“经典力学的数学方法”笔记
2018-02-25 00:08阅读：
标题曾经想写成“
最速降线、泛函、变分法、欧拉方程、拉格朗日方程、哈密顿方程、最小作用量原理、路径积分、泛函分析”来着，最后还是决定用“经典力学的数学方法”这个标题了。
问题的来源是这样的：虽然看了“微积分本质”讲座，对“微积分”的基本原理和求解问题的基本过程及方法是大体了解了，但是，离“看懂”的要求还太远。以我这些年读科普书的经验，要想“看懂”至少得懂“哈密顿方程”和“相空间”才行。于是搜了一下，发现遇到了无数个陌生的概念，每个陌生的概念都去搜一下的话，就要打开无数个页面，看的头都晕了，还是没法统一起来搞得懂是怎么回事。于是，准备做个“来龙去脉”的索引，即便现在“不懂”，也可以为日后如果有时间、有兴趣、有精力想来再学点的话，也算有个“逻辑目录”的指引，不至于那么的杂乱和茫然。
主要是看了这几个资料来帮助整理“索引”：
哈密顿原理和拉格朗日函数的由来是怎样的？
https://www.zhihu.com/question/49361447
变分法简介
https://wenku.baidu.com/view/bb229fd084868762caaed5b1.html
拉格朗日方程的三种推导方法
https://wenku.baidu.com/view/0db3984cc281e53a5902ff31.html
哈密顿力学和拉格朗日力学分别的优势是什么？
https://www.zhihu.com/question/5130
1781
为什么变分法的教材这么少？
https://www.zhihu.com/question/20146597
360百科——泛函
https://baike.so.com/doc/5750011-5962769.html
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还是遵循我说的“问题索引”的方式来整理，这样比较容易理解“怎么回事”的“来龙去脉”，也就是“问题”、“过程”和“历史”的方式。
一、问题的来源——“最速降线问题”（泛函、变分法、欧拉方程）、“牛顿方法的困难”（哈密顿方程、最小作用量原理）
1、“最速降线”问题
问题的直接来源是所谓
“最速降线”问题。
约翰·伯努利（
Johann
Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出
一个难题：
“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较
低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”
——
这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone
Problem）
这个问题的特殊之处在于，它不同于以往我们解方程、求极值的问题，以往的方程其对象是“数”，也就是我们说的“函数”，它所表示“数”的关系的一种“变换”，例如函数的一般表达方式y=f(x)，自变量x的取值对象是“数”，经过函数的变换得到的因变量y的值也是个“数”，因此，“函数”就是表示的从一个“数集”到另一个“数集”的对应变换关系。解方程也就是求函数的极大值、极小值的问题。而“最速降线”问题也是求极值的问题，但是，它所求的不是“数”，而是一个“未知函数”（曲线），来满足所给的条件。
由“最速降线”问题也就引出了
“泛函”的概念来了。“泛函”，简单的说，就是这样一种“函数”，它的自变量不是“数集”，而是“函数集”，也就是说，“泛函”是“以函数为自变量的函数”。
1）泛函的概念
设
S为一函数集合，若对于每一个函数x(t)∈S有一个实数J与之对应，则称J是定义在S上的泛函。记作J(x(t))。S成为J的容许函数集。
我们称如下形式的泛函为
最简泛函
J(x(t)
)=
∫F(t，x(t)，x`(t))dt
定积分的上下限为t(0)和t(f)
(1)
被积函数
F包含自变量t，未知函数x(t)及导数x(t)。
“泛函极值”问题，可以表述为：
称泛函
J(x(t)
)在x0(t)
∈S取得极小值，如果对于任意一个于x0(t)接近的x(t)∈S，都有J(x(t))≥J(x0(t))。
所谓“接近”，可以用“距离”d（x(t)，dx0(t)）<</span>ξ来度量。而“距离”可以定义为
d（x(t)，x0(t)）=max { | x(t)-x0(t) |，| x`(t)-x`0(t) |
}，t(0)≤t≤t(f)
泛函的极大值可以类似地定义。其中x0(t)称为泛函的极值函数或极值曲线。
可以看出，“距离”d（x(t)，dx0(t)）很类似“微分”时的
dx，即，函数f(x)的自变量x的增量。在泛函中，泛函的自变量是函数x(t)，其在x0(t)的增量，记为δx(t)=x(t)-x0(t)，也称为“函数的变分”。
由它引起的泛函的增量，记为∆J=J（x0(t)+δx(t)）-J（x0(t)）
可以看出，泛函的增量∆J很类似“微分”时的dy。
如果把泛函的增量∆J改写成∆J=L（x0(t)，δx(t)）+r（x0(t)，δx(t)）的形式，其中，L是δx(t)的线性项，r是δx(t)的高阶项，则称L为“泛函在x0(t)的变分”，记为δJ(x0(t))。
如果用变动的x(t)代替x0(t)，就有δJ(x(t))。
之所以要强调把△J改写成线性项L和高阶项r两部分的形式，是因为它可以把泛函的变分表示为对参数α的导数，即δJ(x(t))=∂J(x(t)+αδx(t))/∂α
| α=0
(2)
（注：∂J/∂α应该是多元函数的偏导数的意思。泛函的公式推导过程没有多元函数的微积分的知识是不行的。所以，所有的推导过程就不抄了，反正我也不会。）
2）泛函极值
根据上述变分的表达式(2)，可以得到有关“泛函极值”的重要结论，即：
若泛函J(x(t))在x0(t)达到极值，则
δJ(x0(t))=0
(3)
即J(x(t)+αδx(t))是α的函数，该函数在α=0处达到极值，代入
(2)故得 (3)。
变分法的基本引理：
φ(x)∈C[x1，x2]，ɏɳ(x)∈C1[x1，x2]，ɳ(x1)=ɳ(x2)=0，
有∫φ(x)ɳ(x)dx≡0，
则φ(x)≡0，x∈[x1，x2]。
泛函极值的必要条件：
对于最简函数(1)，即
J(x(t))=∫F(t，x(t)，x`(t))dt
，其中F具有二阶连续偏导数，容许函数S取为满足端点条件为固定端点 { x(t0)=x0,x(tf)=xf }
的二阶可微函数，
泛函极值的必要条件：设函数(1)在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程
Fx - dFx`/dt =
0 或 d(∂F/∂y`)/dt -
∂F/∂y = 0
3）用变分法求解“最速降线”问题
2、“牛顿方法”的问题
“最速降线”问题促使欧拉发明了“变分法”，为
从“某个量取极值”这个角度来考虑问题（泛函极值）提供了数学方法。
莱布尼兹是第一个提出“作用量”概念的人，他定义的作用量：
S=∫mv^2dt，积分从t0到t1（写不到积分符号上去，只能用文字写了）
可见，他是对“动能”在时间上的积分。
莱布尼茨声称：在所有可能的运动轨迹中，真实轨迹的作用量取极值（极大或极小）。
但是，莱布尼兹的“最小作用量原理”只有在“能量一定”的情况下才正确。受它启发，研究“能量一定”的情况下的作用量似乎是比较自然的思路。
L.
Maupertuis（莫陪督）于1747
年提出了力学中最早的（正确的）最小作用量原理，史称莫陪督原理。莫陪督的作用量定义为：
S=∫pdq，（q0积分从到q1），其中，q是坐标，p是动量
莫陪督原理的叙述是：在位形空间的给定两点间所有能量相同的轨迹中，实际轨迹的莫陪督作用量取极小值。
可见，“莫陪督”的“作用量”才是“动能”积分（路径积分），它适合用来解决两固定点间的轨迹变分问题。但还不是力学问题的全部，即还没有给出一个“第一性原理”。
我的中学物理也就学的一知半解，能按部就班的做作业和考试，但是却对道理不甚了解。例如，我一直都不清楚为什么要“动量”这个东西，p=mv，“质量”是固定的常量，有了“速度”这个变量，“动能”Ek=(mv^2)/2，这还不够吗？为什么还要多此一举给出个“动量”？
查了资料才知道，原来“动量”是“度量运动的物理量”，代表的就是“惯性”，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中指出：“某一方向的运动的总和减去相反方向的运动的总和所得的运动量，不因物体间的相互作用而发生变化”，即“动量守恒定律”，也就是牛顿第一定律。——到现在我才知道“牛顿第一定律（惯性定律）”原来说的就是“动量守恒定律”！又丢人了：（
除了“动量”还有个“冲量”的概念，即Ft，“动量定理”说的是“外力持续作用一段时间是动量发生变化的原因和度量”，即Ft=mv1-mv0。——哇靠！我又不知道！这其实就是“牛二律”啊！F=ma就是这么来的，F=(mv1-mv0)/t=m(v1-v0)/t=ma。
还有，“动量守恒定律”必须把光考虑在内，否则“牛三律”就不成立了。例如，某星体发出光，光到达地球给了地球一个轻微的推动，而地球却无法给该星一个反作用力。亦即，动量不仅可以为实物所携带，而且可以随着光辐射一起传播。发光星体与地球的相互作用过程是，星体发光时，星体反冲，得到动量，同时光也带走了大小相等而方向相反的动量，等经过几百万年之后光到达地球时，光把它的动量传给了地球。与实物一样，电磁场也具有动量。例如光子的动量为p=hk/（2π)，其中h为普朗克常量，k为波矢，其大小为k=(2π)/λ
（λ 为波长），方向沿波传播方向。——又长学问了！
那么，“动能”的微小变化，dEk=d(mv^2/2)dv=mvdv=pdv。“莫陪督作用量”右侧的dq做个变换，dq*dt/dt=vdt。所以，“莫陪督作用量”也就与“莱布尼兹作用量”一样了，即S=∫pdq=∫pdq/dt*dt=∫mv^2dt。但是，为什么
“莫陪督作用量”就是正确的？而“莱布尼兹作用量”就不正确呢？问题出在了取积分的对象上了，即对时间的积分和对路径积分的区别。即，给定两点间“能量相同”的轨迹，经过始末点的时间是不一样的，因此“作用量”变分时，两端时间不能固定。
其实，Ft=动量的变化，Fl=动能的变换，即，力持续作用一段时间是动量变化的原因和度量，而力持续作用一段距离（做功）则是动能变化的原因和度量。所以，对动能的变化是要做路径积分而不是时间积分的。——基础不牢，地动山摇啊！
还是从新从“牛顿力学”的问题说起吧。（前面说的都是从欧拉变分法的应用来说的）
前面提到了“力学的第一性原理”，什么意思呢？就是“原则上运用该定律可以解决一切力学问题”。牛顿定律就是第一性原理。
那么，为什么还要去找其他“作用量”、找其他方法呢？
那是因为，实际上，有一些问题是复杂到你用牛顿那一套方法解不出来的。所以说是“原则上”的。
用牛顿第二定律列方程原则上可以解决一切经典质点系运动问题，但这里有个问题：约束。当方程中存在约束时，牛顿方式要求你用几何方程表述约束，每个约束要用一个方程表示，于是“方程数=质点数×空间维数+约束数”。
本质上说，牛顿定律只描述了质点系在欧几里得空间中的运动。对于含有n个质点的质点系，在空间有3n个坐标。若这些质点间存在k个有限约束，用牛顿方法就需要有N=3n+k个方程。
但是，约束方程可写为：fs(x1，x2，…，x3n；t)=0(s=1，2…，k)。利用约束方程消去3n个坐标中的k个变量，剩下N=3n-k个变量是独立的。利用变量转换，可将这N个变量用其他任何N个独立变量q1，q2…，qN来表示。因此，n个x坐标可用N个q表示为xi=xi(q1，q2…，qN；t)(i=1，2…，3n)。这种相互独立的变量称为广义坐标，其数目N等于完整系统的自由度。——这也就是前面“莫陪督作用量”所说的“位形空间”。通过“约束方程”做的“变量转换”，使得其“方程数=广义坐标数=质点数×空间维数-约束数”要比牛顿方法少，而且“约束”也不再需要任何方程表示，这样处理起来也就简单的多了。约束应该是用来减少自由度的，它理应减少方程的个数才对。
这个位形空间和广义坐标被成为“拉格朗日体系”，而不是“莫陪督体系”，那是因为“莫陪督原理”还不是“第一性原理”，还不能解决力学问题的全部。是拉格朗日提出了拉格朗日方程，完成了这个替代牛顿定理的“第一位原理”的。所以，欧拉方程又常和拉格朗日方程和在一起，称为“欧拉-拉格朗日方程”，是区别于牛顿力学的“分析力学”的开端。
当然，到拉格朗日方程也还是经历了必不可少的中间过程的，如“虚功原理”、“达朗贝尔原理”，才到了“拉格朗日原理”的，其后还有“哈密顿的作用量”和“哈密顿最小作用量原理”的拓展。——这里又要涉及到很多陌生的名词了。把陌生、不认识的名词全列在后面，以后慢慢查找、慢慢理解吧。
二、从虚功到拉格朗日、到哈密顿
前面从“最速降线”问题，引出了求“泛函极值”的“变分法”这个数学工具，以及引出了运用这个新工具求解“固定两个端点之间的极值轨迹”问题的应用问题。
“数学工具”还不是本次笔记的目的，因为太难了，每一步的推导和演算，都涉及到好多陌生的概念、方法和定理，不是几天就能看懂、学会的东西。所以，也只是列了一下“泛函”、“变分”以“泛函极值”和“泛函极值的必要条件”的定义和表达式，对概念和形式又个直观的认识而已。然后通过运用它求解“最速降线”问题的过程，大体了解这种工具针对的是什么性质的问题。
通常，数学所要处理的“动态问题”大体分为3类：
1、动态优划：研究的是连续时间的动态问题，即时间是一直持续不停的；
2、动力系统：研究的是一个轨道的变化，即一个变量按照一个给定的规律不停运动的过程；
3、动态规划：研究离散时间的动态问题，即我们假设变量只在一定的时间段发生一次变化，如一周、一月、一年等。
那么，物理学说研究的主要就是“动力系统”的问题，即“轨道的连续变化”，当然，即然是“不停运动的过程”，自然也是“连续时间”的“动态优划”问题了，只不过有时候并不关心“时间的连续性”的问题，例如，在研究混沌吸引子的时候，就只在乎“轨道”自身的规律，而不考虑“轨道之间的时间顺序”。
也因此，“轨道方程”，或者说“坐标方程”，才是物理学的基本对象。r(t)，或者r(x1,x2,……,xn,t)。从中即可得出速度、加速度、动量、力、能量等的种种关系（规律），反过来，也可由这些初始条件和约束（规律）最后得到这个“轨道方程”。物理学所关心的问题就是这两者(如果我的理解没错的话）。
解“动态优划”问题主要有两种方法：变分法和最优控制。变分法使用的是欧拉方程+约束条件方程的方式，最优控制则是将优划目标和约束条件合为一体的汉密尔顿函数（不知道这个汉密尔顿函数是不是就是哈密顿函数）。——从这个宏观的角度让我们大体了解了一个粗略的框架，即物理学大体上是一个什么类型的问题，以及涉及到什么类型的工具。正如有的资料里说的，“理论物理中，一般只关注到‘欧拉-拉格朗日方程’就可以了”，再进一步的就要涉及到“偏微分方程”、“微分几何”、“流形映射”什么的“非线性泛函分析”的内容，太艰深了。
所以，看来“欧拉-拉格朗日方程”和“哈密顿原理”是个分界点，这个笔记也只能到此了，再进一步就得去专门读数学、物理专业了，而且还得是本科之上专业，本科都不够了。
在这个笔记里还是一开始说的，记一下“来龙去脉”为主，而且主要是物理方面的。重点就是2个，一个是搞清楚公式里对应的物理量是什么？这个是“看懂”的基本要求；在一个是了解一下“搞新花样的目的是什么？”，例如，牛顿有什么问题？为什么不好用？新方法的好处是什么？又有什么针对性和利弊？——到这我想也就够了。
首先，拉格朗日方程是个关键，它是怎么来的？什么意思？
拉格朗日方程的直接来源或说基础是“达朗贝尔原理”，而要了解“达朗贝尔原理”就要先了解“虚功原理”。
1）虚位移和虚功原理
先搜一下“虚位移”的概念：
a)
约束随时间t
改变的力学系统的位置变量 xi
在t0
(t0一经指定便为常量)时的虚位移δxi
定义为适合t=t0
的约束方程的无限小想象位移。在约束许可情况下所能产生的位移称为“可能位移”，用dxi
表示。对于定常系统，虚位移和可能位移两者相同，但对非定常系统，两者则不同。
b)
由于任何物理运动都需要经过时间的演进才会有实际的位移，所以称保持时间不变的位移为虚位移。
c)
虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的'虚'字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。
这里一下子冒出来“约束”、“定常系统”、“非定常系统”、“弹性体”、“结构系”等陌生的名词。
再搜一下“虚功原理”：
a)
一个原为静止的质点系，如果约束是理想双面定常约束，则系统继续保持静止的条件是所有作用于该系统的主动力对作用点的虚位移所作的功的和为零。
b)
“虚功原理”就是假设任意一个路径为做功的路径，这样可以避免确定实际的做功路径，有利于解题。
c)
“达朗贝尔原理”叙述为：主动力和惯性力在系统任何虚位移下所做的元功之和为零。
d)
“达朗贝尔原理”表明：对于任何物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所有的虚功的总和为零。
这里又有了“理想双面定常约束”、“主动力”、“惯性力”、“外力”、“元功”等名词。
词不懂句子就更没法懂了，所以，回头慢慢搜来慢慢理解吧。只是先把公式列出来吧。
2）虚功原理、达朗贝尔原理、拉格朗日方程、哈密顿最小作用量原理
虚功原理的表达式：
δW=∑i( Fi + Ii )δri =
0
Ii为惯性力，Fi为粒子所受外力，δri为符合系统约束的虚位移。
达朗贝尔原理的表达式：
∑i( Fi - mir``i )δri = 0
可以看出，达朗贝尔原理的表达式中的-
mir``i（r``i是ri的二阶导数，也就是加速度），实际上就是“牛二律”，
I=-ma，代入到了虚功原理的表达式中的结果。因此说“达朗贝尔原理就是虚功原理+牛二律”。
拉格朗日方程：
d(∂L/∂q)/dt -
∂L/∂q =
0，L=T-V，q为广义坐标
可以看出，拉格朗日方程和欧拉方程的形式完全一致，这是拉格朗日通过构造了一个新的函数L特意凑成欧拉方程的结果。T是动能，V是势能，所以，L就是动能和势能的差。
为何如此？随后我们再来看从达朗贝尔原理推导出拉格朗日方程的过程吧。
哈密顿作用量：
S=∫Ldt，（积分从t0到t1），L就是上面的拉氏函数。
哈密顿最小作用量原理表述为：在满足约束的所有可能的运动轨迹中，真实轨迹的作用量取最小值。即δS=0。
可以看出，哈密顿原理和拉格朗日方程就是一回事，只不过，拉格朗日方程是微分形式，哈密顿是积分形式而已。两者区别在哪呢？原来是所用函数L的自变量不同，也就是定义的“空间”不同，拉格朗日用的是位形空间的广义坐标，而哈密顿用的是项空间的坐标，其维度是位形空间的2倍。
3）从达朗贝尔到拉格朗日——推导过程
从推导的过程看，虚功原理的表达式左侧包含2项，一项是“外力”或“主动力”所做的功，一项是“惯性力”所做的功，也就是说，“外力”所做的功=“惯性力”所做的功。而推导的过程则是把“惯性力做的功”转化为“动能的变化量”的表达形式，将“外力所做的功”转化为“势能的变化量”的表达形式，亦即将虚功原理表示成“动能的改变量”=“势能的改变量”的形式。而拉格朗日只不过构造了一个动能与势能差的函数L，将达朗贝尔原理的表达式改造成了欧拉方程的形式。
所以，达朗贝尔的表达式的物理意义更清晰，而拉格朗日方程则把物理量之间的关系搞的怪怪的，只是为了迎合变分原理这个数学工具的处理需要。当然，大家所做的这一切不都是为了“牛顿方法所解不出来的问题”寻找一个新的、更便捷的处理方法吗？拉格朗日通过这种构造新函数的方法找到了适合处理的新方法，即泛函变分工具。这就是它的意义吧。
三、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学之间的比较
承前关于“数学所要处理的动态问题的分类”时的理解，“动力系统”的基本方程就是“轨道方程”或者说是“运动方程”，即r(t)，那么：
——牛顿力学：以微分方程F=mr``
+初始条件r(t0)、r`(t0)，来确定运动方程r(t)；
——拉格朗日力学：以泛函极值δ∫Ldt=0（积分从t1到t2）+给定的端点q(t1)、q(t2)，来确定运动方程r(t)。
所以，本质上它们都是等价的，都是“力学的第一性原理”，区别只在于方法的不同。
关于它们之间的比较，自己不懂，直接抄一下资料吧
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本质上说，牛顿定律只描述了质点系在欧几里得空间中的运动，而约束关系表述了质点系运动乘积空间的一个子流形。而牛顿定律没有牵涉这种子流形上的运动规律，因为这不是本质的，牛顿时空观下空间就是欧氏的。
而拉格朗日方程可以直接考察子流形上的运动规律，它可以看成牛顿方程的推广。对于一个圆周运动，用位置、速度描述要4个量，两个位置分量、两个速度分量，还要考虑位置分量的约束关系。而选择角位置，角速度不但只有两个量，而且不用考虑约束。而且我们可以类比出角加速度，角动量，力矩等和直线运动类似的东西。但这只解决了圆周运动的问题，世上这么多约束，我们那去找那么多方程和概念，就不能统一描述吗？当然有，这就是广义坐标、广义速度、广义力啊。他们的关系当然不服从牛顿方程，而想直接描述它们只能靠拉格朗日方程。
当然拉格朗日方程不是万能的，它从一开始就是广义坐标空间中的问题，要让这个空间存在，限制很大，首先约束要可积，见了微分约束就要抖三抖，不可积就只有乖乖加乘子，结果又多出方程了
，和牛顿方程区别不大。其次见了不能用广义势能描述的广义力也不爽，因为这样作用量很难看不说，而且推拉格朗日方程也很难受，但好歹能将就一下。
这么看来哈密顿体系不是更难受了吗？只能管有广义势能的广义力。虽说相空间把广义动量和广义坐标放在等同的位置上，而不是像拉格朗日方程中广义速度就是广义坐标的导数，这使得几何约束和微分约束似乎没了区别，但你要保证广义动量和广义坐标一一正则配对，或者装B一点你要保住辛结构，那么约束还是几何的好。
但正如刚才所说，把广义坐标和广义动量放到同等的地位是非常重要的，因为这不但把方程降了一阶，让数学研究方便得多，很多微分方程的定性规律可以套了，而且数值计算的可靠性保证也是手到擒来。
也就是说能解析解的方程，哈密顿方程没有任何优势，反而还搞复杂了，不如直接上拉格朗日方程，但没有解析解时，优势就来了，我们不必解出方程就可以从哈密顿量里看出很多规律来，比如这里有个吸引子，那里在振荡，这个量是守恒的。
还有一个很厉害的东西叫泊松括号，这个玩意儿可以帮助你迅速锁定守恒量，它还有个装B的名字叫做辛形式，是辛几何的基础，就像度规之于黎曼几何一样。而且就是它演变出的对易关系成为了量子力学的基础。
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拉：二阶微分方程，描述简单，求解难。 因为描述简单， 且有物理意义， 所以用于思维，
用于理论推导，有优势。公式中很少出现平方和之类的复杂运算。
哈：一阶微分方程，因此元数要从n元提高到2n元。求解要容易很多，也有很多线性项，更容易矩阵化，更容易让计算机算法理解。但是增加的n元中，很多没有实际的物理意义，
称为'相变量'，只有数学含义，个别能找到物理意义的，往往是该具体问题领域的一个小突破。
还有两个达朗贝原理、伽利略-牛顿的体系，与现实世界对应更紧密，但是对于复杂问题思考的时候，缺少系统性，对于小规模问题，很快捷，但是对于大规模系统，容易算重。
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哈，是拉，降维攻击的工具。高阶智能用拉理解问题，然后用哈进入到低阶智能的世界，用一阶微分来解决问题。
作者：知乎用户链接：https://www.zhihu.com/question/51301781/answer/247171384来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
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在经典力学里，当处理相空间中点的演化时，用哈密顿形式稍微方便一点。在正则量子化的过程中，需要知道独立的正则变量，这时候要使用哈密顿体系；非相对论量子力学涉及到波函数的演化，所以这时候用哈密顿形式也比较方便。涉及到相对论时，如果要求理论是协变的，用拉格朗日形式很容易构造出一个洛伦兹不变的作用量，哈密顿形式则不行。
作者：天残明雪夜链接：https://www.zhihu.com/question/51301781/answer/125155665来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
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作者：宋飞链接：https://www.zhihu.com/question/49361447/answer/115938667来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
首先由于历史的原因，牛顿力学出现在前，分析力学出现在后，在中间实际是出现啦一些过度的原理，也就是著名的虚功原理，利用虚位移的一个概念，利用牛顿力学可以把虚功原理推出来，而利用虚功原理的两边一边是势能对坐标的微分，一边是力，把力改写成(动能对速度的微分)在对时间求个导数(你可以翻梁昆淼的力学下，懒得打公式.....)，你一移号，再令L=T－V,你发现得到的就是欧拉
拉格朗日方程。这一步骤完成了从牛顿力学到分析力学的一个过渡。
然后，数学学家研究的变分问题实际已经可以把欧拉拉格朗日方程从一个变分等于零的式子中提取出来。所以物理学家就把，牛顿方程和一个变分式子等价起来，即某一个S的变分等于零，S即为作用量，这一原理也被称为最小作用量原理啦。
上面是牛顿体系到最小作用量的一个沟通过程，可以说实际也是比较经典的一条道路，完全是由数学工具沟通的一个表达式的变化而已，并没有十分深刻的内容。而朗道的力学和场论开头即向我们展示了一个从开始就扔掉力这个辅助概念，完全由对称性来考虑，去把考察体系所具有的对称性用一个特殊的拉氏量体现出来。这也是近代物理学家一个考察物理的方式就是以对称的观点来看问题，并且构造相应的拉式量来解决问题。但如果只在力学范畴内，分析力学和牛顿力学也就打个平手，因为分析力学的最大优势是体现在具有完整约束的体系中，每多一个完整约束即意味少了一个广义坐标，而具有耗散力的体系，或者不完整约束的体系则需要对欧拉拉格朗日方程做出一定的修正，有时未必有牛顿力学来的直观方便，尤其是本身就需要求解约束力的时候，但无疑分析力学的方式要优雅的多。
故事讲到这里还没有结束，分析力学之所以可以成为今天与其他三大齐名的四大力学，应该完全得益与上个世纪量子力学和量子场论的发展。最小作用量原理完全是可以是以另一种方式导出，费曼提出他的路径积分，把量子力学和量子场论中的问题都转化为了一个加权平均的问题，而这个权重是一个exp形式而指数上的就是iS
S是一个条路径上的作用量。并且近一步的计算会发现，主要贡献的那些路径都是在一条特殊路径的周围，而这条特殊的路径就是经典路径，得到这条路径的方法也是取S的变分为零，也就是最小作用量原理。所以这么来看，最小作用量原理的图像并不是粒子总会走那些作用量最小的路径，而是粒子每条路径都会走，但作用量最小的那条路径权重是最大的。
说了这么多，既然认为最小作用量是一个principle，从某种角度上来看它肯定是无法推出的。只是我们有太多理由去相信它是正确的并且可以描述我们这个世界的现象。物理学家发现能用对称性来有效处理问题以后，对称性几乎成了一种信仰。最小作用量以是基于我们相信世界本原优雅性的一种信仰啦。
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名词解释：
泛函
变分
多元函数
偏微分
全微分
约束
理想完整约束
系统是稳定且保守的
位形空间
广义坐标
广义速度
广义动量
广义力
流形
虚位移
虚功
主动力
被动力
外力
内力
约束力
惯性力
正则变换
相空间
