数它的原函数一定连续吗？
　　 对于分段函数，每一段积分后，都有个常数，那最后积分结果的常数怎
　　　　么确定？
　　 急切盼望答复！
　　经常有同学捧着某些考研辅导书来问类似的问题．
　　我的回答是“可积函数的原函数为什么一定是个连续函数？”是个伪命题，我的回答，首先是这个问题的前提错了：“可积函数并不一定有原函数”．所以根本不可能有“可积函数的原函数一定是个连续函数”这样的结论，这是某些考研辅导专家是在严重误导．
　　函数“可积”并
不是有“原函数”的充分条件，只有函数“连续”才是有“原函数”的充分条件（并不是必要条件）．所以说函数“连续”并不是有“原函数”的必要条件，因为确实可以举出“不连续的函数也是可能会有原函数”的经典反例的（见附注），但这已经有点偏离考纲了．
　　原函数的概念与导函数的概念是“互逆”的“伴随概念”，根据达布定理“可导函数的导函数只可能有振荡间断点”的结论，可支持我的观点“可积函数并不一定有原函数”．
　　归根结底，是因为可积函数可能有第一类间断点（可去间断点或跳跃间断点），这是就必定没有原函数．
　　“可积”的概念是对有限区间上的“定积分”而言的，没有“可积函数的‘不’定积分”问题，从而08考研朋友wyky同学的第二个问题，一般考研辅导书上的关于“对于分段函数，每一段（不定）积分后，都有个常数，那最后积分结果的常数怎么确定？”也是一个伪问题．
　　因为这要看这个函数（总体）是不是连续？
　　即使分段连续，如果总体不连续（实际上就是分段点处不连续），那么就谈不上原函数和不定积分，也更谈不上常数应该如何确定了．
　　至于总体连续的分段函数，是有一个“不定积分问题中常数的处理”问题．对此，在本博客曾经多次讨论过。请阅读我2007年7月2日写的
《47．再谈关于分段函数的不定积分问题》
《68．《再谈关于分段函数的积分问题》之补充》．
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