从局部紧Hausdorff空间到CGWH空间
2026-03-01 13:42阅读：
在书【0】上面提到：Top是单项模型范畴（monoidal
model
category），这里的Top并不是一般的拓扑空间，而是指紧生成弱Hausdorff空间（CGWH），由此可见CGWH空间的核心地位，它可以视为局部紧Haudorff空间d的推广。
先看一些基本概念，给定拓扑空间X，定义X上的k-拓扑如下：X的子集C是k-闭集，若对任何连续映射f：K→X，其中K是紧Hausdorff空间，有f^(-1)（C）是闭的。称X是紧生成空间，若X上的k-闭集一定是闭集。
可以证明：局部紧空间与第一可数空间都是紧生成空间。紧生成空间的商空间还是紧生成空间。
拓扑空间X称为弱Hausdorff的，若对任何紧Hausdorff空间K与连续映射f：K→X，f（K）是闭的。X称为KC空间，若X内的紧集都是闭集。
显然，Hausdorff空间是KC空间，KC空间是弱Hasudorff空间。弱Hausdorff空间的积还是弱Hausdorff空间。
下面我们看一些例子，先看局部紧空间的商可以不是局部紧的。考虑乘积空间R×Z，等同所有R的原点（0，n），n∈Z，这样得到的商空间X=R×Z/~就不是局部紧的。当然，由于紧生成空间保持商关系，因此X是紧生成空间。
事实上，有理数集Q作为R的子空间也不是局部紧的，但它作为可数空间是紧生成的。
接下来看弱Hausdorff空间的例子，考虑Q的单点紧化Q*，由Q不是局部紧的，可得Q*不是Hausdorff的，但它显然是KC空间，再考虑乘积空间Y=Q*×Q*，其对角线集Δ同胚于Q*，故一定是紧的，但因为Q*不是Hausdorff的，因此Δ不是闭的，这样就得到了弱Hausdorff空间Y不是KC空间。
扩展阅读：
【0】Barnes D, Roitzheim C.
Foundations of stable homotopy theory[M]. Cambridge University
Press, 2020. （稳定同伦论的基本参考书，直接用CGWH空间作为设定）
【1】KUPERS A. ADVANCED
ALGEBRAIC TOPOLOGY, VERSION APRIL 28,
2018[J].（高级代数拓扑讲义，对CGWH空间有比较详细的介绍）
【2】汪林, 杨富春. 拓扑空间中的反例[M].
科学出版社, 2000. （拓扑空间的反例书，包含T1-T2空间的一些反例）
【3】Clontz S.
Non-Hausdorff T_1-Properties[J]. arXiv preprint arXiv:2312.08328,
2023. （比较新的论文，包含T1-T2空间的细致结构与反例）
