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谈模型范畴的导出函子

2026-02-03 12:14阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1215048895

在模型范畴理论中，（完全）导出函子有抽象与具体两种不同的定义方式，抽象的定义主要用Kan扩张，而具体的定义则是借助上纤维重置（cofibrant replacement），下面我们就来简单分析一下。
先看具体的定义，这是模型范畴书中的标准讲法（比如【1】）.
设C与D都是模型范畴，F：C→D是左Quillen函子，可定义其完全导出函子为：
LF=Ho（F）Ho（Q）：Ho（C）→ Ho（C_c）→ Ho（D）
这里Q是模型范畴C内的上纤维重置，Ho（C_c）→D是由范畴局部化给出的导出函子，再映到Ho（D）就是完全导出函子。
这里的局部化函子存在，主要是由左Quillen条件加上Ken Brown引理保证的。Ken Brown引理说，如果F把上纤维对象上的任何平凡上纤维映到弱等价，则它就把上纤维对象上的任何弱等价映到弱等价。由左Quillen条件，F保持平凡上纤维，限制到上纤维对象上依然保持，因此它限制到上纤维对象上保持弱等价。我们注意到，范畴C中的弱等价就是在其同伦范畴（homotopy category）Ho（C）中可逆，F在同伦范畴中保持可逆态射，因此可以有这样的范畴局部化。
再看抽象的定义，这是一种高观点的处理方式（参见【3】）。
设M与N是有局部化γ：M→Ho（M）与δ：N→Ho（N）同伦化范畴（homotopical category，它不是上面提到的同伦范畴，而是模型范畴的一般推广，可通过对弱等价的2/6性质定义）且F：M→N是函子，F的左导出函子指同伦函子LF：M→N配备自然变换λ：LF→F，使得δλ：δLF→δF是δF沿局部化函子γ：M→Ho（M）是（绝对）右Kan扩张。δLF：Ho（C）→Ho（D）称为其完全导出函子。
为了保证这样的抽象导出函子存在，我们需要定义左形变（left deformation）的概念。同伦化范畴M的左形变 指有
自然弱等价q：Q→1的自函子Q，它实际上就是上纤维重置的抽象。这里我们先考虑映射Q，然后再把它的像定义为范畴M内的上纤维对象。同伦范畴之间的函子F：M→K称为可左形变的，若存在M上的左形变，使得F在其上纤维对象的子范畴上保持弱等价。可以证明：若F：M→K有左形变q：Q→1，则LF=FQ是F的左导出函子。
下面的处理算是一个综合的方案，把Kan扩张的条件叙述了出来（参见【2】）：
设M是模型范畴，C是范畴且F：M→C是函子，定义F的左导出函子为LF：Ho（M）→C连同自然变换ε：LFγ→F，使得对（LF，ε）满足“左边接近F”的万有条件：若还有这样的对（G，ξ），则存在唯一自然变换θ：G→LF，使得ξ=ε（θγ）. 事实上，这个万有条件就是F沿局部化函子γ右Kan扩张的解释。
接下来证明：若F映M的上纤维对象之间的平凡上纤维到同构，则F左导出函子存在。设M与N是模型范畴且F：M→N是函子，若F映M的上纤维对象之间的平凡上纤维到N内的弱等价，则F的完全左导出函子存在。
扩展阅读：
【1】Hovey M. Model categories[M]. American Mathematical Soc., 2007. （模型范畴的基本参考书，内容简明且不失深度）
【2】Hirschhorn P S. Model categories and their localizations[M]. American Mathematical Soc., 2003. （模型范畴的高级参考书，内容细致且相当丰富）
【3】Stable Categories and Structured Ring Spectra[M]. Cambridge University Press, 2022. （稳定范畴与环谱的讲义集，高观点简明处理了模型范畴）

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