谈陈省身证明Gauss-Bonnet定理的内蕴意义
2026-05-08 13:49阅读：
最近看到国内有些做科普的尴吹陈省身，甚至把陈省身排到了高斯前面，其实应该是Gauss-Bonnet（-Chern）.
伍洪熙在《黎曼几何选讲》中有专门一章介绍陈省身的这个结果，说为了避免态度不公正，Gauss-Bonnet定理的后面就不加陈了。
陈省身说自己跟着Cartan学了十个月，然后在国际上就有地位了，感觉就像是被点化了一样。这绝对不是什么谦虚的话，他还说过自己不跟爱因斯坦做微分几何，因为爱因斯坦的东西没道理，他老了。说实话，被点化的一般是有一技之长，但其他方面难免会有短板，像他所推崇的Finsler几何，计算繁琐的一塌糊涂，好像还没什么好的结果，想捡漏黎曼可没那么容易。
事实上，Gauss-Bonnet定理的结果早就有了，Allendoerfer与Weil各自独立把它推广到高维，只是证明引入了嵌入高维欧式空间的假设。陈省身是与Weil交流之后，才得到的内蕴证明，其结果并不比他们更强，主要意义还是在证明的方法上面。有些科普家会说Allendoerfer与Weil的方法比较繁琐，但陈的证明也不算简单，他们又说陈的证明中有超渡这个概念，暂且不论有没有必要专门给一个计算操作起个名字，Allendoerfer与Weil的方法中肯定也有值得挖掘之处（比如管状邻域），这个只是叙事的重点不一样而已。
陈省身这个工作的主要意义在于内蕴，但那些科普家恰恰是带歪了内蕴的意义。事实上，内蕴的概念早已有之，Gauss-Bonnet的结果就是内蕴的，至少当Gauss说“绝妙的定理”的时候，就已经意识到这一点了。在爱因斯坦的广义相对论中，一个基本原理就是广义协变性原理，要求其物理量只依赖于度量结果，而于坐标的选取无关。这个实际上就是整个物理的内蕴，几何内蕴只是它的一个子集，可见不是爱因斯坦老了，而是他已经变成了背景板。陈省身的工作主要就是对Gauss-Bonnet定理的内蕴性质做了技术性实现，而不是像有些科普家那样，把他给当成了内蕴哲学的开山鼻祖。
最后给一个关于内蕴的比喻，当我们小学设未知数x列方程的时候，就相当于是用了外蕴的假设，只是最后方程能够解出来，这样又重新回到了内蕴的结果。陈省身的工作就是相当于用一些特殊技巧，哪怕是不设未知数，照样有办法把这个方程解出来。
