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从两个案例谈初中生数学“推理能力”的培养

2015-08-22 11:00阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/5530125193

发展学生的推理能力是数学教学过程中自始至终都应当给予关注的教学目标。在代数课程内容中，计算、运用公式的本质都是推理，而探究一些数量关系的活动也属于推理活动。教学过程中应当设计一些形式的探究性活动，以发展学生的推理能力。
[案例1]
例1 如图所示的是杨辉三角系数表
“杨辉三角”我国宋朝数学家杨辉著的《详解九章算法》一书中的内容，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）n（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中的系数：
（a+b）= a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+___a3b+___a2b2+___ab3+b4
根据以上规律，你能将（a+b）5展开式写出来吗
？
从两个案例谈初中生数学“推理能力”的培养
这些结果既可以通过具体求解得到答案，也可以根据对表中给出的上下相邻两行数值间规律的观察、归纳，直接得到答案。在教学中，对获得结果的两种方式进行交流，非常有助于学生推理能力的提高。
事实上，整个代数课程几乎到处都能够找到推理的印记。首先，代数运算过程本身就是一个“标准”的推理过程，推理对象就是算式，推理依据是运算法则和运算率，推理过程就是运算过程，而推理结果就是运算结果；其次，分解因式、解方程（组）、解不等式（组）的过程本质上也是推理过程，求解过程中运用的公式、法则等都是推理依据。
例2：分解因式（x2+9y2）2-36x2y2
解 （x2+9y2）2-36x2y2
=（x2+9y2）2-（6xy）2
=（x2+9y2+6xy）（x2+9y2-6xy）=(x+3y)2 (x-3y)2
这里，每一个等号的从左到右都经历了一个“因为……所以……”的过程：第一个等号的“因为”是幂的运算法则，第二个等号的“因为”是平方差公式，第三个等号的“因为”是完全平方公式。
数学中，许多探索规律和解决问题的过程也是充满推理活动。
例3，在一次聚会中，共有6个人参加，如果每两个人都握一次手，共有几次握手动作？如果是100人参加的活动呢？一般来说，当参加人数为x时，总的握手次数n等于多少？求解这个问题需要经历许多推理活动。
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需要注意的是， “推理”过程所得到的结论有时不能无条件推广，否则可能导致错误的结果。
[案例2]
例4 如图，下列直线两两相交
（1）数一数，这4个图形中交点的个数，它们分别是多少？
（2）当6条直线两两相交时最多有几个交点？

（3）当n（n≥2）条直线两两相交时最多有几个交点？
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分析：关注（1）、（2）的答案——它们分别是1，3，6，10，21。我们可以“发现”其中存在一种“数量关系”：对于n从1到6，问题的答案满足：1+2+3+…+（n-1）的形式。因此，估计对于确定的n 值，答案是：1+2+3+…+（n-1）。确实，这是正确的答案，但问题的求解过程不能令人满意，甚至从严格的角度来看，它还有点不能“令人信服”——毕竟，我们不能肯定，对一般的n，这样的关系始终存在。
事实上，下面的问题就是一个典型的“例外”——它恰恰表明这种对表面的理解所带来的对问题实质的误解。
例5求解：
（1）一个圆最多将平面分成几个部分？两个圆、三个圆呢？
（2）n个圆将平面最多分成几个部分？
从两个案例谈初中生数学“推理能力”的培养
分析：（1）的求解比较容易，答案分别是2，4，8。这是一个我们非常熟悉的“模式”——2n。因此很容易想到（2）的答案就是2n。其实并非如此：对于4个圆的情况，答案是14。
区别在于：例4中归纳的模型之所以正确，是因为“交点与直线条数之间的关系”是解决本题的关键之处。如果我们仔细观察“相邻两个图形之间直线条数的变化情况”，可以发现：后者是前者基础上增加了一条线，而且这样的增加如果要保证能够增加“最多”的交点数，必须使得新增的线与已有的每一条线都相交。自然，就是增加了（n-1）个点，即an=an-1+（n-1），问题可解。但对于例2，所归纳出来的相应的变化关系对从n到（n+1）的情况并不满足。
再看下面一例：
例6：（沪科版八年级下册P66第7题）在行距、列距都是1的n ×n方格网中，连接任意两个格点，若把得到的长度形同的线段看成一类，则

（1）当n=1，2，3，4时，在下表中分别写出长度线段的种类和种类数。
从两个案例谈初中生数学“推理能力”的培养
从两个案例谈初中生数学“推理能力”的培养
由前4个可得一定规律，但当n=5时，这个规律就不成立了。因此，不能从n=1，2，3，4归纳出求种类数的规律。此题再次说明推理归纳要深入问题的实质去理解，不能被表面所迷惑。
在数学教学中，推理过程无处不在，在进行这类问题求解过程中，一方面要设计一些适当的探究活动，让学生由简入深，由易到难；另一方面，应当有意识地让学生将分析问题本身的实质作为首要任务，只有明确这些“实质”，才能够考虑用数学语言、符号来表达，切忌将表面现象作为实质内涵。

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