恰小维下降1充分必要条件续
2023-04-27 14:23阅读：
恰小维下降1充分必要条件续
一、帖子《恰小维下降1的充分必要条件》第四段内容是：
“四、实用性
在不等式3*qs(x(0)) + 1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1) < 1 中
，当q增大时，
“1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1)” 会很小 ，
可以近似认为充要条件是qs(x(0))
< 1/3，
这给计算观察带来很大方便。”
在“可以近似认为充要条件是qs(x(0))
< 1/3”这句话里面有“近似”两个字，麻烦。
二、前提条件同帖子《恰小维下降1的充分必要条件》，
求证：3*qs(x(0)) +
1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1)
< 1 与 qs(x(0)) <
1/3在qxw(x(0)) >=
2时等价。
证：把qs(x(0)) = x(0) /
2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1)代入 3*qs(x(0)) +
1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1) < 1
可得 (3*x(0) + 1) <
2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1)，
1、当3*qs(x(0)) + 1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1) < 1
时，1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1) 是正数，
有3*qs(x(0)) <
3*qs(x(0)) + 1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1 ) <
1，
于是 qs(x(0)) < 1/3
，
2、当qs(x(0)) < 1/3时，
有3*qs(x(0)) <
1，
即 3*x(0) <
2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1)，
按帖子《恰小维下降1的充分必要条件》，已设qxw(x(0)) = q+1 >=2 ，即2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1) > 2^3
= 8，
分两种情况：
（1）、当偶数m(0) +m(1) + …… +m(q-1) +m(q)+1 = 2*s时，（这里s是正整数），
于是2^(m(0) +m(1) +
…… +m(q-1) +m(q)+1) =
3*c+1 ，这里c是正整数，如 16 = 3*5+1 ，64 = 3*21+1，……，
由于 3*x(0)是奇数，3*c+1 是偶数 ，从3*x(0) < 3*c+1可推出
3*x(0) + 1 <= 3*c+1 ，其中取等号的3*x(0) + 1 = 3*c+1 是不行的 ，这样x(0)值为5、21、85等 ，计算出x(1)的值一下子就是1了，这就导致qxw(x(0)) = 1 ，如qxw(5) = 1 ， qxw(21) = 1 ，qxw(85) = 1 ，……
，这和qxw(x(0)) = q+1
>=2是矛盾的 ，这里讨论恰小维下降1的问题，qxw(x(0)) = 1 已经是最小的了，没法再降了，
于是只有 3*x(0) + 1
< 3*c+1 ，
即 (3*x(0) + 1) <
2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1)，
于是3*qs(x(0)) +
1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1) < 1 ，
（2）、当奇数m(0) +m(1) + …… +m(q-2) +2 = 2*s + 1时，（这里s是正整数），
2^(m(0) +m(1) + …… +m(q-2) +2) = 3*c+2
，这里c是正整数 ， 如8 = 3*2 +
2， 32 = 3*10 +
2 ，……，
观察3*x(0)
< 3*c+2
，可得c >=
x(0) ，于是有
3*x(0) + 1 < 3*c +
2 ，
即 (3*x(0) + 1) <
2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1)，
于是3*qs(x(0)) +
1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1) < 1 ，
3、由上述1、2、可得 ，3*qs(x(0)) + 1/2^(m(0)+m(1)+……+m(q-1)+m(q)+1)
< 1 与 qs(x(0)) <
1/3在qxw(x(0)) >=
2时等价。
举例：在3x+1问题正奇数序列23 , 35
, 53 , 5 ,……中
奇数23 , 指数 zsz(
23 , 1) = 1 ,恰小维 qxw( 23 ) = 3 ,恰商 qs(
23 ) = 0.08984375 < 1/3 ,
奇数35 , 指数 zsz(
35 , 1) = 1 ,恰小维 qxw( 35 ) = 2 , 恰商qs(
35 ) = 0.2734375< 1/3 ，
奇数53 ,
指数zsz( 53 , 1) = 5 , 恰小维qxw( 53 ) =
1 ,恰商 qs( 53 ) = 0.828125 ,
奇数 5 ,
指数zsz( 5 , 1) = 4 ,恰小维 qxw( 5 ) =
1 , 恰商qs( 5 ) = 0.15625 ，
……
可以观察到 ，恰商
qs( 23 ) = 0.08984375 < 1/3 ，有恰小维 qxw( 23
) = 3 ，恰小维 qxw( 35 ) = 2
,从23到35恰小维下降了1，
恰商 qs( 35 ) =
0.2734375 < 1/3 ，恰小维 qxw( 35 ) = 2 ,恰小维qxw( 53 ) =
1 ，从35到53恰小维下降了1，
