357@365综合学习的引领之作
2023-12-23 10:15阅读：
综合学习的引领之作
——2023年12月九年级数学阶段检测第25题分析
“为什么我们的学校总是培养不出杰出的人才？”,著名的钱学森之问。越来越多的学者开始揭秘：过度的应试教育想束缚学生的头脑、眼光和手脚。引领教和学回归素养的轨道，无论改良教的方式还是改善学的方式，发挥考试指挥棒的作用就是重要的措施之一。
2023版《教育课程标准》提出了核心素养，“抽象、推理、模型。”四大领域“数与代数、图形与几何、概率与统计、综合与实践”的展开，核心素养就是主旋律。综合与实践则是课程的创新：以项目学习和主题学习为抓手，感悟自然界和生活中的数学，整合数学与其他学科的知识和思想方法，高扬问题解决的旗帜，强化四基和四能，凸显数学是思维体操的价值。使命有多重，担子就有多大，实施就有多么困难。综合与实践的实施，或者上成了变相的习题课或者被置之一边或者直接搜索与考试相关的内容。一句话，综合与实践虽然有价值有意义，但教学中做的远远不够。
引领综合学习，试题设计呈情境化、主题化、链条化，无论选择第11题“杠杆平衡条件与反比例函数”、第16题“反比例函数系数的纵深研究”还是解答题第24题“三角函数、勾股定理、相似图形、最优化思想的融合”，九年级数学阶段检测设计者做出了独具匠心的尝试和探索。
现以解答25题展开说明。
一．试题回放
25.(本题12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，反比例函数y=k/x（x>0）的图象与矩形交于D,E两点，点B的坐标为（6，3），BE=1.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)求点D的坐标.
连接DE,AC,求证：DBECBA.
(3)若P为x轴上的动点，则DP+EP的最小值为(
) .
二.试题分析
1.转换考察角度，保持思维活力。试题一共涵盖了4个问题：坐标系中有矩形、有双曲线，两个图形是相交的，求满足条件的反比例函数关系式；在前问的基础之上，求第2个交点的坐标；问题继续，证明两个直角三角形相似；在x轴上寻找点，使之两个交点的距离之和最短。前两问属于“数”的范畴，后两位是在数之上“形”的拓展研究。由已知到未知，由初步解决到深入进行，环环相扣。“文武之道，张弛有度”，问题的设计视角转换意味着学生兴奋点的不断转移，始终走在斗志昂扬的大道上；
2.考察深度与广度并举，注重思维灵活性。高效的思维，兼顾发散与收敛。发散思维能够拓展学习视野。25题涉及到的知识点：矩形的性质，与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征，求反比例函数的表达式，运用表达式完善点的坐标，相似三角形的判定，关于坐标轴的对称点，勾股定理大小10多个；涉及到的思想：函数思想、模型思想、转化思想，比如第3小问需要把两条线段之和转化成一条线段，构造出这一条线段为斜边的直角三角形，进而用勾股定理解决问题；重视选择，比如证明两个三角形相似，或者“A+A”或者“S+S+S”或者“S+A+S”方法不确定,选择意味着权衡、辨别和眼光；有跨度有深度，从数的内容到形的内容，从运算到推理，从浅到深“形数相融合”，从数据的提炼、数据的应用到策略的选择，需要的是“博学之，审问之，慎思之，明辨之”。深度和广度代表着学科内部的小综合，难度未必多大，需要的是建立联系、产生联想、纵横捭阖。
3.着眼推理和表达，厚植核心素养。推理，从客观事实出发，依据规则或者也有经验解决问题进而得到新的结论。4个问题中，前两个属于计算，后两个属于推理，计算也是依据规则的推理。环环相扣，体现着推理的精神。点B的坐标、线段BE的长度以及点E和点B的纵坐标相同,由这三个事实出发就可以得到点E的坐标,代入y=k/x求表达式唾手可得；有了反比例函数表达式及点D的纵坐标,再次代入入即可求解；D点E点坐标已经求出，意味着部分线段的值已经获得，证明三角形相似显得自然而然。数学还需要表达，表达思考，表达世界。模型就是沟通数学与世界的桥梁。纵观25题，反比例函数模型、相似形中的“A”字型、将军饮马案例贯穿其中，用模型表达问题中的数量关系，用模型求解未知量，用模型的引领推理三角形相似，用模型的思想构造对称点化两条线段之和为一条线段。有了模型，试题解决才按部就班有条不紊；模型清晰，问题解决才能方向明确不偏不怪。推理和模型是核心素养的核心，在次用力，既体现了命题者的用心良苦，又引领着教和学的方向。
三.试题解决
本题满分12分，全市平均分5.5分左右，接近及格线。
1.第一问，只需要从点B的坐标(6，3)以及BE的长度出发,得到点E的坐标(6，2)，反比例函数表达式y=12/x不难求出；
2.第二问的第一小问，在前问的基础上，代入点D的纵坐标y=3即可；第二小问，解决方法大致有如下4种：结合第一小问，得到BD、BE、BC、BA的长度，利用SAS进行;求出∠BCA、∠BDE、∠BED、∠BAC的三角函数值，两组相等的角，利用A+A证明相似;找到两个三角形当中所有边的长度，用SSS解决问题；求出
DE和AC的表达式,发现它们的k相同,于是可得DE//AC，进而转化成方法二；
3.第三问，只需要找到D点关于x轴的对称点M,连接ME,为此线段构造如下图的直角三角形——
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在RTNME中使用勾股定理就可以求出ME的长度。而，ME就是两条线段和的最小值。
四．失误分析
1.“用OC/BE=OA/BD结合公共角证明三角形相似”，很明显，这是看错了三角形；
2.“用BC/BE=BA/BD直接证明三角形相似”,看得出，这是用错了条件；
3.“把DE//AC当成了条件”，不难发现，这是想当然或者审题不清的缘故；
4.“最后一问空白”，应该说，这时联想不到所有经验造成的；
5.极个别的，“E的坐标写成了（2,6）”，慌不择路，这是望压轴题而眼晕的结果。
五.教学启示
1.注重建立知识点的联系，形成知识网。比如复习一元二次方程，方程的解就是二次函数图象抛物线与横轴交点的横坐标，判别式、方程解的情况、抛物线与x轴交点个数是一个问题的三个方面。建立联系，才能横向纵向发现知识所处的位置，才能总结出问题解决的方向；
2.设计好情景，显示问题串的威力。拒绝题海战术，设计好教学情景，在情境中发现多个层次的问题，引导思维的广度和深度。数与数的教学内容，要看一下能否在图形中找到契合点。图形的教学内容，要思考能否用数字建立数量关系。统计概率，要寻找里边有没有变化的因素。唯有如此，数学虽有难度，但也有兴奋点、新鲜感、兴趣点，学习虽苦也有乐；
3.抓住推理和模型，做好核心素养的文章。情景——模型——拓广，高效教学的典范。寻找身边的、热点的或者其他学科中的素材，抽象出并且放大其中的数学元素，用模型建立数学与素材的联系。函数、方程、不等式、三角形全等相似的基本图形，都是抽象表达之后的立足点。而拓广，就是将发现的、思考的、抽象的继续深入，得到新的结论或者产生新的问题。
“孤木难成林”，综合学习就是要打造“森林”的气场。不仅看到知识的一个点，还要把不同的内容连成一条线，更要善于以素养为纽带提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。综合学习是较新的领域，存在难度也代表了引力，一点一滴地做、持之以恒地抓，创新型应用型才离我们不会太过于遥远，钱学森之问才会成为过去，数学学习才能因思维火花的迸发不断而越来越美。
