38@365不守规矩的问题，居心叵测
2026-02-07 13:06阅读：
不守规矩的问题，居心叵测
数学期末练习，共24个问题。第24题，压轴的问题，满分12分。阅卷结束，史丽颖老师代表教研组做了总结——
这道题综合性较强，涵盖了绝对值的几何意义、数轴（该是线段）中点计算、动点与方程等知识点，对学生的代数运算和几何直观能力都有较高要求。整体来看，学生的得分率3.5分左右。
第一问分为两空，第一空，因为还没有学习一元一次不等式（该是解集）的表示方法，很多同学没写或者胡乱写了一个数，第二空的得分率比较高。
第二问第一题，大部分同学能得到结果2秒，还有一部分同学忽略了动点在相遇时停止运动（的前提）。
第二问第二题，得分率偏低，只有少数学生能完整推导并得出“定值为9”的结论。有一部分同学是代数（该是特
殊值）
，虽然结果也能得到了9，但是不具有说服力。
建议：
1.规范动点问题的解题步骤：训练学生先写出各点的运动坐标表达式（必须如此吗），再根据距离、中点等条件列方程。
2.提升代数式化简能力：通过针对性练习，让学生熟练掌握合并同类项、去括号等运算，提高对“定值问题”的识别与推导能力。
3.增加综合题训练：结合数轴、绝对值、动点的综合题型，培养学生的数形结合思想和逻辑推导能力，提升解题的严谨性与完整性。
满分12，平均得分3.5，仅仅占30%.初中初始阶段的内容和思维层次，情况之惨让人瞠目。进行深入分析，破解命题的特点以及优劣，指向学生的答题症结，调整教学进而顺利开展后续学习才有可能。
一.试题回顾
如图，数轴上有A、B两点，点A表示5，点B表示—1.
（1）当x的取值范围是＿时，｜x-5｜+｜x+1｜有最小值，这个最小值是＿。
（2）C是AB的中点，点A、B、C，同时在数轴上运动，点若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，当A、B两点重合时，运动停止。
经过几秒后，点A与点B之间的距离为2?
经过t秒后，请问，BC+AB的值是否会随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由。若不变，请求出定值。
二.试题解读
贯彻核心素养、符合认知规律、强调信息意识，不同特色交错进行，奏响了浑厚有力的问题解决之曲。
1.以核心素养为主线，命题旗帜鲜明。核心素养，是教的依据、是学的依据，更是评的依据。围绕数学眼光、数学思考和数学语言展开评价，才能有利于教和学的不断调整改进，进而促进教学质量的全面提高。
用数轴以及动点为背景，将运动过程中元素比如点A的坐标，线段BC的长度……统统用数学符号表示，并且用符号刻画线段的大小、点的运动方向以及速度大小。数和形两个角度把握问题，发现猜想其中的规律以及关系，成为了命题的一大特色；
以数学思考作为主线，引领着问题解决的不断深入。先是出现了两个点，给出两个绝对值的和，要求利用概念得到最小值以及未知点的范围。接着，让两个点动起来，方向不一样、速度不一样，分析什么时候两个动点之间的距离为2？最后，给出动线段的中点，动点数量达到了3个，点在运动、线段长度也在变化，分析其中两条动线段之和能否在运动过程当中不变。无论发现绝对值的最小值，还是研究两个动点距离，或是分析两条动线段之和，都指向了数学符号的进一步处理。以数学符号为依托，在问题解决中应用和深化，成为了命题的第二个特色；
以数学模型为立意，不断将表达推向纵深。引入｜x-5｜，可以看成x- 5除去性质符号之后的大小，也可以某两个点的距离。点的坐标，用代数式表示，把运动元素得以化成了静止。两个动点之间的距离，或者用数量的四则运算表示，或者是两个坐标的差，当然也可以表示成方程模型。两条动线段的和，可以化作整式的加减法。运动背景到符号化表示再到用数学语言表示问题，无疑为现实世界打开了一扇窗，这是命题的第三个特色。
2.遵循认知规律，试题层次鲜明。《河北省2025年初中学业水平考指南》明确指出：......合理地设计试题的类型......试题的编排突出层次性、巩固性、延展性、探究性......无论试题类型还是层次性的注重，无不指向了学生的认识问题的渐进性，即为不同学生展开解决问题的画卷。
突出了认识的渐进性。认知，不是从天而降，是在相对漫长的过程中实现的。数轴上有两个静止的点，一个点表示5、一个点表示-1，凭借直观感觉，哪个范围的值能使与包含已知数字的代数式的两个绝对值之和最小；已知的两个点动起来，左边的点向右动，右边的点向左动，距离越来越小，何时距离能够由6缩小为2？运动过程当中，两个点的坐标是变化的，两个点运动距离是变化的，需要画图分析，或者用代数式或者用方程链接其中的关系表示了。而最后一问，再出现一个动点，所有的线段都是运动变化的，需要引入代数的思想，将其中的两条动线段用代数式表示，进而进行加减计算，可以得到一个固定的值”9”，于是变化中有了不变的因素。由直观到计算再到推理为主，认识过程由浅到深、层层递进，直至用特殊值辅助试验用字母验证达成探究。有层次展开解决，不是开门见山被庞然大物吓坏，说到底是思维的深入，成就了数学思考小学到初中的认识过渡。
打造了不同题型的组合拳。选择题和填空题，条件和问题相对简单，答案简洁明快。解答，能够呈现思维的路径，解决过程的优势和劣势一目了然。单一题型，或者不能暴露问题，或者思考与撰写需要同步耗时费力。本试题，一共三问：第一小题包含两个填空，第二小题可以是四则计算也可以是方程为主的解答题；第三小题则是代数与几何综合，数与形并进的大型探究问题。题型综合，书写思和思维有缓有急，张弛有度中保障了考查的科学性。
充分考虑到了小学和初中的衔接。小学的数学，可以称之为算术，主要由具体的数字和量组成。到了初中，具体的数和量要一般化，由抽象的符号加以表示，即字母表示数，代数式是初中数学的一大特点。前面试题的设计中，点A和点B是固定的点，代表的数是具体的数。两个点一旦动起来，坐标具有着无数可能、点的坐标的可能是无限的，变化着的线段也会有无数个值。想要实现问题的顺利解决，必须将变化的值抽象成字母，显现出各个量的一般意义。代数，无论方程不等式还是函数，接触到了具体问题数学化的根，命题设计考虑的长远可窥一斑。
3.突出了信息意识，搜集信息、表示信息、处理信息一条龙，命题质量所以加了码。现在的社会，是信息的时代，陌生信息不仅大爆发而且扑面涌来。而，微信、快手、抖音为代表的自媒体，是学生喜闻乐见的信息来源，正是构成信
息碎片化的祸首。鼓励学生静下来，冷静对待信息，找条件表示条件、找问题刻画问题，问题解决方能因为“货源充足”顺利推进。
调研中的24题，点有五个：表示5的点A，表示-1的点B，运动着的点A、点B，原线段AB的中点C；三个动点有着不同的速度，方向也不同；涉及到了三条线段的长度，分别是动线段AB、BC，某一瞬间的AB。如此多的条件，可贵的是存在了“当A、B两点重合时，运动停止”，学生也可以获得减压的机会。剪不断，理还乱——除非用彩笔标记，在线段图上做标注，或者在草稿纸上写出各条线段所代表的代数式，否则只能陷入一团粥。
收集之后是处理，比如点A表示的数是5，它以每秒1个单位长的速度向左运动，运动之后对应坐标该表示为5-t.坐标和线段都该如此，只有这样才能建立代数式、四则计算、整式加减、方程的模型，为问题解决铺路。
评价是教和学的指挥棒。评的方向，代表着教和学的方向。信息加工能力的偏颇，碎片化信息的肤浅，信息意识的淡薄，是课堂中亟待解决的问题。针对薄弱点发力，引起教师和学生的重视，不得不说命题者登高望远、匠心独运。
三.试题解决
第一问：两个绝对值的和，里面的式子搞不清正负，可以分成3种情况去分别讨论“x＞5、1≤x≤5、x＜1”，当然x=1或者 x=5可以利用作为一种情况；还可以把绝对值看成两个点的距离，即作为一个点分别到5与-1距离之和来看待。分成三种或四种情况的分类，或者看成把绝对值看成两个点的距离，都超出了课程标准以及学生的接受范围，但如果只是针对尖子生或者学生们在练习当中涉及过此类内容或者课堂上进行过专题研究，就另当别论了。
第二问的第一小问，A、B两点起初的距离为6，相向而行，距离减少到了2，因此，相向而行的两个点共运动了4个单位长度，将运动总长度除以速度之和即可；可以可以利用方程，运动时间为x秒，两个点的运动距离都可以表示为“1x”，即1x＋1x=4，即运动总距离等于2；还可以表示A、B运动之后的坐标，新的A对应为“5-x”、新的点B对应为“-1+x”，由题意，A在左、点B在右，用点A的坐标减去点B的坐标，就是现在的距离2。四则运算或者两个角度列方程，差别并不大，无非用不同角度寻找关系列关系式罢了。
最后一问，判断两条线段之和是否为定值。不难分别得到新A、B、C 3个点的坐标，“5-t、-1+t、2+3t”，由于B总在A的左边、C总在C的右边，因此AB、BC两条线段可以用代数式进行表示为（5-t）-（-1+t）、（2+3t）-（-1+t），两个整式相加，（5-t）-（-1+t）+（2+3t）-（-1+t），运算结果是9，当然不变；可以结合线段图去分析，AB两个点原距离为6，相向而行运动，（根据题意当然是相遇之前），由于速度之和为2，运动之后的线段AB很容易得到结果6-2t.而，运动之后的BC，原距离为2-（-1）=3，同向而行，并且C总B的右边，所以差距越来越大，每秒钟相当于一个速度之差2，所以BC的长度表示可以为3+2t，不难得到AB+BC为定值9.
四.试题反思
金无足赤，人无完人。试题命制也是如此。没有最好，只有不断走在趋于更好的道路上。满分12分，平均得分3.5，可怜到了小于30%的低比例，暴露出的问题绝不容忽视。通过对命题不同角度的分析，就是千方百计实现更好，发挥评价的指挥作用，以期促进教和学质量的全面提高。
1.超标现象让人堪忧。2022版课标明确指出：借助数轴理解绝对值的意义，掌握有理数的相反数和绝对值的方法。绝对值的意义，教材的例子只是“一个点到原点的距离”，即只研究具体数字的绝对值。而，不明正负的代数式去求绝对值，需要分成三种情况去讨论，显然超过了理解层次。虽然在有理数减法中，两个点的距离有所涉及，比如5与-1，只是表述成了的数字减去小的数字。如此高调抛出绝对值来考查，是要教学做补充吗，让学生多做练习吗，还是故作高深呢，答案不得而知。评价是教学的指挥棒，如此糊里糊涂展开，反馈肯定一塌糊涂，于教学指导的意义宛如鸡肋。
2.试题起点远超出了学生的认知水平。虽然生活中有大小、多少、高低式的不等关系，但并没有系统研究过。表示不等式的解集，是八年级以后的事情。多情况的分开讨论以及两点间距离，超出了学生现有水平只是其一。更有甚者，问题接触之初的解决调子突然拔高，只能害的学生头晕脑胀、无所适从。平均分之所以低到过了，于此该脱离不了干系。拒绝由浅入深，要打学生一个冷不防吗，要把学生热情瞬间浇灭吗，是要让学生长点教训吧，答案不得而知。降低考试垂直难度、增加考试水平宽度的大背景下，偏要逆势而为，只能把教学引向无限拔高的误区，“普及教育、大众数学、面向全体”也会因之为变成美丽的装饰。
3.重要条件的淡化干扰了学生的问题解决。“重要的事情说三遍”，意思是引起注意，防止不该发生的失误，“有则改之，无则加勉”。受自媒体信息碎片化影响，受跳跃阅读的影响，学生难免喧宾夺主，捡了芝麻丢个西瓜或者重复地吃苦头。“当A、B两点重合时，运动停止”，控制后续问题解决方向的条件，竟然遭到了轻描淡写。如果忽视了，新的线段AB距离为2就得分成相遇之前和相遇之后两种情况，线段AB+BC也会存在不同的可能。而且，越是水平高的学生，越是思维成熟的学生，倘若忽视了条件，就会越钻越深，深到泥淖中不能自拔。重要的条件不做强调，然而却是考查的重要线索，喜欢看学生笑话吗，要用失败来惩罚学生吗，要看学生脆弱的心理吗，故意在阅读方面为学生使绊子吗，答案不得而知。故意制作陷阱，因为困难只是雕虫小技，兴趣和热情是学习的老师，一面调动、一面打击，会因为如此评价而成为学生的梦魇。
不按套路出牌，以“先抑后扬”作为评价法宝，会让学生噤若寒蝉的。长此下去，数学课堂必将会陷入死一般的沉寂，因为“哪里跌倒，就在哪里爬起”，“屡战屡败，屡败屡战”只是少部分人的专利，我们面对的只是尚不成熟的孩子——鼓励、肯定、成功才是学好的不二法门。
只需稍稍调整，试题立刻改头换面、锦上添花——
......
（1）当x等于＿时（任取一个符合题意的数就行），｜x-5｜+｜x+1｜有最小值，这个最小值是＿。
如此改动，不等关系不见了，学生只稍稍需要观察、多尝试几次就可以了，难度显然降低了许多。当然，如果试题加入阅读环节，“|a-b|表示两个点的距离。如|x+7|表示x与-7的距离，|x-2|表示x与2的距离，”之后再给出问题，就再好不过了。“入手易”，在于营造宽松氛围，降低学生的焦虑，为正常发挥奠定基础。
......当A、B两点重合时，运动停止。（为重点条件添加重点标注）
当A、B两点重合时，两个点运动了几秒？（增加第一问）
在第问的前提下，（增加几个字）经过几秒后，点A与点B之间的距离为2?
不做改动......
标注和增加第一问，重在提醒，即让避免学生无谓的失误。河北省中考，容易题，中等题较难题占分比例约为35：2，难度较大的内容仅仅占20分左右。提醒学生，可以照顾学生的阅读水平，可以看作对认知规律的遵循，更可以视为对命题科学的敬畏。最后一问的两条运动线段之和是否为定值的研究，恰恰是前几问的厚积而薄发、恰恰是充分酝酿之后的数形大综合。优秀的问题，不是越难越好、越偏越好，而是学生做好充分准备了，顺势而为地大力度，让学生自然而然地被带入——思考着、兴奋着、焦灼着并快乐着。
